任課老師：董育銘 老師

乘法原理之

乘法原理

想一想？ 有群台南大學的學生，想要搭乘公車在台南市

一日遊。所以，他們選擇了幾個定點，並且在兩站間選擇直達車，中間不轉乘。

路線規劃：他們從學校出發，先到孔廟參觀，然後到赤崁樓吃美食，最後再到大億麗緻酒店，享受豐富的晚餐，並欣賞台南市夜景。這就是一天的行程。

公車路線資訊 起點：台南大學 迄點：孔廟 公車路線： 99 、 248 、觀光休閒公車

起點：孔廟 迄點：赤崁樓 公車路線： 25 、 78

起點：赤崁樓 迄點：大億麗緻酒店 公車路線： 78 、假期專線車

請大家幫忙想一想，他們總共有多少種搭乘的方法？

我們小手拉小手！ 走 ..走 ..走 ..走 ..走 ..一同去郊遊！

台南大學孔廟 從台南大學出發到孔廟，共有三路公車可搭乘。

分別是 99 、 248 、觀光休閒公車。我們以下列方式表示：

}}{},248{},99{{ 觀光

孔廟赤崁樓 從孔廟到赤崁樓，有 25 及 78 號公車可以搭乘。 若從台南大學到孔廟，是搭乘 99 號公車，則

再到赤崁樓的搭車方式可能是

因此台南大學到赤崁樓，共有下列幾種搭車方式：

}},78{},25,{

},78,248{},25,248{},78,99{},25,99{{

觀光觀光

}}78,99{},25,99{{

赤崁樓大億麗緻酒店 從赤崁樓到大億麗緻酒店，可搭乘 78 或假期

專線車。 同理可知台南大學孔廟赤崁樓大億麗緻

酒店，總共可能的搭車方式如下：

}},78,{},,78,78{},,25,{},78,25,{

},,78,248{},78,78,248{},,25,248{},78,25,248{

},,78,99{},87,78,99{},,25,99{},78,25,99{{

假期觀光觀光假期觀光觀光假期假期

假期假期

你答對了嗎？ 總共有 12 種可能。

有較快的算法嗎？ 在上述過程中，我們不難發現，只要將每次搭

乘的方法數相乘，即是答案。

這就是利用乘法原理的概念！

12223

何謂乘法原理？ 簡單地說，若完成一件事必經 A 與 B 兩個步驟，

其中 A 步驟有 p 種方法，而 B 步驟有 q 種方法，則完成這件事情共有 p q 種方法。

如果完成某件事可依序分成 個步驟，而第 j ( ) 個步驟有 種方法可以完成它，那麼完成這件事的方法共有 種。

kj ,, 2 ,1 kmmm 21

k

jm

乘法原理使用的時機 為什麼要用乘的呢？用加的不可以嗎？

當一件事要分幾個步驟連續完成時，就必須使用乘法原理。

當一件事可分幾類方法各自完成時用加法原理。

範例 下圖街道，某甲欲由 A 走到 B ，規定不許向西

走，且走過的路不能再走，問有幾種走法？其中不經 S 的走法有幾種？

解答

由 A 走到 B ，不許向左走的走法，是由{a,b,c,d,e},{f,g,h,i},{j,k,l},{m,n,o,p,q}各集合中選出一個，故共有

( 種 )3005345

若不經過 S ，則是由 {a,b,c,d,e}, {f,h,i},{j,k,l},{m,n,o,p,q} 各

集合中選出一個，故共有 ( 種 )2255335

例題與練習 例題 . 一兔穴有進出口 4 處，問由不同進出口進出的

方法有幾種？ 解答： 可將此問題分為進與出 2 個步驟來完成。進的

方法有 4 種，對每一種進的方法有 3 個出口可以出去，故由乘法原理可知， 由不同一口出入的方法有 4 × 3 = 12 種。

練習 1. 某商店販賣 5 家廠商出品的牙膏，而每一家廠商出品

的牙膏都有 3 種大小不同的包裝，又每種包裝均分含有氟化物及不含氟化物的 2 種，今某人欲在此商店選購一支牙膏，問方法有幾種？

解答： 可將此問題分為 3 個步驟來完成。 第一步驟是從 5

家廠商中選擇一家，共有 5 種選法。第二步驟是從 3 種包裝中選擇一種，共有 3 種選法。第三步驟是從有無氟化物中選擇一種，共有 2 種選法。故由乘法原理可知選購一支牙膏的方法共有 5 × 3 × 2 ＝ 30 種。

練習 2. 甲、乙二人在排成一列的 5 個座位中選坐相連的

兩個座位，共有多少種坐法？ 解答： 可將此問題分為 3 個步驟來完成。 第一步驟是從

5 個座位中選出相鄰的 2 個座位，共有 4 種選法。 第二步驟是選定 2 個座位後，由甲先選坐 , 甲可任選其一，故有 2 種選法。 第三步驟是甲坐定後 ,由乙選坐，因甲已坐好 ,乙毫無選擇，故僅有 1 種選法。 由乘法原理知完成此件事，總共有 4 × 2 × 1 = 8 種方法。

~The End~