rxdtdx

分组分组三人一组。理论课和上机课都坐在一起。一起讨论问题。作业和实验报告一组交一份。考试分开考。

小组讨论小组讨论漆黑的夜晚有四个人提一盏灯过桥，桥上最多同时承受两个人。单独过桥时，每个人最快过桥时间分别为 10、 5、 2、 1分钟；两个人同时过则按照较慢的时间过桥。问如何安排过桥方案使得总时间最短？

想象力和洞察力想象力和洞察力

P23第 9题第（ 1）小题。

问题？问题？什么是数学模型？数学建模有什么意义？建模示例：人口增长模型参加数学建模竞赛需要怎样准备？

什么是数学模型什么是数学模型甲乙两地相距 750km，船从甲到乙顺水航行需要 30h，从乙到甲逆水航行需要 5

0h，问船速、水速各若干？(x+y)*30=750, (x-y)*50=750事实上，所有的数学都是某种模型。数学模型：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的数学结构。

数学建模的重要意义数学建模的重要意义分析与设计：药物浓度在人体中的变化。预报与决策：人口预报、天气预报。控制与优化：零件参数优化。规划与管理：生产计划，网络规划。“高技术本质上是一种数学技术”。马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。”

全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛时间：每年 9月中下旬。内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有标准答案。对象：全国本专科学生，专业不限，甲乙组形式： 3人一组，三天三夜，自由完成目的：培养学生独立进行研究的能力，运用数学和计算机的能力，团结合作精神和进行协调的组织能力等。评奖：大概 2/3能得到省奖， 1/10有全国奖。

手工艺品制作方案手工艺品制作方案 (06.7A)(06.7A)

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艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (06(06B)B)

乘公交，看奥运乘公交，看奥运 (07B) (07B) L001

– 分段计价。– S0619-S1914-S0388-S0348-S0392-S0429-S0436-S3885-S3612-S081

9-S3524-S0820-S3914-S0128-S0710 L002

– 分段计价。– 上行： S3748-S2160-S1223-S1404-S2377-S1477-S2017-S2019-S132

1-S1381-S1383-S1691-S3766-S1729-S2654-S3231-S3917-S2303-S1327-S3068-S2833-S1733-S2113-S2636-S0012-S1968-S0004

– 下行： S0004-S1968-S0012-S2636-S2113-S2112-S2833-S0618-S1327-S2303-S3917-S3231-S2654-S1729-S3766-S1691-S1383-S1381-S1321-S2019-S2017-S1477-S1404-S1223-S2160-S3748

L003– 单一票制 1 元。– S0417-S0272-S1973-S3425-S1433-S3476-S2337-S1027-S1065-S297

4-S0234-S0521-S3737-S3806-S1682-S1684-S3925-S3897-S2489-S2488

。。。

建模实例建模实例 --人口增长模型人口增长模型 给出美国人口从 1790年到 1990年间的人口如表 1（每

10年为一个间隔），请估计出美国 2010年的人口。 年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850

人口 (106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2

年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920

人口 (106) 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5

年 份 1930 1940 1950 1960 1970 1980  1990

人口 (106) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5  251.4

模型分析模型分析通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律（即某种类型的函数），再用函数拟合的方法确定其中的未知参数。

线性增长模型线性增长模型 ( )x t at b

参数估计参数估计根据最小二乘法 ,a和 b是以下函数的最小值 :

其中 xi是 ti时刻美国的人口数。

可解得 a和 b，然后再代回函数计算新的时间 t所对应的人口数：

2

1

( , ) ( )n

i ii

E a b at b x

2 2( , ) ( 1790 3.9) ( 1800 5.3)E a b a b a b

0Ea

0E

b

( )x t at b

( ) 1.2 2217x t t

指数增长模型指数增长模型 0( ) rtx t x e

11 0.014( ) 4.4 10 tx t e

指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出 (1798)

x(t) ~时刻 t的人口基本假设 : 人口 (相对 )增长率 r 是常数

trtx

txttx

)(

)()(

0)0(, xxrxdtdx

rtextx 0)(

随着时间增加，人口按指数规律无限增长

阻滞增长模型（阻滞增长模型（ LogisticLogistic 模模型）型）

rtm

m

exxxtx

11

0

1750 1800 1850 1900 1950 2000 20500

50

100

150

200

250

300

阻滞增长模型（阻滞增长模型（ LogisticLogistic 模模型）型） 随着人口的增加，人口增长速度会降低，可假设为人口数的减函数 ( )r x r sx 人口数量最终会饱和，趋于某一个常数 mx当 时，增长率应为 0，即mxx 0mr sx

mxxrxr 1

0

1

0m

dx xr xdt x

x x

竞赛准备竞赛准备成功获奖= 一本好的教材 + 获奖范文 + 实战演练= 数学高手 + 计算机高手 + 写作高手

数学模型数学模型 ((第三版第三版 ))姜启源等姜启源等 ,,高等教育出版社高等教育出版社 ,2003,2003 年年第一章 建立数学模型第二章 初等模型第三章 简单的优化模型第四章 数学规划模型第五章 微分方程模型第六章 稳定性模型第七章 差分方程模型第八章 离散模型第九章 概率模型第十章 统计回归模型

<<数学建模与数学实验数学建模与数学实验 >>（第二（第二版）版）赵静 但琦赵静 但琦 , , 高等教育出版社，高等教育出版社， 20032003 年年数学建模简介 MATLAB 入门线性规划 整数线性规划 无约束最优化 非线性规划 动态规划 微分方程 差分方程

组合数学最短路问题 匹配与覆盖问题行遍性问题网络流问题数据的统计分析与描述 回归分析计算机模拟 插值与拟合数学

历年试题与优秀论文历年试题与优秀论文 http://www.cocoon.org.cn/http://www.shumo.com/http://mcm.zjnu.net.cn/http://lib.jyu.edu.cn/

数学软件数学软件 matlab , 《 matlab程序设计与应用》 , 有电子版教程。 lingo,有电子版教程。数学建模只要求知道实际问题与某些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，模型的求解可交给数学软件求解。

MatlabMatlab 曲线拟合曲线拟合模型模型 11 ：指数增长模型：指数增长模型 matlab 代码：

example_curvefit.m example_curvefit_fun.m

模型模型 22 ：： LogisticLogistic 模型模型

rtm

m

exxxtx

11

0 0

1

0m

dx xrxdt x

x x

1

1790 3.9m

dx xrxdt x

x

( 1790)1 1

3.9

m

t rm

xx tx e

dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(1790)=3.9')

模型模型 33 ：更改拟合标准：更改拟合标准根据最小二乘法 ,x0和 r是以下函数的最小值 :

example_curvefit_3.m

20 0

1

( , ) ( )i

nrt

ii

E x r x e x

近期的数据比较重要，更改评估标准：

2 20

1 1

( , ) ( ( ) ) ( ( ) )m n

i i i ii i m

E x r f t x w f t x

example_curvefit_3_fun.m

作业：人口增长模型作业：人口增长模型

某地区人口数据如上，建立模型估计出该地区 2010年的人口 ，画出拟合效果的图形 。 按照数学建模论文的要求写，特别是要有摘要，参数估计。 三个人为一组，一组交一篇论文。统一用 word 文档打印。

年份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860

人口 13.2 26.8 33.2 34.2 48.4 66.2 71.4

年份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930

人口 95 113.6 144.4 177.4 209 249.2 295.6

年份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

人口 342.2 377.6 459 491.4 522.2 540.2 558.4