الفصل الثامن

الدوال •التربيعية واألسية

الفكرة العامة

بيانيا 1. التربيعية المعادالت أحلوباستعمال. المربع وبإكمال

. العام القانوناألسية 2. الدوال أمثلالهندسية .3. المتتابعات أحدد

8-1

الدوال • تمثيلالتربيعية

بيانيا

فكرة الدرس

أحلل التمثيالت البيانية للدوال التربيعية ـ أمثل الدوال التربيعية بيانيا

؟ لماذا

دة أعلى د في ـج ك فـه افورة المـل د ـن تـعــالم، إذ ــا في العـ ــافورة من نوعهـ نـ

ـمترا، وتـقدم ٣١٢يـصل ارتفاعـها إلى عرضـا رائعـا لحركـة الميـاه والضـوء، ادالت اه بمـع ة المـي ل حرـك ويمكن تمثـيتربيعيـــة. كمـــا يمكنـــك اســـتعمال ــة لهــذه المعــادالت التمــثيالت البياني

لتوضيح مسار المياه.

: خصــائص الــدوال التربيعيــة : درســت ســابقا الــدوال الخطيــة، وهنــاك أيضــا دوال غـــير خطيـــة تختلـــف أشـــكال تمثيالتهــا البيانيــة. فالــدوال التربيعيــة مثال هي دوال غـــــير خطيـــــة ويمكن

+ ٢كتابتهـا على الصـورة د)س( = أس ، وُ تسـمى هـذه ٠ب س+ ج ، حيث أى

الصـــورة بالصـــورة القياســـية للدالـــة التربيعيــة ويســمى التمثيــل البيــاني للداـلة التربيعـية قطـعا مكافـئا. وتتماـثل ط يتوـسطها ول ـخ ة ـح وع المكافـئ القـطيســمى محـور التماثـل، يقطـع القطـع

في نقطة واحدة تسمى الرأس.

+ ب س+ ج مفتوحـا ٢ ويكـون التمثيـل البيـاني للدالـة ص= أس

ــان أ < ــة ٠ـإلى اأـلعلى، ـإذـا ك ـــه نقط ــة في ــل ـأدنـى نقط ،ـ وـتمث

٠الـقـيمـة ـالصــغرى، وـيكــون مفتوحـا ـإـلى األسـفـل،ـ إذاـ كـان ـأ ـ>

وتمـثـل أـعلى ـنقـطة ـفـيه نقـطـة القيـمة العظمىـ ، وتـمـثل نقـطتـي

القيمة العظمى أو القيمة الصغرى رأس القطع.

س ٣: اـستعملى ـجدول القيم لتمثـيل الداـلة ص = مثال بـيانيا،ـ ـوـحددـى ـمجالها ـومداها٤س- ٦+ ٢

الحل

ا،ُ ثم وـصل ة بيانـي ل األزواج المرتـب : مـثل د التمثـي نى أملس. ويمـت ا بمنـح بينـهالبيــاـني للقطــع المكــافئ إلى مــا ال ــو ــهـ ه ــهـ، وـمجال ـــة من كاـل طرفي نهايجـميــع األعـداد اـلحقيقيـة، ومـداه هـو

- ≥ ص صـ| {٧ - ألن {؛ هي ٧ القيمة الصغر.

ــك ــة هي تلـ ــكال المتماثلـ األشـاألشـــكال الـــتي يكــون نصــفاها ــالقطع ــا. فـ ــابقـين تمامـ مـتطـه اـلمـكافئ ـهو ـشكل متماـثل وـلمحــور تماثـل، ـوكـل نقطـة في ـنصـف القطـع ـإلى يسـار محـور ــة في ــا نقطـ ــل تقاـبلهـ ـالتـماثـ

اـلنصفـ اآلخر ـله.

ــل، ــور التماثـ ــة محـ ــرأس، ومعادلـ ــد الـ أوجـوـالمقـطع الـصادي للتمثـيل البـياني التالي: مثال

الحل

: أوجـد الرأس. بمـا 1الخطـوة وح افئـ مفـت ع ـالمـك أنـ اـلمقـطإلـىـ األسـفل فـاـلرأـس يمثـل ــهـ وهي ــة الـعظمى لـ ـاـلنقطـ

(٣، ٢.)

: أوـجد مـحور التـماثل. بـما أن مـحور 2 الخـطوة ــاـلرأس ـــل هــوـ الـمســتقيمـ الــذي يمــر ب اـلـتماثذا ـويقسـم القطــع إلى ـنصـفين متطـابقين، ـل

.٢تـكـون معادلـة مـحوـر التماثـل هيـ س=

: أوـجد المقـطع الـصادي. بـما أن 3 الخـطوة تي يتـقاطع الـمقـطع الـصادي ـهو النقـطة اـلادات، ور الـص ع مـح افئ ـم ـع المـك ا القـط فيـه

ون المقطـع ١، - ٠وهي ـالنقطــة ) ذا يـك (، ـل.1ـالصادي ـهو -

ــع ــ ــائص القط ــ ــد خص ــ ــد تحدي ــ عنالً ة فـغ دة الداـل افيء ـمن قاـع اـلمـكور ة مـح اد معادـل ا ـمن األـسهل إيـج ـب

.} الـتماثل أواـل

ــور ــة مح ــرأس، ومعادل ــدى ال : أوجة: ادي للداـل ع الـص ل، ـوالمقـط التماـث

٣سـ – ٤ + ٢ـ س ٢ص =

مثال

الحل

ور ة مـح رأس، ومعادـل دى اـل : أوـجــادي ــع الصـ ــل، والمقطـ التماثـ

٣س – ٤ + ٢ س ٢للداـلة: ص =

: وإليجــاد إحــداثي الــرأس، خــذ القيمــة الناتجــة من معادـلة مـحور التماـثل، واعتبرـها إـحداثيا ـسينيا ـلرأس ـالقطــع الـمكــافىءـ ثم عوضــها فـي معادلــة الـقطــع

المكافىء إليجاد اإلحداثي الصادي. المعادلــــــــة ٣س - ٤ + ٢ س ٢ص =

األصلية، بسط١ س = - ٥ = - ٣( - ١)- ٤ + ٢( ١ )- ٢ =

(، وبما أن المقطع الصادي ٥، - ١ الرأس هو )- ، ج( دائما، لذا فالمقطع ٠هو عنــد النقطة )

.٣الصادي هو -

ا ة فيلـم ة الـسعودية للعـلوم الفيزيائـي : عرـضت الجمعـيل ارتفـاع الـطاـلق نمـوذجـ صــاروخ،ـ حيث يمكن تمثـية ة بالداـل ـد س ثاـنـي دام بـع ـاروخ ـعـن األـرض باألـق الـص

.٣١٢ س+ ١٣٠+ ٢ سـ ١٣ف)سـ(=-

مثال

الحل

) منه اطلق الذي االرتفاع ما بالصاروخ؟

الحل

: اطلـــق الصـــاروخ عنــدما كـــان الـزمن صـفرا، أو عنـد المقطـع الصـــادي للدالـــة، أي من على

قدما عن األرض.٣١٢ارتفاع

الصاروخ؟ ( يصله ارتفاع أقصى ما ج

الحل

ع اع تـق ة العظمى لالرتـف : القيـماروخ ذا يـصل الـص رأس، ـل د اـل عـن

ـقدما ٦٣٧إلى أقـصى ارتـفاع ـله بعـــد خمســـة ثـــوان من بـــدء

اإلنطالق.

8-2

حـــل •المعادالت التربيعية

بيانيا

فكرة أحل المعادالت الدرس

التربيعية بيانيا ـ أقدر حلول

المعادالت التربيعية من تمثيلها البيانى

لماذا؟ : يعـبر عن المسـار المنحـني لكـرة ــة ــل ملعب بالدال ــدم ركلت داخ ق

- ؛ ٥ + س + ٢ س ٠٫٠٠٥ص = حيث س المســافة األفقيــة الــتي ــدام، ص ــ ــرة باألق ــ ــا الك ــ قطعتهارتفـاع الكـرة فـوق سـطح األرض باألقــــــدام. ويمكن اســــــتعمال المـقاطع الـسينية للتمثـيل البـياني لهـــذه الدالـــة لتحديـــد المســـافة ــرة ــتي ســتقطعها الك ــة ال األفقي

حتى تلمس األرض.

الـصورة القياـسية للمعادـلة التربيعـية ، حيث أ ٠+ب س+ج= ٢هي أس

، ولكتابــة الدالــة التربيعيــة ٠≠ ة، اسـتبدل ص على صـورة معادـلأو د )س( بصـــفر، وتـــذّ كـــر أن ذورها يمكن ة أو ـج ول المعادـل حـلتحدـيدها بإيـجاد المـقاطع الـسينية للتمثيـــــل البيـــــاني للدالـــــة ــه ــ ــد للمعادل ــ المرتبطـــة، ويوجل ان أو ـح ة حالن حقيقـي التربيعـيحقيقي واحــد، أو ال يوجــد لهــا

حلول حقيقية.

ة س = ٨س - ٢ - ٢: ـحل المعادـل بيانيا.٠

الحل :

ــة د ــ ــل الدال ــ : مثس = - ٢)س(

المرتبطـــة ٨س - ٢بالمعادلـــة بيانيـــا. ــاطع ــ ــر المق ــ تظهــل ــينية للتمثيـ السـ

د - اني عـن . ٤، ٢البـيلـذا فـالحلول هي -

٤، ٢.

مثال

تقدير الحلول : : تمثـــل الجـــذور الـــتي وجـــدت دادا ـصحيحة، ابقة أـع ادالت الـس للمـعــة ــادالت التربيعي ــذور المع إال أن جليسـت دائمـا كـذلك، ويسـتعمل في هــذه الحــاالت التقــدير إليجــاد قيم

تقريبية لجذور المعادلة.

مثـــال

س + ٦ + ٢ : ـحل� المعادـلة س بيانيــــــا، وإذا لم تكن ٠ = ٦

ــحيحة، ــ ــدادا ص ــ ــذور أع ــ الجــزء من ــرب جـ ــدرها ألقـ فقـ

عشرة. الحل :

٢ : مـثل الداـلة المرتبـطة د )س( = س ــان ٦س + ٦+ ــا. يقــع المقطع بياني

ــينيان بين - ــ ، - ٢، وبين - ٤، - ٥الســه ١ ــدريج طول ٠٫١. أنشــئ جــدوال{ بت

ــع بين - ــ ــتي تق ــ ، ٤، - ٥لقيم س ال. وابحث عن التغــير في ١،- ٢وبين -

إشـــارات قيم الدالـــة، وتعـــد قيمـــة ــفر هي ــ ــرب إلى الص ــ ــة األق ــ الدال

التقريب األفضل لصفر الدالة.

: بمــا أن قيمــة الدالــة األقــرب إلى ــارة في كال ــير اإلش ــد تغ ــفر عن الص

، لـــذا فـــإن ٠٫١١الجـــدولين هي – ، - ٤٫٧الجــذرين التقريبــيين همــا: -

١٫٣.

: من مثال بقدمه الكرة سميح قذفإلى األرض من واحدة قدم ارتفاع

بسرعة / ٦٥األعلى وتمثل ثانية، قدم - = ع + ٦٥+ ٢ن ١٦الدالة ارتفاع ١ن

فكم ثانية، ن بعد باألقدام ع الكرةتقريبا؟ الهواء في الكرة تبقى

الحل :

ة - ذور المعادـل اد ـج ٦٥+ ٢ ن ١٦ : إليـج، اـستعمل الحاـسبة البيانـية ٠= ١ن+

في تمثيــل الدالــة المرتبطــة د )س( . بمـــــــــا أن ١ ن+ ٦٥+ ٢ ن ١٦= -

المقطــع الســيني المــوجب للتمثيــل تـقريً ـبا، ـلذا ـفإن الـكرة بقيت ٤ـهو

ثوان تقريبا في الهواء.٤

8-3حل •

المعادالت التربيعية بإكمال المربع

فكرة أكتب العبارة التربيعية الدرس

على صورة مربع كامل ـ أحل معادالت تربيعية

بإكمال المربع

يســـدد العبـــو كـــرة الســـلة بعض كــراتهم نحــو المــرمى بمســار

ــة: ع= - ــه بالمعادل ٩يمكن تمثيل، حيث تمثـــل ٥ س + ١٨ + ٢س

ــة. ــد س ثاني ــرة بع ــاع الك ع ارتفويمكن إيجـــاد الـــزمن عنـــد أي ارتفــــاع معطى للكــــرة ؛ فمثال رة ون الـك دما تـك زمن عـن اد اـل إليـج

أمتـار، نحتـاج إلى ٣على ارتفـاع حل المعادلة:

باستعمال ٥س + ١٨ + ٢س ٩= - ٣إكمال طريقة منها مختلفة طرق

المربع.

المربع : إكمالالدرس : في تربيعية ٦- ٧درست معادالت حل

منها، طرف لكل التربيعي الجذر بإيجادالمقدار كان إذا فقط، تستعمل والتي

ال، كامً عا مربً األيمن الطرف على الواقعالتي التربيعية الحدود ثالثية العبارات في أمامعاملها يكون والتي كاملة مربعات تمثل

الحد ١الرئيسي معامل بين عالقة فهناك ،. الثابت والحد س يحتوي الذي

مثال

خاص: زي شراء الرياضية الفرق إحدى أرادتتكلفة تمثيل أمكن إذا القدم، كرة بالعبي

= : ك بالمعادلة الرياضي ٤٫٨+ ٢س ٠٫٢الزيهذا ٣٥٠س+ من قطعة س ثمن ك حيث ،

شراؤها يمكن التي القطع عدد فما الزي،رياال؟ ٨٦٠بمبلغ

8-4المعادالت • حل

التربيعية

بإستعمال

العام القانون

الدرس فكرة

أحل معادالت تربيعية

باستعمال القانون العام

المفردات

القانون العام ـ المميز

لماذاــدم ؟ ــغط ال ــل ض : يمكن تمثي

ــبيعي ــ ــ ــي الط ــ ــ االنقباضــثى ــ ــق لألن ــ ــالمللتر زئب ــ ب

ة: ص = ة بالداـل ٠٫٠١البالـغس+ ٠٫٠٥+ ٢س ١٠٧ ،

حيث س العمــر بالســنوات، ــة ــ ــذه الدال ــ ــتعمل ه ــ وتسثى إذا علم لتـقدير عـمر االـنـضغط اـلدم االنقباـضي لـها، ــل ــعب حـ ــه من الصـ إال أنـــا ــة لهـ ــة المرافقـ المعادلـبالتحليــل إلى العوامــل أو ال اني، أو إكـم ل البـي التمثـي

المربع.

ــام : ينتج عن ــانون العـ القـــة ــع للمعادلـ ــال المربـ إكمـ

+ ب س+ ٢التربيعيـــة أ س ، صـــيغة نســـتعملها ٠ج =

ــة ــة تربيعي ــة معادل ــل أي لحة بالصـيغة القياسـية، مكتوـبــيغة ــ ــذه الص ــ ــمى ه ــ وتس

بالقانون العام.

ــة: ــ + ٢ س٣حلى المعادلـ باســـــــتعمال ١٢س = ٥

القانون العام. الحل :

مثال

: المعادلة - ٢س ١٠حل� ٥ = ٢٥س مقربا ا باستعمال العام، لقانون

من جزء أقرب إلى إذا الحل عشرة: كان ضروريا ذلك

الحل :

مثال

: س: المعادلة س ٤ - ٢حل =١

الحل :

مثال

8-5

األسية الدوال

الدرس فكرة

أمثل الدوال األسية بيانيا ـ أحدد بيانات يكون تمثيلها

دالة أسية

المفردات

الدالة األسية

: بعض أنــواع العنــاكب الذئبيــة الكبــيرة، غــير المؤذيـة لإلنسـان، تنتشـر على نطـاق واسـع في الغابــات االســتوائية واألمازونيــة، ويــبين التمثيـــل المجـــاور زيـــادة مجتمـــع العنـــاكب الذئبيـة عـبر الـزمن، الحـظ أن التمثيـل ليس ــاني ــل البي ــر التمثي ــا. يظه ــا وال تربيعي خطي

( س ، وهي مثـــــال على ٢) ٣الدالـــــة ص= الدوال األسية.

لماذا؟

: تمثيــل الــدوال األســية : ة ة هي داـل ة األسّ ـي الداـلمكتوبــــة على الصــــورة € أ حيث س، ب أ ص=

، الحــظ ١، ب € ٠، ب < ٠ابت واألس أن األسـاس ـثــدوال األســية متغــير، والــة وال ــت دوال خطيـ ليسـ

تربيعية.

= ص: الدالة . ٣مثلى بيانيا، سوحددى الصادي، المقطع وأوجدى

. ومداها مجالها

مثال

بينها وصل المرتبة األزواج عينالبياني التمثيل فيقطع أملس، بمنحنى

= ص عندما الصادات محور لذا ١للدالة ،يساوي الصادي والمجال ١فالمقطع ،

والمدى الحقيقية، األعداد جميع هو. أيضا الموجبة الحقيقية األعداد جميع

الحل

لتقدير( البياني التمثيل استعمل ب

٠٫٧ ٣قيمة

للمتغير الحقيقية القيم جميع البياني التمثيل يظهر

بها المرتبطة حيث والقيم ص، لذا ٣ص= للمتغير ، س

= س كان ص ٠٫٧فإذا استعمل ٢تساوي فإن با، تقريً

من للتحقق البيانية القيمة الحاسبة .٣هذه ٠٫٧

٢٫١٥٧٦٦٩

دوال ة لـل ثيالت البيانـي ع التـم : جمـيورة ص = أ بس، تي على الـص اـل

تشــــــــابه ١ ، ب < ٠حيث أ < شــكل التمثيــل البيــاني الــوارد

. والتمثيــل البيــاني ١في مثــال ذو األـساس أو قيـمة )ب( األـكبر يـكون ـصاعدا بوـتيرة أـسرع كلـما تحـركت من يسـار التمثيـل إلى ة ثيالت البيانـي ا ان التـم يمينه.كـمون على صـورة تي تـك دوال اـل لـل

ــدما أ < ــ > ٠ ، ٠ص= أ بس عن ، لهـــا الشـــكل العـــام ١ب >

نفسه.

8-6

المتتابعات الهندسية

دوال بوصفهاأسية

الدرس فكرة

أحدد متتابعات هندسية وأكونها ـ أربط

المتتابعات الهندسية بالدوال األسية

المفردات

المتتابعة الهندسية ـ

النسبة المشتـــركة ) األساس (

: قــام أحمــد بإرســال بريــد إلكــتروني إلى ة اله إلى خمـس ادة إرـس ام بإـع ذي ـق ديقة اـل ـصأـصدقاء آـخرين، وـكل واـحد من ـهؤالء الخمـسة أعـــاد توجيـــه الرســـالة إلى خمســـة آخـــرين وهـكذا، ويـشكل ـعدد الرـسائل المـعاد ارـسالها

في كل مرة متتابعة هندسية.

لماذا؟

ــال ــ ــخص األول بإرس ــ ــام الش ــ ٥ : قرـسائل إلى خمـسة أـشخاص، وـقام ـكل من ـهؤالء األـشخاص بإرـسال الرـسالة

٢٥ آخـرين، فيكـون لـدينا بـذلك ٥إلى رـسالة جدـيدة، وإذا ـقام ـكل من ـهؤالء

رســـائل، ينتج ٥األشـــخاص بإرســـال ــدينا ــة ١٢٥ل ــرى ، ومتتابع ــالة أخ رس

، ٢٥، ٥، ١الرســـــائل اإللكترونيـــــة ... مثــــــــال على المتتابعــــــــة ١٢٥

الهندسية. الحـد األول في المتتابعـة الهندسـية ال يسـاوي صـفرا، ويتم إيجـاد كـل حـد بـعد الـحد األول بـضرب الـحد الـسابق ـله ــابت غــير الصــفر )ر(ُ يسّ مى في ثذي النسـبة المشـتركة ) األسـاس (، اـليمكن إيـجاده بقـسمة أي ـحد على الـحد

السابق له.

فيما: متتابعة كل كانت إذا حددىغير أم هندسية أم حسابية يأتي

: إجابتك وفسرى ذلك،

مثال

الحل

المتتابعة: حدود من المزيد إيجاد يمكن

. ويعبر أساسها معرفة عند الهندسية،

حدها هندسية لمتتابعة النوني الحد عن

= : أ أن بالصيغة ر وأساسها أ، ن- ر١األول

يمثل ١ موجب صحيح عدد ن حيث ،

. الحد ترتيب

في: التالية الثالثة الحدود أوجد.: يأتي فيما هندسية متتابعة كل

مثال

الحل

: يوضــح الجــدول التــالي طريقــة ــد من ــير عن أي ح ــرى للتعب أخحـدود متتابعـة هندسـية وإيجـاد ا ام لـه د الـع وني أو الـح د الـن الـح

واألـساس ر ١بدالـلة الـحد األول أكما يأتي:

بين : الـحظ أن األـساس ـهو ر، حيث ـيالجـدول كيـف نجـد الحـد النـوني أو الـحد الـعام، وذـلك بـضرب الـحد األول في األســـاس مرفوعـــا إلى األس

(، ويمكن أن تعـرف المتتابعـة ١)ن- ــية، ــة أس ــا دال ــية على أنه الهندسيكــون فيهــا ن متغــيرا مســتقال، أن متغـيرا تابعـا، ر األسـاس، ومجالهـا

األعداد الصحيحة الموجبة.