第二章  线性规划第一节  线性规划问题及其数学模型第一节  线性规划问题及其数学模型第二节  线性规划问题的图解法第二节  线性规划问题的图解法第三节  单纯形法第三节  单纯形法第四节  线性规划的对偶问题第四节  线性规划的对偶问题第五节  线性规划在卫生管理中的应用第五节  线性规划在卫生管理中的应用

三、线性规划问题的标准形式 三、线性规划问题的标准形式 

第一节  线性规划问题及其数学模型第一节  线性规划问题及其数学模型

（一）线性规划问题的标准形式 （一）线性规划问题的标准形式 

（三）标准形式的转化 （三）标准形式的转化 

           线性规划的标准形有如下四个特点：线性规划的标准形有如下四个特点：               目标最大化、  约束为等式、目标最大化、  约束为等式、               变量均非负、  右端项非负。变量均非负、  右端项非负。  

第一步  建立平面直角坐标系第二步  求满足约束条件的可行解区域第三步  作目标函数的等值线簇，确定         目标函数值增加方向（或用等         值线法）。第四步  从可行解区内找满足目标函数         的最优解。

1.1. 两个变量的线性规划问题的图解法步骤两个变量的线性规划问题的图解法步骤

第二节  线性规划问题的图解法第二节  线性规划问题的图解法

2. 2.  图解法的优点及局限性图解法的优点及局限性图解法的优点：图解法的优点：直观、形象，容易使人认识线               性规划模型的求解过程。

３．线性规划问题解的几种情况３．线性规划问题解的几种情况图解法局限性图解法局限性：：一般只适用于两个变量的模型。

（（ 11 ）有唯一的最优解；）有唯一的最优解；（（ 22 ）有最优解，但不唯一；）有最优解，但不唯一；（（ 33 ）有可行解，但没有最优解；）有可行解，但没有最优解；（（ 44 ）没有可行解（空集）。）没有可行解（空集）。

第三节  单纯形法第三节  单纯形法

一、单纯形法的基本原理 一、单纯形法的基本原理 二、单纯形解法 二、单纯形解法 三、大 三、大 M M 法 法 

((一一 ) ) 人工变人工变量 量 ((二二 ) ) 大 大  M M 法求解 法求解 

一、单纯形法的基本原理 一、单纯形法的基本原理 

（一）典型方程组（一）典型方程组→→规范型规范型  （二）基本变量 （二）基本变量 （三）基本解 （三）基本解 （四）基本可行解 （四）基本可行解 （五）单纯形法的原理 （五）单纯形法的原理 ☻☻

得到最优解或得到最优解或证明最优解不存在证明最优解不存在

标准型标准型

从可行域某个顶点开始从可行域某个顶点开始

检查该点检查该点是否最优解是否最优解

不是不是

取一个“相邻”取一个“相邻”、、““更好”的顶更好”的顶点点

一、单纯形法的基本原理 一、单纯形法的基本原理 

规范型规范型

    例例 88    某制药厂生产甲、乙两种药品，它们均须在 A、B 、 C 三种设备上加工，每种设备的使用时间，每吨药品的加工时间以及所获利润见下表，甲、乙药品各生产多少吨，可使该厂所获利润最大？

       表表 11 －－ 5   5    药品生产有关数据药品生产有关数据  A B C 利润

（百元 /吨）

甲 3 5 9 70

乙 9 5 3 30

设备使用时间（小时）

540 450 720  

二、单纯形解法 二、单纯形解法 

     解：解：设甲、乙分别生产设甲、乙分别生产 xx11 、、 xx22 吨，该厂所获利润吨，该厂所获利润为为　　　　　　 ZZ百元。建立数学模型如下：百元。建立数学模型如下：

0,

72039

45055

54093

3070

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxZMax

0,,,,

72039

45055

54093

3070

54321

521

421

321

21

xxxxx

xxx

xxx

xxx

xxZMax

第二步：建立初始单纯形表并进行表的迭代第二步：建立初始单纯形表并进行表的迭代                           （见表（见表 11－－ 66））

第一步：化线性规划模型为标准规范型第一步：化线性规划模型为标准规范型                             （见上面右边）（见上面右边）

表表 11－－ 66　初始单纯形表　初始单纯形表

基变量

 B

70 30 0 0 0 θ

x1 x2 x3 x4 x5

0 x3

0 x4

0 x5

540450720

35

[9]

953

100

010

001

1809080

Cj-Zj O 70 30 0 0 0 

X(1) = ( 0, 0, 540, 459, 720 ) Z(1) = 0

0 x3

0 x4

0 x5

540450720

35

[9]

953

100

010

001

1809080

Cj-Zj O 70 30 0 0 0 

0 x3

0 x4

70 x1

3005080

001

810/3

1/3

100

010

-1/3-5/91/9

37.5

15240

Cj-Zj5600

020/3

0 0 -70/9 

表表 11－－ 66　　表的迭　　表的迭代代

X ( 2) = ( 80, 0, 300, 50, 0 ) Z ( 2) = 5600

0 x3

0 x4

70 x1

300

50

80

0

0

1

8

10/3

1/3

1

0

0

0

1

0

-1/3

-5/9

1/9

37.5

15

240

Cj-Zj 5600 0 20/3 0 0 -70/9 

0 x3

30 x2

70 x1

180

15

75

0

0

1

0

1

0

1

0

0

-2.4

3/10

-0.1

1

-1/6

1/6

 

Cj-Zj 5700 0 0 0 -2 -20/3 

表表 11－－ 66　　表的迭　　表的迭代代

X * = ( 75, 15, 180, 0, 0 ) Z * = 5700

                 表表 11 －－ 6  6   单纯形法表格计算过程单纯形法表格计算过程

 C

基变量

 B

70 30 0 0 0 θ

X1 X2 X3 X4 X5

000

X3

X4

X5

540450720

35

[9]

953

100

010

001

18090（80）

Cj-Zj O （70） 30 0 0 0

 

0070

X3

X4

X1

3005080

001

8[10/3]

1/3

100

010

-1/3-5/91/9

37.5（15）240

Cj-Zj-

5600

0 （20/3 ） 0 0 -70/9

 

03070

X3

X2

X1

1801575

001

010

100

-12/53/10

-1/10

1-1/61/6

 

Cj-Zj-

5700

0 0 0 -2 -20/3 

由表得最优解由表得最优解

0,0,180,15,75,,,, 54321 xxxxx

15,75, 21 xx

相应的最优值相应的最优值  － Z＝－ 5700

例例 88 的最优解的最优解是是

最优值是最优值是    Z ＝ 5700

单纯形法的基本步骤单纯形法的基本步骤 ::

    （ 1）建立初始单纯形表        确定基变量、非基变量以及基变量、非基变量（全部对于 0 ）和目标函数的值，并求出相应的检验数检验数（在用非基变量表达的目标函数非基变量表达的目标函数表达式中，我们称非基变量 非基变量  xxj j 的系数为检验的系数为检验数数） ；

  （ 2）检验、确定进基变量进基变量     如果任何一个非基变量的值增加都不能使目标函数值增加，即所有检验数非正，则当前的基本可行解就是最优解，计算结束。     若存在检验数大于0  ，那么绝对值最大者对应的非基变量  xj 称为“进基变量进基变量”，

转（ 3）。

单纯形法的基本步骤单纯形法的基本步骤 ::

       这个基变量  xr 称为出基变量出基变量。转（ 4）。

       如果进基变量的值增加时，所有基变量的值都不减少，即所有 所有  aaij ij 非正非正，则表示可行域是不封闭的，且目标函数值随进基变量的增加可以无限增加，此时，不存在有限不存在有限最优解最优解（或称有无界解或无最优解）（或称有无界解或无最优解），计算结束。

rjrijiji abaabMin /0/

(3)  确定出基变量出基变量

满足

单纯形法的基本步骤单纯形法的基本步骤 ::

    （ 4）迭代运算

      将进基变量作为新的基变量，出基变量作为新的非基变量，围绕主元主元进行迭代运算，确定新的基、新的基本可行解和新的目标函数值。在新的基变量、非基变量的基础上重复（1）。

单纯形法的基本步骤单纯形法的基本步骤 ::

 注意注意：单纯形法中 1.每一步运算只能用矩阵初等行变换； 2.表中第 3列 (b列 )的数总应保持非负（≥ 0）

3.当所有检验数均非正（≤ 0）时，得到最优单纯形表。

4.可能出现的特殊情况特殊情况  

单纯形法求解中的特殊情况单纯形法求解中的特殊情况  

1．最终产生最优值的单纯形表中，某一非基本变量的检验数某一非基本变量的检验数＝＝ 00，意味着作任何增大，目标函数的最优值不变．此时线性规划问题的最优解并不唯一最优解并不唯一，有多重最优解有多重最优解．

（见下面例题）

例例    用单纯形法求解下列规划问题用单纯形法求解下列规划问题      

0,,,

63

422

..

3Min

4321

421

321

4321

xxxx

xxx

xxx

ts

xxxxZ

解解 : : 令令

ZZ 于是原线性规划问题变为标准形式：

0,,,

63

422

..

3Max

4321

421

321

4321

xxxx

xxx

xxx

ts

xxxxZ

1 0 -1/8 1/41-3 x1

0 0 -1 0Cj -Zj

0 1 3/8 1/43-1 x2

0 0 -1 0Cj -Zj

1[4] 0 -1/2 14-1 x4

-1 1 ½ 02-1 x2

-2 2 0 0 Cj -Zj

6 3 1 0 16-1 x4

2-2 [2] 1 04-1 x3

x1 x2 x3 x4

-3 -1 -1 -1

b

单纯形表迭代单纯形表迭代

最优解为：最优解为：

10

1

0031

4020

*2

*1

*

*2

*1

其中XXX

X

X

6** ZZ最优值为：最优值为：

2．当枢列（进基变量所在列）中的每一项系数不是不是 00 就是负值就是负值时，说明所有约束条件对进基变量的增加都无约束作用，因此目标函数可以无限地增加．这种情况我们称为无有限最优解无有限最优解（或称有无界解或无最优解无最优解）．但在现实中，不可能有此情况，往往是模型建立错误，遗漏了一些约束条件所致． 

单纯形法求解中的特殊情况单纯形法求解中的特殊情况  

单纯形法求解中的特殊情况单纯形法求解中的特殊情况  

3．在选取进基变量时，有有 22 个及个及 22 个以上变量个以上变量的检验数具有相同的最大正值的检验数具有相同的最大正值（极小化问题为相同的最小负值），这时可任选其中一个变量可任选其中一个变量进基进基．选择进基变量的不同，可能在达到最优解前迭代的次数也不同，但事先无法预测． 

4．出现相同的最小比值相同的最小比值，此时可从具有相同最小比值所对应的基本变量中，选择下标最大选择下标最大的那个基本变量为出基变量的那个基本变量为出基变量．这时有可能出现退化的基本可行解退化的基本可行解，即至少有一个基变量为零至少有一个基变量为零（见规划教材例 2-8中的表 2-6 和表 2-7 ）．

单纯形法求解中的特殊情况单纯形法求解中的特殊情况  

       出现退化的基本可行解退化的基本可行解对运算带来麻烦，理论上可能出现单纯形法陷入循环或闭环循环或闭环，在每次迭代中值保持不变，不能使解趋向最优解．但幸运的是，在实际应用中从未遇到或发生过这种情况．尽管如此，人们还是对如何防止出现循环作了大量研究。提出了各种避免循环的方法避免循环的方法。

单纯形法求解中的特殊情况单纯形法求解中的特殊情况  

在选择进基变量和出基变量时作以下规定： ①  在选择进基变量时，在所有  j > 0 的非基变量中选取下标最小的进基； ②  当有多个变量同时可作为出基变量时，选择下标最大的那个变量出基。这样就可以避免出现循环 ,当然，这样可能使收敛速度降低。

#

避免循环的方法避免循环的方法

初始基本可行解

是否最优解或无限最优解 ?

结束

沿边界找新的基本可行解

N

Y

单纯形法的基本过程单纯形法的基本过程

#

作业作业

规划教材规划教材 PP5050 4 4