Капиллярно-волновая Капиллярно-волновая модель межфазных модель межфазных

границграниц:: итоги и итоги и перспективы перспективы исследованийисследований

Д.И. Жуховицкийгл. н. сотр. ОИВТ РАН

Граница пар―жидкость:Граница пар―жидкость:

плавный переход или слоистая структура?плавный переход или слоистая структура?

Газ

Жидкость

Газ

Жидкость

Промежуточная фаза

Методы исследования:Методы исследования:

1. аналитические1. аналитические;;

2. экспериментальные (отражение 2. экспериментальные (отражение рентгеновского излучениярентгеновского излучения и нейтронов)и нейтронов);;

3. численный эксперимент (молекулярная 3. численный эксперимент (молекулярная динамика + Монтединамика + Монте--Карло)Карло)..

Трудности капиллярно-волновой модели:

1. Что такое микроскопическая волновая поверхность? Как рассматривать «гребешки» волн?

2. Как отделить капиллярные флуктуации от объемных?

3. Какое поверхностное натяжение адекватно микрокапиллярным флуктуациям?

Частицы делятся на три типа. Частицу 1 с радиус-вектором назовем внутренней, если существует по крайней мере одна частица 2 с числом связей более четырех и координатой такой, что выполняются условия

где – число частиц кластера в единице объема. Частицы, не являющиеся внутренними и имеющие более четырех ближайших соседей, будем называть поверхностными, а частицы с числом связей менее пяти отнесем к виртуальным цепям.

22 2 1 2

1 2 1 2 2 2 / 31

( ) 1, ,

3r r

r n

r rr r

1r

2r

n

Положение №1: разделить частицы, являющиеся «опорными» для волновой (флуктуационной) поверхности и виртуальные цепи (частицы, слабо связанные с кластером). Как следствие, ограничивается максимальная кривизна волновой поверхности.

Поперечные сечения кластеров, содержащих 1592 (1) и 2320 (2) частиц. Темные кружки ― внутренние частицы, заштрихованные ― поверхностные, светлые ― виртуальные цепи. Поверхностные частицы формируют монослой, сильно искривленный тепловыми флуктуациями. Для внутренних частиц число связей не менее 10, а частицы, имеющие не более четырех связей, образуют виртуальные цепи.

0 4 8 12 16

b

0

100

200

300

400

F(b

)

1

2

3

0 4 8 12 16

b

0

100

200

300

400

F(b

)

1

2

3

0 4 8 12 16

b

0

100

200

300

400

F(b

)

1

2

3

0 4 8 12 16

b

0

100

200

300

400

F(b

)

1

2

3

0 4 8 12 16

b

0

100

200

300

400

F(b

)

1

2

3

0 4 8 12 16

b

0

100

200

300

400

F(b

)

1

2

3

0 4 8 12 16

b

0

100

200

300

400

F(b

)

1

2

3

0 4 8 12 16

b

0

100

200

300

400

F(b

)

1

2

3

Выделим поверхностные частицы, расположенные между двумя параллельными плоскостями. Полярные координаты частиц ― это значения непрерывной функции

max max0

1 1

( ) cos sin .2

k k

k kk k

P k k

Спектральные амплитуды сечений определялись усреднением как по конфигурациям кластера, так и по углам Эйлера при вращении каждой конфигурации:

1 2

2 2

, .cs k k

kcs

gS

g

0.0 0.5 1.0 1.5k/gcs

0.0

0.2

0.4

0.6

k Sk

2

43

1

_

Спектральные амплитуды сечений кластеров, содержащих 150 (1), 1000 (2), 3000 (3) и 24450 (4) частиц, при температуре 0.75 глубины межчастичного потенциала (численный эксперимент). Точки ― теоретический расчет для 24450 частиц.

Положение №2: Объемные флуктуации обусловлены случайным расположением поверхностных частиц в пространстве. Они, следовательно, моделируются флуктуациям поверхностных частиц кластера, усеченного сферой. Полная спектральная плотность

,k k kS Q R max 2

1/ 3

1

.12

k

kk

R g

0 20 40 60 800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

k

kk

1

2

3 4

Различные компоненты спектральной амплитуды флуктуаций поверхности кластера, содержащего 30000 частиц при температуре 0.75 глубины межчастичного потенциала. (1) ― объемные, k = Rk ; (2) ― капиллярные флуктуации, k = Qk ; (3) ― полная спектральная амплитуда, k = Sk ; (4) ― полная спектральная амплитуда без выделения виртуальных цепей.

Теория капиллярных флуктуаций

20 max3 /16 ,k

В пионерской работе (Buff, Lovett, Stillinger, 1965) было получено соотношение

Попытки учесть зависимость поверхностного натяжения для флуктуаций от волнового числа приводит в противоречивым результатам, например к возрастающей (Helfrich, 1973)

20( ) ,q q

убывающей зависимости (Mecke, 1999) и к более сложным зависимостям.

где ― константа связи.0

( )q

где ― жесткость на изгиб для поверхности,

где

Согласно теории флуктуаций, изменение свободной энергии Гиббса поверхности кластера есть

2 2220 0

,

( , ) sin ( 1)( 2),2 2 lm

l m

R Rd d a l l

,

( , ) ( , ), .lm lml m

R a Y l m l

где

С помощью теоремы о равнораспределении получим

2

20

.( 1)( 2)lm

Ta

R l l

Условие конечности избыточной поверхности кластера

2

20 0

(2 1) ( )2 2l

T TA l l

где

позволяет найти максимальное значение l

1/ 2

2

8( )

(2 )R

T

и связь между константой связи и обычным поверхностным натяжением :

Здесь

2

0

1 .2

2( , ) 0.548

― универсальная постоянная.

где

Капиллярная флуктуация в форме сферической гармоники Ylm

(cos )cos ,( 1)( 2)

mi lm l i i

Tr R A P m

l l

( , ) ( , )

1 2

1 2

2 21

,0 ,

( ) .l m l m

l

k cs cs k km

S l g g

где ― амплитуда, соответствующая , дает вклад

в наблюдаемый в численном эксперименте двумерный спектр

Он определяется коэффициентами Фурье-разложения границы сечения

( , )max max( , ) ( , )( , ) 0

1 1

( ) cos sin .2

l m

l m l mk k

l mk k

k k

P k k

Тогда полная спектральная амплитуда капиллярных флуктуаций

2 ( )

2

1 ( ).2k k

l

Q S l

lmA2 2/ ( 1)( 2)lma T R l l

Спектральные амплитуды капиллярных (1, 2) и объемных (3) флуктуаций для кластера, содержащего 30000 частиц при температуре 0.75 глубины межчастичного потенциала. (1) ― теория, (2, 3) ― молекулярная динамика.

0 20 40 60 800.0

0.2

0.4

0.6

3

Sp

ect

ral a

mp

litu

de

s

2

T = 0.75

1

k

где

Эффективное поверхностное натяжение определяется как

212

eff 2 2

(2 1)( ) ,

( 1)( 2)

l lm

lmm l lm

aT ll a

R l l a

где не зависит от m. В «классической» теории . Полная спектральная амплитуда капиллярных флуктуаций

221

eff 02

( ) ( , ).2

l

k l kl m l

RQ l a s l m

max22

22 1eff 0

1 2

( ) ( , ) min.2

k l

k l kk l m l

Rk Q l a s l m

2

lmaeff ( )l

Рассматривалась двухпараметрическая

( – функция Хевисайда) и трехпараметрическая

зависимости. Параметры выбирались из условия наилучшего описания МД:

eff 0/ ( / )[1 ( )]l

eff 0/ ( / 2 ){1 th[( ) / ]}l

где

Эффективное поверхностное натяжение в двухпараметрическом и трехпараметрическом приближениях для кластера, содержащего 30000 частиц при температуре 0.75 глубины межчастичного потенциала.

0.0 0.4 0.8 1.2k/gcs

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ef

f

32

_

/

Капиллярные флуктуации для кластера, содержащего 19400 частиц при T = 0.69 (1) и для кластера, содержащего 30000 частиц при T = 0.75 (2). Точки – молекулярная динамика, линии – расчет с трехпараметрическим эффективным поверхностным натяжением.

0 20 40 60 800.0

0.2

0.4

0.6

1

k

2

kQk

102 103 104 g0.5

0.7

0.9

1.1

2

1

2

1 – dens. prof.

2 – direct

3 – spectrum

3

T = 0.75

Толщина межфазной границы пар―жидкость определяется величиной2 2

22 2

2

(2 ) (2 1)(2 5)(2 1) ln ln .

4 8 7lml

R Tl a R

Толщина переходного слоя неограниченно возрастает с ростом площади поверхности!

-2 -1 0 1 2r – Re

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

(r)

T = 0.67

< >

При усреднении конфигураций границы пар―жидкость получаются плавные зависимости характеристик вещества в переходной области.

Малые кластеры и виртуальные цепиМалые кластеры и виртуальные цепи

Anim.bat

Малые кластеры, характеризуемые минимальным числом связей, образуют виртуальные цепи. Их статсумма вычисляется аналитически:

откуда следует, например, уравнение состояния кластерного пара

1( ) 3 (2)( / ) ,gg

c cZ V Z

11/ 201 [exp( / ) 1] .BZ C pT D k T

Направления исследований

1. Капиллярные флуктуации и виртуальные цепи при приближении к критической точке.

2. Капиллярные флуктуации на поверхности жидкого металла.

3. Поверхность жидкого металла при приближении к критической точке.

4. Капиллярные флуктуации в сильных полях.5. Межфазная граница при большом градиенте

температуры.

Спасибо за внимание!

Подробности на сайте

http://theor.nm.ru