对数学教学及其价值

的认识与思考

舟山南海实验学校 张宏政舟山南海实验学校 张宏政 e-mail :nhxx_zhz@126.coe-mail :nhxx_zhz@126.comm T:(0580)2091115, 13867218365T:(0580)2091115, 13867218365

一、为什么而教？

二、教什么？

三、怎么教？

对数学教学及其价值的认识与思考

一 . 为什么而教—局外人的困惑1. 90 年代北京一位高官视察学校时发表的言论…

平方差公式 : a2-b2=(a+b)(a-b)价值何在？1.数学本身发展需要—分式运算，解方程等；

2. 字母的可变性，结构的不变性——整体观念；

3. 逆向思维的培养；具体与抽象的结合。

对数学教学的价值认识与思考

2. 自身的困惑？

对数学教学的价值认识与思考

语文、英语——语言交流与书面表达；

自然科学——科学的眼光，科学的方法；

社会——了解历史、以史为镜；

数学——计算与证明，数据处理…

日常生活中用到了多少，价值何在？

看得见，摸得着，有用

为什么而教——价值何在？

爱因斯坦：“为什么数学比其他的一切科学受到尊重，一个理由是，它的命题是绝对可靠的和无可争辨的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现推翻的危险之中。数学给予精密的自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”

•（美） M. 克莱因：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神．正是这种精神，使得人类的思维运用到最完善的程度．亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵．”

为什么而教——价值何在？

• 米山国藏指出 : 在学校学的数学知识 , 毕业后若没什么机会去用 , 一两年后 , 很快就忘掉了 . 然而 , 不管他们从事什么工作 , 唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等 ,却随时随地发生作用 ,使他们终生受益 .

为什么而教——价值何在？

• M·劳厄尔也指出：教育的真谛是“所有学会的东西都忘却了以后仍然留下来的那些东西”．

为什么而教——价值何在？

（北大张龙燕）数学的精神、方法与应用给你一双数学家的眼睛，丰富你观察世界的方式；

给你一颗好奇的心，点燃你胸中的求知欲望；

给你一个睿智的头脑，帮你理性思维；

给你一个研究模式，使它成为你探索世界奥秘的望远镜和显微镜；

给你提供新的机会，让你在交叉学科中寻找乐土，利用你的勤奋和智慧去做出发明和创造。

二、教什么？基础 + 方法 = 能力

1. 张奠宙教授的比喻……2.顾泠沅教授的比喻……

中国数学界落实双基的有效经验：

记忆通向理解；速度赢得效率；

严谨形成理性；重复依靠变式；

基础知识与基本技能 +基本数学思想与基本数学经验

关于方法：

二、教什么？

著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要教给学生“大巧”，要教学生“运用之妙，存乎一心”，以不变应万变，不讲或少讲只能对付一个或几个题目的“小巧” .

不拘泥于一招一式 ,应该讲“一般有用的方法”

小巧固不足取，大巧也确实太难 . 对于大多数学子，还要重视有章可循的招式，由小到大，以小御大，小题做大，小中见大 .

教学的三重境界：授人以业，授人以法，授人以道。

二、教什么？

知识

方法 思维

能力

情感与态度结合 , 知识与方法融合 , 结果与过程并重 ！

案例 1 ：袁隆平为什么不喜欢数学？

案例 2 ：怎样验证在有理数范围运算律仍然成立？做什么 怎样做为什么这样做 ?

案例 3: 有关相似及比与比例的数学活动 ( 经典情境 )

合理把握“过程性目标”

1.约定性的知识：例如数学名词来历，符号规定，表述习惯；

2.技能性的运算规则，要展示其形成过程，但必不长期记得该过程。如分式相除的“颠倒相乘”

3. 一些结论重要但过程缺乏普遍性价值的知识，经历。如证明圆周角定理需分直角、锐角、钝角讨论，定理很重要，但这类证明缺乏普遍的教育价值。

4. 重要数学思想方法的运用过程，如几何命题的演绎证明，代数方程求解过程，函数概念的发生过程，就必须反复、重点展示其发生、发展的过程。

一个可以借鉴的例子 !

• “四边形内角和”的教学AA 班讨论班讨论“一题多“一题多解”的背后，解”的背后，有什么共同有什么共同的地方。的地方。

BB 班没有这班没有这个环节个环节

25天后的测试A

B C

D

E A班 正确率 89%

B班 正确率 25%

结果分析：

A班进行了数学本质——“化归思想”的显化提炼；

B班仅停留在“一题多解”的操作层面和“化归”的渗透阶段。

更深层次的思考 !

图 1 图 2 图 3

A

B C

D

EA

B C

D

EA

B C

D

E

前 25%的学生摆脱了对三角形情境的依赖，对化归思想的灵魂——把未知问题转化成已知问题有了更深的认识（内隐学习）；但 65%的学生对当初“化归为三角形的内角和” 有直接的依赖，停留在原来的水平上，没有表现出认知水平的提升（外显学习） . 后 10%的情况表明思想方法的提炼需要知识基础 .

结论 : 思想方法的提炼可以提高中等生的数学能力 .关键在于教师要设计“从内隐到外显”的逻辑通道，提供机会。

目前国内数学教育教学的三种常见模式：（ 1）讲练方式 : 以教师讲解为主 ,反复举例说明 , 学生在教师指导下 ,进行习题和考题的操练；（ 2）探练方式 : 在教师指导下进行变式训练 , 以探索数学问题的解答为主要目标 , 教师点拨 , 学生练习 , 题目的探索度不高 ,小步求变 ,巩固提高；（ 3）自练方式 : 学生自学练习 , 教师适当辅导 , 以小步走的数学问题演练为主要活动内容 ,通过模仿和记忆行为 ,获得解决数学常规问题的基本能力 .

现状及其思考

共同特征：大量机械性练习 ,模仿性练习优点：有助与掌握基本运算能力、逻辑演练能力，提高常规解题能力；

弊端：模仿练习不利于求异思维发现，教学缺乏创新精神。

三、怎么教？数学教学的研究成果表明，数学学习是再创造的过程。数学是“做”出来的，学生通过做题，找到知识之间的内部联系，能整体看待数学，并提炼其中的数学思想方法，形成数学思维品质，并服务于社会现实需要。问题情境

建立模型

解释应用

数学教学应遵循学生的认知规律，教学要把知识从“学术形态”转变成“教育形态”，从而把数学学习从“冰冷的美丽”转变为“火热的思考”。

拓展提高

形式化的演绎 (定理 )+ 具体例子 (应用 )= 学术形态

具体例子（感知） + 抽象概括 +拓展应用 = 教育形态

数学教学的若干原则

1. 学习数学化原则——与其说学习数学，倒不如说学习数学化（荷 .弗赖登塔尔）案例：方程是这样来的！

2.适度形式化原则——符号化 ,逻辑化和公理化案例 : 一次函数的概念如何生成 ?

3.问题驱动原则——设计一个好的初始问题案例 1 ：合并同类项的教学设计案例 2 ：锐角三角函数的教学片断比较

(鸡兔同笼问题 ):笼子里有鸡和兔，数头有35 个，数脚有 94只，问鸡和兔各几只？解法 1 ：有兔解法 2 ：有兔解法 3 ：猜，①鸡 21 ，兔 14，不对；②鸡 22 ，兔 13 ，还不对；③鸡 23 ，兔 12 ，对了！

122)23594( 1235294

猜鸡 x ， x 是什么？ x 是鸡！兔（ 35-x）那么怎么办？……鸡脚 +兔脚 =94 2x+4 （ 35-x） =94 —— 方程 x=12

列方程解应用题的教学设计

合并同类项的设计比较

设计 1 ：活动方式——找朋友

基于学生基本活动经验的设计理念

设计二：问题驱动

基于揭示数学知识发生、发展的设计理念

合并同类项的设计比较

初始问题：

当 a=1/3,b=-2 时，求代数式 -4a2b+2a2b-7a2b 的值。

提问：能否使解题过程简捷些？

再问：当 a=1/3,b=-3 时，本题又等于多少？能否使上面的解法再简化些？

-4 +2 -7 =-9—— 学生已经发现了“合并同类型”法则

合并同类项的设计比较

当 a=-1/2 时，求代数式 3x3-5x+9x3-4x3+1 的值。

并围绕下列问题讨论：

1. 怎样得到简捷的解法 ,能使用先合并 ,再代入的方法吗？ 2. 为什么能把 3x3,9x3,-4x3 合并 ;为什么不能把 x与 x3 合并处理？

3. 什么样的项才能合并 ?

4. 什么叫字母部分完全相同 ?

5. 为什么要求字母部分完全相同 ?

锐角三角函数的教学片断比较

教学片断 1 ：问题：为测量某旅游景点一塔的高度，可以在于塔基同一水平面上架一测角仪，测得MN=1.7 米 ,ND=13.3 米 ,∠BMC=60°，能求出塔高吗？ E N D

A M C

B

学生：能， Rt△BMC中 , ∠BMC=60°, 则∠MBC=30°,

因此 ,BC= MC=23.04米 ,故塔高 BD=BC+MN=24.74米

3教师：很好。为验证这个结果，测量者向后退到 E点位置，再搭好测角仪，这时测得 ED=19 米， ∠ BAC=50°,你还能验证上述结果吗？学生沉默 . 一会儿… , 教师 :大家是否感到困难了 ,通过这堂课学习 ,我们就能解决这个问题了 .

锐角三角函数的设计比较

活动 1: 作一个 30°的∠ A, 在角的两边上任取一点 , 作 BC⊥AC,垂足为 C, 计算 BC/AB,AC/AB,BC/AC的值 , 并将结果与你的同伴比较 .

活动 2: 作一个 50°的∠ A, 在角的两边上任取一点 , 作 BC⊥AC,垂足为 C, 计算 BC/AB,AC/AB,BC/AC的值 ( 结果保留两位有效数字） , 并将结果与你的同伴比较 .

A C

B

A C

B

一段时间后 ,汇报开始。（活动 1）学生 1 ：我们小组每个学生的结果都相同…（活动 2）学生 2 ：我们小组关于 BC/AB的结果基本相同，

分别是 0.76,0.77,0.77,0.78.

教师 : 其他组呢 ? 学生 (稀疏的声音 ):相同 . 教师 : 为什么会相同 ?

锐角三角函数的设计比较

教师出示图形 ,如图 4,B,B1 分别是∠α上的任意两点 , 作 BC⊥AC, B1C⊥AC1,垂足分别为 C,C1,判断 BC/AB与 B1C1/AB1,…是否相等 , 并说明理由 . A C C1

B

B1

图 4

学生：用相似三角形的性质证明……

接着教师板书证明过程，引出三角函数概念和表示法，讲解注意事项。

最后通过例题归纳互余角的三角函数关系。

讨论：这样的问题设置能否引发学生思维？这样的活动（小组合作）开展是否有效果？

3 3

3

锐角三角函数的设计比较

教学片断 2 ：如图 5 ，一根 3 米长的竹杆AB斜靠在墙上。现测得竹竿 AB与地面所成的角∠ BAC=30°，大家能求出竹竿的端点A,B到墙角 C的高度 (BC) 和水平距离 (AC)吗 ?

A C

B

图 5

学生 : Rt△ABC中 , ∠BAC=30°, AB=3,因此 ,BC= 1/2AB=1.5 米 ,AC= BC≈2.6 米 .教师 : 理由 .学生 : 在 30°的直角三角形中 , 三边关系有 1: :2.教师板书 :BC/AB=1/2,AC/AB= /2,BC/AC= /3.教师 : 可见当∠ BAC=30°时 ,直角三角形三边关系是确定的 .大家再看屏幕 ,你们又有什么发现 ?

3

33 3

A

B

学生 1:竹竿越来越陡 ;学生 2:∠BAC越来越大 ;学生 3:竹竿长度不变 ,AC变得越来越短 ,BC越来越长 , 因此 ,BC/AB变大 ,AC/AB变小 ,BC/AC变大 .

3 3

3

锐角三角函数的设计比较

教学片断 2 ：如图 5 ，一根 3 米长的竹杆AB斜靠在墙上。现测得竹竿 AB与地面所成的角∠ BAC=30°，大家能求出竹竿的端点A,B到墙角 C的高度 (BC) 和水平距离 (AC)吗 ?

A C

B

图 5A

B

板书 :∠BAC越来越大， BC/AB变大 ,

AC/AB变小 ,BC/AC变大 .教师：也就是说，随着∠ BAC的变化，BC/AB， AC/AB,BC/AC都在变化 .但是当∠ BAC确定 , 比如它等于 70°时 ,直角三角形各边的比值会不会变呢 ?要求学生把理由写在讲义上 .

3 3

3

锐角三角函数的设计比较

教学片断 2 ：如图 5 ，一根 3 米长的竹杆AB斜靠在墙上。现测得竹竿 AB与地面所成的角∠ BAC=30°，大家能求出竹竿的端点A,B到墙角 C的高度 (BC) 和水平距离 (AC)吗 ?

A C

B

图 5A

B

课件显示大小不一 ,形状各异的包含 70°的直角三角形 (如图 6)( 学生讲义上也印有 )

很快有学生举手。在爆出一声：相似三角形哇！教室里有了轻松的欢笑声。……

70° 70°70°

70°70°

锐角三角函数设计的比较分析

两节课都是从含 30°的直角三角形开始，但片断 1 的背景材料稍显复杂，问题又是着眼于三角函数的应用，因此，后续问题就远离了学生原有的认知基础。而从问题设置的初衷看，教师是想造成学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣，但反过来，由于学生对研究的内容一无所知，因此，后面的操作就完全流于形式，只是机械的完成任务，学习是被动的，因此 , 这样的探究因为缺少学生的内在需求一定意义上说是无效的。片断 2同样从特殊直角三角形引入，但它从学生回答中敏锐地揭示出了研究目标，再通过移动竹竿使学生体验了目标 ( 比值 ) 与角度之间的函数变化关系，特殊到一般的思想昭然若揭 , 有助于学生深刻的认识三角函数的本质 ,再通过相似三角形性质帮助学生明确了角度 ( 自变量 )确定 ,函数值确定的道理 . 这样的设计遵循了学生原有的认知基础与生活经验出发 ,问题驱动连贯一致 , 因此 ,更合理 ,也更有效 .

数学教学的若干原则

4.渗透数学思想方法原则案例 1. 深刻理解教材编写者的意图

案例 2. 二次函数 y=ax2 的图像教学设计及评析

二次函数 的图象

教学目标：（ 1）掌握 图象的画法和性质，理解对图象的影响；（ 2）通过画图象，培养并提高学生的操作能力，渗透基本的数学方法；指导学生观察图象分析特征发展数学直觉能力及归纳抽象能力；（ 3）通过对图象研究，让学生体会数学的对称美；通过指导学生画图，培养学生认真、严谨的学习态度。

2axy

)0(2 aaxy

教学过程：教学过程：11．绘制 的图象．绘制 的图象（（ 11）分析）分析 xx 与与 yy的取值范围，为取点做好铺垫；的取值范围，为取点做好铺垫；（（ 22）根据解析式的特征，启发学生对称地取点。）根据解析式的特征，启发学生对称地取点。（（ 33）指导学生描点连线，纠正学生用线段连接相邻）指导学生描点连线，纠正学生用线段连接相邻点的做法。并通过计算机演示和理性分析，使学生初点的做法。并通过计算机演示和理性分析，使学生初步认识到二次函数 的图象是平滑的曲线，步认识到二次函数 的图象是平滑的曲线，而不是折线。而不是折线。22．探究 ．探究 a a 对图象 的影响对图象 的影响

（（ 11）观察的图象，归纳）观察的图象，归纳 aa＞＞ 00 时图象的形状；时图象的形状；

)0(2 aaxy

)0(2 aaxy

222 2,,2

1xyxyxy

二次函数 的图象)0(2 aaxy

（ 2）启发学生根据对称的思想，分别由上述图象得到 的图象，进一步归纳 时图象的形状。（ 3）综合上述两种情况，归纳 探究 a 对图象的影响；3．小结（ 1）二次函数 图象是关于 y轴对称的抛物线，顶点坐标是（ 0 ， 0）；（ 2） a 对图象的影响：开口方向 ,开口大小 , 越大 ,开口越小 .

222 2,,2

1xyxyxy

0a)0(2 aaxy

)0(2 aaxy

a

二次函数 的图象)0(2 aaxy

[ 设计意图 ]对于画图象的“列表”这一步骤，通常的做法是……这样做很省事，但却错失了发展学生逻辑思维能力的契机。对于学生来说 ,第一次画一个新函数的图象是一个试探、摸索的过程 , 这个过程不应该是盲目的 , 而应该有一定的理性分析 . 这个分析必须从解析式入手 , 要剖析解析式 的特征 . 本节课关于对称取点的设计 , 就是基于这样的思考 .函数的性质、图象既然是由解析式决定的，那么在图象教学中就应该抓住解析式这个“灵魂”。因此这里改“包办代替”为“适当点拨”，使学生体会如何根据解析式的特征有规律地取点。

2axy

二次函数 的图象设计)0(2 aaxy

[ 评析 ] 画图象不仅仅是一个操作层面的问题，在画图象的过程中充满了分析和思考。教师充分利用画图象这个平台，既重视对学生操作能力的培养，更着力培养学生的思维能力，这正是每个教师应该追求的目标。数学教师应该有一种对素材的教育价值的敏感，“画图象”这个素材，可深入研究的东西很多，对于素材教育价值敏感程度好的教师，常常就能抓住那些最基本、最简单、最“不起眼”的东西，深入研究其潜在的教育功能的。（教育价值是教学设计的灵魂——裴光亚）

二次函数 的图象)0(2 aaxy

数学教育的若干原则

问题情境

建立模型

解释应用

拓展提高

问题驱动 适当形式化 学习数学化 变式强化

案例 1 ：分式（第 1课时）教学设计案例 2 ：同底数幂的除法教学简录

适时渗透数学思想方法

再谈谈教师的语言智慧

启发的三大原则（美 .波利亚）

1.简单谨慎原则 :问句要简明 ,帮助要谨慎 ,只指示一个大致的方向 ;2.普遍有用原则 :问句与提示的一般有用性；3.强化原则 :相似情境下总是一再启问相同的问句 .

案例 : 一则教学片断及其分析

让数学学习变得有趣些！

学会——兴趣——学会——兴趣…

奥苏贝尔：“如果我不得不将所有的教育心理学原理还原成一句话，我将会说，影响学生最重要因素是学生知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学。”

在数学中玩游戏；让数学背景成为故事；让数学成为过程；让数学更加直观；让数学展现魅力一般而言，激发兴趣，靠应用价值，靠历史的起源，靠游戏；发展兴趣，靠智性，靠不断产生的适合学生最近发展区的问题；保持兴趣，靠成功与失败的交错作用，靠问题的挑战，靠你对数学的体验，靠数学本身的魅力。

应试环境中的自由意志

……当前，我们处在“应试教育”的环境下，考试制度改革步履维艰。于是教育功利盛行，升学率关联到你的收入，直接影响家庭日常生活。这样的环境我们无法选择。因此，我们只能思考另一面，如何在自己的一亩三分田作出一些改变。你可以是应试教育的狂热追随者，也可以是它的被动执行者，当然也可以成为不出声的批评者。让我们尽最大的努力，把应试教育的负面影响降到最低。人生能够获得的，也许就是这样的自由。

——张奠宙，赵小平 .编后漫笔 .数学教学， 08（ 12 ）

谢谢各位同仁 ,欢迎批评指正 !