باب ششم مفتاح الحساب مربوط به امتحان صحت اعمال به وسيله مي باشد 9عدد

كاشاني مانند ساير رياضيدانان پيش از خودمجموع ارقام هر عدد را طرح مي كند وبقيه را ميزان آن عدد مي 9 به 9مي گيرد و آن را

هر عدد عبارت است از باقيمانده تقسيم ميزاننامد يعني در واقع 3 را مساوي با عدد 64578 مثال كاشاني ميزان عدد 9هر عدد بر

بدست مي آورد سپس طريقه امتحان صحت اعمال ضرب وتقسيم و استخراج جذروكعب و سايرريشه ها را مطابق با روش كنوني شرح

مي دهد . موضوع جالب توجه در اين با ب اين است كه كاشاني در ابتداي آن

مي نويسد :"اگرحساب درست باشد ميزان درست در مي آيد وعكس اين

مطلب صحيح نيست" در حالي كه برخي از رياضيدانان اسالمي قبل از كاشاني به عدم

صحت عكس اين مطلب اشاره نكرده اند اما رياضيدان ديگري از مردم مصر يا سوريه موسوم به تقي الدين بن عزالدين حنبلي در

كتاب حاوي اللباب من علم الحساب به اين مطلب اشاره كرده است

نگاهي به مقاله دوم مفتاح الحساب

مقاله دوم مفتاح الحساب مربوط به حساب كسرهاست ومشتمل بر دوازده باب است درآغاز باب اول اين مقاله

كاشاني كسر را چنين تعريف مي كند "كسركميتي است كه نسبت داده شود به مقدار ديگر كه به

عنوان واحد فرض شده است ومخرج ناميده مي شود" در واقع كاشاني كلمه كسر را در اينجا هم به صورت كسر و هم بجاي خود كسر به كار برده است وبعضي جاهاي ديگر

صورت كسر را عددالكسر مي نامدسپس كاشاني كسر ها را به صورت زير تقسيم بندي مي

,…اعداد صحيح مثبت فرض a,b,c,dكند)درمثال هاي زير شده اند(

كسر مفرد بر دو نوع است :

مثل ½ )نصف( a=1. مجرد: 1

مثل ¾a>1 :مكرر. 2

كاشاني در اينجا خاطر نشان مي كند كه نسبت بين كسر)صورت( و مخرج آن در اعداد نامتناهي يافت مي

شود )منظورش اين است كه مثال كسرهاي و... معادل هستند 3/6 ,2/4 ,1/2

ميگويد بهتر است كه كوچكترين اعداد صحيح ممكن را و صورت و مخرج كسر اختيار كنيم و استعمال كسر را به

شكلهاي ديگر قبيح قلمداد ميكند

كار را به 1/2 و...فقط 3/6 ,2/4 ,1/2مثال از بين كسرهاي داند مي را زشت مي برد و غيره

معطوف مستثني مضاف منكسر يا تركيبي از اين چهار نوع يا بعضي از انواع آن

( كسر معطوف آن است كه از عطف دو يا چند كسر 1حاصل

1/3+ 1/2 يعني 1/3 و1/2شود مثال: ( كسر مستثني آن است كه كسري يا كسرهايي ازكسر 2

2/3-1/5ديگري كم شود مثال:

( كسر مضاف به قول كاشاني آن است كه مخرج جزء 3اول را واحد يا بيشتر انگاشته آن را به مخرج ديگري

نسبت دهيم )يعني كسري از كسر ديگر كه آن را بمنزله واحد مي گيريم( مثال:نصف يك ششم يعني

و ممكن است اضافه چند بار تكرار شود1/2×1/6

كاشاني در پايان اين باب عبارتي دارد كه از نظر تاريخ رياضيات مهم است ودليل بر آن است كه مخترع كسر هاي اعشاري است وآن عبارت اين است :»ومنجمان

كسرهاي معطوفي به كار مي برند كه مخرج هاي متوالي انها شصت وقواي متوالي شصت است تا هرجا

بخواهند وانها را به ترتيب دقيقه ها و ثانيه ها وثالثه ورابعه ها وغيره مي نامند وما به قياس حساب

منجمان كسرهايي آورديم كه مخرجهاي متوالي آنها ده وقواي متوالي ده مي باشد تا هرجا بخواهيم وآـنها را

بترتيب "اعشار " و " دومين اعشار " و " سومين اعشار " و " چهارمين اعشار " ناميديم«

درباب مقاله دوم كاشاني چگونگي كسرها را نشان مي دهد و براي عالمت

و جمع حرف االبراي عالمت تفريق حرف لبراي عالمت ضرب حرف

را بكار مي برد من وبراي عالمت تقسيم حرف

روش كاشاني روش كنوني

كسر باعدد صحيح:

:كسربدون عدد صحيح

معطوف(كسرجمع)

× × مضاعف(كسرضرب )

012

0 0 1و 12 3

014ل16ل35

312

روش كاشاني روش كنوني

تقسيم )كسر منكسر(:

+

چند عمل:تركيب

212من425

00

11

23

و اال 1ل

من

1012

61

2

مقاله دوم درباره تداخل و اشتراك و توافق باب سوم وتماثل اعداد صحيح است و كاشاني شمارنده مشترك دو

مي نامد وفقيا مشترك فيه عدد متوافق)متشارك( را وخارج قسمت هر يك از دو عدد متوافق را بروفق آنها

آن عدد مي نامد.اشتراك يا جزءالوفقاست 5 متشارك هستند و وفق آنها 15و10 مثال دو عدد است3 ,15وجزءالوفق عدد2 عدد 10وجزءالوفق

براي تعيين بزرگترين شمارنده مشترك دو عدد كاشاني همان الگوريتم مشهور اقليدس را شرح مي دهد

مي گويد كه اگر كسري مركب در آخر باب ششم كاشاني از چند كسر مركب بود ابتدا هر يك از كسرهاي مركب را به كسر مفرد تبديل مي كنيم وسپس حاصل را مفرد مي

مثال:سازيم

×

مطلوب:

2

1

14

من2

35

4االمن

85

ل

2

1

2

من

4

0

95

2784

از ام n ريشه باب دهم مربوط به استخراجكسرهاست كه به دستور زير بر مي خوريم:

كاشاني مي گويد: » هرگاه صورت و مخرج)نسبت به ريشه مطلوب ( منطق نباشند صورت ومخرج كسر

را در مورد جذر يك بار در مخرج ضرب مي كنيم ودر مورد كعب دوبار ودر مورد ريشه چهارم سه بار وبه

همين نحو براي ساير ريشه ها عمل مي كنيم وريشه حاصل اخير را به تقريب مي گيريم واين ريشه را بر

مخرج تقسيم مي كنيم«

30 √ =5×6√ =5/6√

89 ≈ 64 √ =4×1√ =1/4√

سپس مي گويد كه اگر كسر عدد صحيح كاشانيهمراه داشته باشد ابتدا ريشه قسمت صحيح را استخراج كرده باقيمانده اين ريشه را با قسمت

كسري جمع مي كنيم وآن را به مخرج اصطالحي نسبت مي دهيم و حاصل را ساده مي كنيم

+2 + 4 =

مثال 1

مثال 2

مثال 3

و مي گويد اگر كسري را تجنيس كنيم جذر دقيق تر به دست مي آيد

27 =258√=43 =√71√

√T+r=T+ rوباز مطابق با دستور كلي

كعب زير را حساب مي كند 37 ≈31+ 27 =√301√

باب يازدهم درباره تبديل مخرج كسر به عدد دلخواهي است . براي اين كار كاشاني ابتدا تناسب را شرح مي دهد وبعد به عنوان مثال مي گويد مي خواهيم مخرج

را حل مي كند x=5 تبديل كنيم وتناسب 9 را به 5/7كسر 5را بدست مي آورد وكسر =x 63و جواب

مي نويسد63 را به شكل

سپس كسرهاي دانگ )دانق( و تسو)طسوج( وشعير را كه در زمان وي بين مردم در باب معامالت متداول بوده

است شرح مي دهد

دينار = دانگ1

دانگ = تسو 1 دينار = 1

تسو= شعير1 دانگ =1 دينار= 1

نگاهي به مقاله سوم مفتاح الحساب

مقاله سوم مفتاح الحساب درباره حساب منجمان يعنيحساب در دستگاه شمار شصتگاني)ستيني( است

حساب جمل:در اين حساب اعداد بوسيله حروف :ابجدهوز حطي كلمن سعفض قرشت ثخذ ضظغ كه بيست

وهشت حرف هستند نشان مي دهند به اين ترتيب كه نه حرف از الف تا طا را براي يكان واز يا تا صاد را براي

دهگان واز قاف تا ظا را براي صدگان و غين را به جاي هزار مي گيرند

ديگر را بوسيله تركيب اين حروف مي نويسند ودر و اعداد موقع نوشتن اعداد مركب عدد بزرگتررا بر كوچكتر به

تلفظ مي كنيم مقدم مي دارد ترتيبي كه در فارسي 1134 غقلد 24 كد 11 يا

ط9

ح8

ز7

و6

ه5

د4

ج3

ب2

ا1

يكان

ص90

ف80

ع70

س60

ن50

م40

ل30

ك20

ي10

دهگان

غ1000

ظ900

ض800

ذ700

خ600

ث500

ت400

ش300

ر200

ق100

شصتگاني از همين حروف جمل اگرچه در دستگاه شمار استفاده مي شود اما نوشتن اعداد در حساب جمل ودر

تفاوت دارددستگاه شمار شصتگاني

شصتگاني براي نوشتن شمار شصتگاني:درارقام شمار همه اعداد به صفر و پنجاه ونه رقم احتياج است و آنها را

با تركيب حروف جمل مي نويسند به صورت:

ي10

ط9

ح8

ز7

و6

ه5

د4

ج3

ب2

ا1

ك20

يط19

يح18

يز17

يو16

يه15

يد14

يج13

يب12

يا11

ل30

كط29

كح28

كز27

كو26

كه25

كد24

كج23

كب22

كا21

م40

لط39

لح38

لز37

لو36

له35

لد34

لج33

لب32

ال31

ن50

مط49

مح48

مز47

مو46

مه45

مد44

مج43

مب42

ما41

نط59

نح58

نز57

نو56

نه55

ند54

نج53

نب52

نا51

چگونگي نوشتن اعداد در دستگاه شصتگاني

دهگاني ده است يعني واحد هر مرتبه )از پايه دستگاه شمارراست به چپ( ده برابر واحد مرتبه قبل از آن ويكدهم واحد

را مي توان به 14379.56مرتبه بعد از آن است مثال عدد :اين صورت نوشت

6 + 5 + 9(+10×)7(+10 ×)3(+10×)4(+10×)1

است يعني واحد هر 60اما پايه دستگاه شمار شصتگاني عدد واحد مرتبه مافوق 1 برابر واحد مرتبه مادون آن و60مرتبه

ان مي باشد

شمار شصتگاني را مرتبه درجات مي ناميدند و قدما مرتبه دقيقه وهر دقيقه را به 60در جهت نزول هر درجه را به

تقسيم مي كردند 000 ثالثه و60 ثانيه و هر ثانيه را به 60به قسمي كه بعد از مرتبه درجات در جهت نزول مرتبه دقيقه ها و بعد ثانيه ها وبعد از آن به ترتيب مرتبه هاي ثالثه ها, رابعه ها , خامسه ها و سادسه ها وغيره قرار

داشت كه آنها را كسر هاي شصتگاني )كسور ستيني(مي ناميدند واين مراتب را برعكس شمار دهگاني از راست به

چپ مي نوشتند و اسامي مرتبه ها را يا در باالي ارقام قرار مي دادند ويا نام آخرين مرتبه را درسمت چپ مي

نوشتند مگر وقتي كه قرينه اي براي دانستن نام مراتب در دست باشد

ثالثه را به يكي از 45ثانيه و11دقيقه و24درجه و2مثال نوشتندشكل هاي زير مي

ثالثه:45ثانيه و11دقيقه و24درجه و2

و يا:

ب كد يا مه )ثالثه(

درجه دقيقه ثانيه ثالثه

بكديامه

نوشت :اين اعداد را با ارقام هندي مي توان به شكل زير

2 +24 +11 +45)از راست به چپ(

درجه را يك واحد از مرتبه 60همچنين در جهت صعود هر باالتر محسوب مي داشتند و آن را واحد مرتبه يك بار

واحد 60مرفوع يا به طور خالصه مرفوع مي ناميدند وهر مرفوع را يك واحد از مرتبه باالتر قرار مي دادند وآن را

واحد مرتبه دوبار مرفوع يا مثاني ومرتبه بعد از آن را سه بار مرفوع يا مثالث ومرتبه بعدي را چهار مرفوع يا مرابع

وغيره مي ناميدند

اين از عددي به شكل زيربنابر

ويا به شكل : يد ب نو مب كا لح )ثالثه(

باشد مقصود عدد زير مي38 +21 +42 +56(+ 60 ×)2(+60 ×)14

مرفودرجه دقيقه ثانيه ثالثهع

دوبارمرفوع

يدبنومبكالح

كاشاني هرعدد راكه دستگاه شصتگاني فقط در يك مرتبه يكي از a نوشته شود )a(60واقع باشد يعني به صورت )

عددي است صحيح و مثبت يا منفي(عدد k و59تا 1اعداد اعدادي رابعه 23درجه وهمچنين 40 مي نامد مثال مفرد

مفرد هستند

عددمجرد عبارت است از هريك از قواي صحيح مثبت يا منفي شصت

هستندمجردمثال يك ثانيه وهمچنين يك درجه اعداد

يونانيان اعداد را در دستگاه شمار شصتگاني خالص نمي نوشتند بلكه دستگاه عدد نويسي آنان تركيبي بود از

دستگاه هاي شصتگاني و دهگاني .يعني در واقع قسمت صحيح اعداد را در دستگاه دهگاني وقسمت كسري ان را در دستگاه شصتگاني مي نوشتند

چنين دستگاه عدد نويسي را لوكي دستگاه ذوحياتين ناميده است

در برخي از كتاب هاي رياضي اسالمي كه از زمان هاي پيش از عصر كاشاني به دست رسيده غالب محاسبات

مخصوصا در مورد ضرب و تقسيم در دستگاه شصتگاني خالص ديده نمي شوند اما كاشاني در مفتاح الحساب و

ام را يا nساير آثار خود همه اعمال و حتي استخراج ريشه در دستگاه دهگاني خالص يا در دستگاه شصتگاني خالص

انجام داده است

نگاهي به مقاله چهارم مفتاح الحساب

موضوع اين مقاله اندازه گيري ابعاد وسطح وحجم شكلهاي هندسي است وكاشاني سطح هر يك از چند ضلعيهاي

منتظم مهم وچندوجهي هاي منتظم را هم در دستگاه شمارشصتگاني و هم در دستگاه دهگاني در اين مقاله

حساب كرده است 90كاشاني جدول جيب را درجه به درجه )از يك درجه تا

درجه (وروش به كار بردن آن ونيز جدول هاي مفيد ديگري را πرا در اين مقاله آورده است وجدول مضرب هاي عدد

حساب كرده ونتيجه را هم در دستگاه شصتگاني و هم در دستگاه دهگاني به اختصار ثبت كرده است

: نقطه اي از سطح مثلث كه از هر سه ضلع به مركز مثلثيك فاصله باشد )مركز دايره محاطي مثلث(

:چهار ضلعي كه اضالع آن با هم مساوي و زواياي آن معينمختلف )لوزي(

: چهار ضلعي كه اضالع روبه روي آن دوبدو شبيه المعينمتساوي ومتوازي ولي با دو ضلع ديگر مساوي

نباشند)متوازي االضالع(

:ذوزنقه قائم الزاويهذوزنقه واحده:چهارضلعي محدبي است كه دو ضلع مجاور آن ذواليمينين

با هم مساوي ودو ضلع ديگر نيز با هم مساوي اما با دو ضلع اول مختلف باشند كه فقط زواياي روبه رو با هم

مساوي اند وزواياي مجاور با هم مساوي نيستندكاشاني مي گويد كه اگر دو زاويه متساوي قائمه باشند

جودانه واگر منفرجه باشند نجارها آن را لوزهبنايان آن را مي ناميم باطيهگويند واگر حاده باشند ما آن را

افزوده ذواليمينين:چهارضلعي است كه چون برذوالرجلينشود آن را تمام مي كند وبه صورت معين در مي

آورد .يعني در واقع چهارضلعي مقعري است كه دو ضلع مجاور آن با هم و دو ضلع ديگر آن نيز با هم مساوي باشند

آن چهارضلعي است كه به اين صورت ها :منحرفنباشد )چهارضلعي نامشخص(.

ذوالرجلين

ذواليمينين