Гидродинамика Солнца

Лекция 9

Электродинамика средних полей и теория турбулентного динамо

Некоторые этапы 1966 – открытие эффекта генерации

регулярных полей турбулентностью; построение теории для Rm << 1 (Steenbeck, Krause, Rädler)

1970 – усовершенствование теории для Rm << 1 (Moffatt)

1970 – построение теории турбулентного динамо для Rm >> 1 (Вайнштейн)

Характерные масштабы

0,, uUvuUv

0,, bBHbBH

l – масштаб энергосодержащих турбулентных движенийL – внешний масштаб системы

а – промежуточный масштаб усреднения

l << а << L

Разделение средней и флуктуирующей составляющих скорости и магнитного поля

0,, uUvuUv

0,, bBHbBH

4][rot

2

mm

ct

HHvH

][rot][rot m buBBUB

EE t

)(][rot][rot

][rot][rot)(

m bBbuBu

bUBUbB

t

Линейная связь между b и B, и B

][rot][rot m buBBUB

EE t

)(][rot][rot

][rot][rot)(

m bBbuBu

bUBUbB

t

E

][][

rot][rot][rot m

bubuG

bGBubUb

t

...

k

j

ijkjiji x

BB E

2

0

0m

0

00

0

000 0l

bO

lbu

OluB

Ob

O

U

Сглаживание первого порядка (квазилинейное приближение)

][][

rot][rot][rot m

bubuG

bGBubUb

t

1)1(m

00m

0

0

luRO

lu

(обычная турбулентность):

bBubGb

mm ][rot0rot~ t

2

0

0m

0

00

0

000 0l

bO

lbu

OluB

Ob

O

U

Сглаживание первого порядка (квазилинейное приближение)

][][

rot][rot][rot m

bubuG

bGBubUb

t

10

0 l

u (случайные волны):

bBubb

G

m][rotrot

tt

Спектральный тензор стационарного случайного поля

dtdet ti xxuku kx )(

4),(

)2(1

),(~

ddet ti kkuxu kx )(),(~),(

0),(~0div),(~),(~ * kukukuku

tttutuR jiij rxxxxr ),(),(),(

ddeR i

ij rkkr rk ][

4)()(),(

)2(1

Спектральный тензор стационарного случайного поля

tddtddetutu

uu

tti

ji

ji

xxxx

kk

xkkx )(

8

*

),(),()2(

1

),(~),(~

tttutuR jiij rxxxxr ),(),(),(

ddtddeR ti

ij rxr rkxkk ])()[(

8),(

)2(1

Спектральный тензор стационарного случайного поля

ddeR

uu

i

ij

ji

rkkr

kk

rk

)(

4

*

)()(),()2(

1

),(~),(~

tttutuR jiij rxxxxr ),(),(),(

ddeR i

ijij rrk kr )(

4),(

)2(1

),(

)()(),(),(~),(~* kkkkk ijji uu

Энергетическая спектральная функция

ddeR i

ijij rrk kr )(

4),(

)2(1

),(

ddkkEddRu iiii ),(21

),(21

)0,0(21

21 2 kk

ddeR i

ijij kkr kr )(),(),(

),(),(),( * kkk jijiij

0),(0),(0div kku ijiijj kk

kS

ii dSkE ),(),( k (Sk – сфера радиуса k)

Спектральная функция спиральности (helicity)

),(),( kk nqpmjpqimnij kk

]~[~rot ukωuω i

tddtdde

tuktuk

tti

qpjpqnmimn

ji

xx

xx

kk

xkkx )(

8

*

),(),()2(

1

),(~),(~

)()(),(

),(~),(~*

kkk

kk

ij

qpjpqnmimn ukuk

Спектральная функция спиральности

,),(),( ddkkFddki ilkikl kkωu

kS

i

ilkikl dSekikF )(),(),(где krk

),(),( kk nqpmjpqimnij kk

ddkkEk ),(ω21 22

),(),(0),(),( 2 kkkk iiiiijiijj kkk

Сглаживание первого порядка (квазилинейное приближение)

1l

u(случайные волны): bBu

b

m][rot t

1)1(m

m

ulRO

lu (обычная турбулентность):

bBu m][rot0

ddet ti kkbxb kx )(),(~),(

]~[~)( 2

m Bukb iki

)~()(~~)( 2

m ukBBkub iiki

Средняя эдс в квазилинейном приближении

uBkb ~)(~)( 2

m iki

dddde

kii

ti kk

kukukB

bu

xkk ])()[(

*

2

m

)],(~),(~[][E

dddde

uuki

i

ti

kjijki

kk

kkkB

xkk ])()[(

*

2

m

),(~),(~E

Средняя эдс в квазилинейном приближении

)()(),(),(~),(~* kkkkk kllk uu

dddde

iuuki

ti

lkikli

kk

kBkk

xkk ])()[(

*

2

m

),(~),(~1E

dddde

kii

ti

klikli

kk

kkkkB

xkk ])()[(

2

m

)()(),(E

Средняя эдс в квазилинейном приближении

ddkki

Bi

ddki

kiB

kljjikl

klikl

jj

i

kk

kk

),(1

),(

2

m

2

m

E

ddkki

iB kljiklijjiji kk ),(1

2

m

E

ddkk

kFkii 42

m

2

2

m

),(31

31

BE

(выражение от изотропии не зависит)

Средняя эдс и α-эффект

ijij :стьурбулентно Изотропная T

ddkkk

i kljiklij kk ),(1 2

42

m

2m

ddk

kki

i kljiklij kk ),(42

m

2

2

m

iεiklΦkl действительно в силу эрмитовости Φkl

Турбулентная магнитная вязкость в квазилинейном приближении

...

k

j

ijkjiji x

BB E

i

k

j

ijkijkijk x

B)(rotB

Изотропная турбулентность:

0

2

m

)(1

32

dkkEk

Уравнение индукции для средних полей

})rot(]{[rot m BBBUB

t

m

2

31

~31

~ uul

В конвективной зоне β ~ 1012–1013 см2/с

α ~ ± lΩ Оценки α – от нескольких до 104 см/с

Уравнения (αΩ-)динамо с неоднородным вращением

eee BArtB

m)(rot)sin(

ABtA

m

r

φ

θ

Динамо-волны Паркера

BA

rv

tB

m

ABtA

m

AB

rA

,,B

r

φ

θ

0)( ev rv

Динамо-волны Паркера

)(

0

kkipteBB

2

1

2

m 2)1(

drdvk

ikp

drdv

kk

N42

m2 :число-Динамо

Наблюдения Модель

Моделирование солнечногоцикла (αΩ-динамо)

Геометрия задачи о «ячеечном» динамо

Статический температурный профиль

o

i2

oi

1

2

0s

s

2

,11

21

3,

12

0

rr

dTTT

cq

rrT

cq

T

p

p

Физические параметры задачи

Случай нагрева внутренними источниками тепла

Геометрический параметр: η = 0.6

Физические параметры: τ = 10, P = 1, Pm=30, Ri = 3000, Re = −

6000

Вычислительный параметр: m = 5

Статические профили температуры и ее градиента

Радиальная скорость на поверхности r = ri + 0.5 d

t = 98.73

Азимутальная скорость и меридиональные линии тока

t = 98.73

Радиальное магнитное поле на поверхности r = ro

t = 98.73

Радиальное магнитное поле на поверхности r = ro

t = 101.73

Изменение полоидальной компоненты H10

на поверхности r = ri + 0.5 d

Изменение средней плотности магнитной энергии

Полная энергияЭнергия осесимм. части дипольного поляЭнергия неосесимм. части дипольного поля

Эволюция магнитных полей

Литература

M. Stix. The Sun. An Introduction. 2nd Ed. Berlin: Springer, 2002.Г. Моффат. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир, 1980.Ф. Краузе, К.-Х. Рэдлер. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. М: Мир, 1984.