建筑科技大学附属中学 吴惠芸

基本不等式

国际数学大会（ ICM2002 ）的会标

根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的

ICM2002会标

你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

小提示：从面积上寻找关系

正方形 ABCD 的面积 >4 个直角三角形面积之和 a2+b2 >2ab

A

D

C

E

FG

H

b

a

2 2a b

B

当且仅当 a=b 时，等号成立。

2 2 2a b ab

A

B

C

D

E(FGH)

a

b

当 a=b 时a2+b2=2ab

a2+b2≥2ab 若 a,b R∈ ，那么

形的角度 数的角度

a2+b2 － 2ab

=(a － b)2≥0a>0,b>0

（当且仅当 a=b 时，取“ =” 号）

一、重要不等式

如果用 去替换 a 、 b, 前提是什么？能得到什么结论 ?

若 a,b R∈ ，那么 a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b 时，取“ =” 号）以下不等式是否成立？ a2+b2≥

－ 2ab ， a2+b2≥2|ab|换元法,a b

（当且仅当 a=b 时，取“ =” 号）

那么 a2+b2≥2 a b那么 a + b ≥2

（当且仅当 a=b 时，取“ =” 号）

若 a R,b R∈ ∈若 a>0 b>0

a b

其中我们把 叫做 a,b的算术平均数，把 叫做 a,b的几何平均数，因此基本不等式又称为

均值不等式。

（当且仅当 a=b 时，取“ =”号）

若 a>0 b>0

二、基本不等式

2

a bab

实际运用一 实际运用二

若 a>0 b>0

三、基本不等式代数及几何意义

（当且仅当 a=b 时，取“ =”号）

1 、数的角度

和 积两个正数的等差中项不小于它们的等比中项2 、形的角度具有特定的几何意义

a b

E

D

BOA C

几何解释：

ab2

a b

半径不小于半弦

令 AC=a CB=b

例１设ａ，ｂ均为正数，证明　　　　　　

≥

aba+b

2

ba O D

C

BA

几何解释：

Ｅ

四、基本不等公式的拓展

2 2 2, ,

1 12 2

a b a ba b R ab

a b

平方平均数

算术平均数

几何平均数

调和平均数

设第一、第二次购白糖的价格分别为每斤 a元和 b元，甲每次购 100斤白糖，乙每次购 100元白糖，

实际应用：

问谁买的白糖单价便宜？ 几何解释

例 2：

例 3：若

则（ ）B

,lglg,1 baPba

)2

lg(),lg(lg2

1 baRbaQ

QPRA 、 RQPB 、 QPRC 、 RQPD 、

五、基本不等式在函数中的应用

x

1例 4 ： (x 不为 0) 证明： |y| 2≥y＝ x＋

1 、今天这节课学了哪些主要知识？（ 1 ）重要不等式和基本不等式的条件及结构特征（ 2 ）基本不等式在几何、代数及实际应用三方面 的意义 （ 3 ）重要结论

（ 4 ）在函数中的应用及了解不等式的推广2 、在解决问题时用了哪些思想方法？

六、本课小结

代换思想、数形结合思想、实际应用思想、分类讨论思想、特殊到一般的思想、比较法等。

2 22( , ).

1 1 2 2

a b a bab a b R

a b

其中当且仅当 a ＝ b 时取等号 .其中当且仅当 a ＝ b 时取等号 .

这个基本不等式可否推广到“ n 个非负数”的情形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可查阅有关资料。

1 21 2

0 1 2

1

i

nnn

a i , , n

a a aa a a n ,n N

n

若 ，

则

…

……+

n

七、基本不等式的推广

95 页 B 组第一题八、作业

谢谢大谢谢大家家

再见再见 !!

今有一台天平，两臂长不等，其余均精确 . 商贩说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量的结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？并说明你的结论 .

!! ! ab应是不对

应用 1：

甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销 . 甲商场采取的促销方式是在原价 p 折的基础上再打 q 折；乙商场的促销方式则是两次都打 折 . 对顾客而言，哪种打折方式更合算？ (0<p<10, 0<q<10, p≠q )

2

p q

应用 2：