第一章命题逻辑

北京理工大学郑军

第一章命题逻辑

命题逻辑 2 of 145

命题逻辑1-1 命题及其表示方法1-2 联结词1-3 命题公式与翻译1-4 真值表与等价公式1-5 重言式与蕴含式1-6 其它联结词1-7 对偶与范式1-8 推理理论


1.1 命题及其表示方法• 命题：

具有确定真值的陈述句。• 真值：

一个命题的取值，真值只有“真”、“假”两种，真： T 或 1假： F 或 0 。


命题的类型• 原子命题：

不能分解为更简单的陈述句，称原子命题。• 复合命题：

由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。


例 1 下列是否为命题1) 十是一个整数 . T2) 北京是一个海滨城市 . F3) 雪是黑色的 . F4) 煤球是白的 . F5) 今天是 20号 . /T F6) 1+101=110. /T F


例 1 （续）7) 我学英语或法语 . 复合命题8) 如果天气好 ,我就去散步 .

复合命题9) 向右看齐 ! 不是命题请勿吸烟 ! 不是命题


例 1 （续完）10) 您吃饭了吗 ? 不是命题

您上网了吗 ? 不是命题11) 多美的景色啊！不是命题不是命题我不给所有自己替自己理发的人理发，但却给所有自己不替自己理发的人理发。不是命题

12) 我正在说谎 .


命题语句的形式• 命题的语句形式陈述句• 非命题语句疑问句、祈使句、感叹句悖论语句 ( 非命题陈述句 )


命题的表示• 命题标识符：表示命题的符号，通常用大写英文字母 A ，

B ，…， P ， Q ，…表示。• 命题常量：一个命题标识符表示确定的命题，该标识符称为命题常量。• 命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。


真值指派• 真值指派：

当命题变元 P 用一个特定命题取代时， P 才能确定真值，这时称对 P 进行指派。


1-2 联结词


1. 否定定义 1 设 P 为一命题 , P 的否定是一个新的命题 , 记作 P.

真值表P P PPF TT F

0011


否定的性质PP ( 对和律 )

等价：给定两个命题公式 A 和 B ，设 P1,P2,…,Pn 为出现于 A 和 B 中的原子变元，若给 P1,P2,…,Pn 任一组真值指派， A 和 B 的真值都相同，则称A 和 B 是等价的或逻辑相等。记作 A B 。

等价


2. 合取 ( 二元运算 )

定义 2 两个命题 P 和 Q 的合取是一个复合命题，记作 P Q.

P Q QP

00

0

01

0 0

11 1

0 1真值表同真则真


例• P ：今天下雨 Q ：明天下雨 P Q ：今天下雨而且明天下雨

今天与明天都下雨这两天都下雨• P ：我们唱歌 Q ：我们跳舞 P Q ：我们一边唱歌一边跳舞


例 P ：他聪明 Q ：他用功• 他既聪明又用功 . P Q• 他虽然聪明，但不用功。 P Q• 他不仅聪明，而且用功。 P Q• 他不是不聪明，而是不用功。（ P ） Q

表示合取关系的常用词：•与、和•一边…一边…•不仅…而且…•既…又…•虽然…但是…


例• P ：我去看电影 Q ：房间里有十张桌子 P Q 在逻辑学中允许• 张明与张华是兄弟。

（简单命题）


合取的性质PPP 幂等律

PQQP 交换律)()( RQPRQP 结合律

PTP 同一律FFP

FPP

零律否定律


3. 析取（可兼或）定义 3 两个命题 P 和 Q 的析取是一个复合命题，记作 P Q.

P Q P Q

01

0 0

1 1

0 1真值表同假则假

01

11


例• 他可能是 100 米或 400 米赛跑的冠军 . P Q • 今天晚上八点我在家看电视或去剧场看戏 . （排斥或） ( P Q) ( P Q)• 他昨天做了二十或三十道题 . （大约）（原子命题）

•析取与汉语中的“或”的含义不完全相同．•析取表示可兼或 .•汉语中的“或”既可以表示“可兼或”也可表示“不可兼或” .


析取的性质PPP

)()( RQPRQP

PQQP

PFP

TPP

TTP

幂等律交换律结合律同一律零律否定律


析取的性质 ( 续 )

)( RQP )()( RPQP 分配律

PQPP )(

)()( RPQP )( RQP

PQPP )( 吸收律

QPQP )(QPQP )( 德 · 摩根律


4. 条件 →定义 4 两个命题 P 和 Q 的条件是一个复合命题，记作 P → Q. 读作“如果P, 则 Q”. P 为前件 , Q 为后件 .

P Q P Q

01

0 0

1 1

0 1

真值表前真后假则假11

10


4. 条件 → ：是否履行合同例：李明在商店买电脑时，店方承诺：如果在正常使用下，第一年内修理达到四次，那么店方负责换成新电脑。已知：李明一直在正常使用电脑，请问在什么情况下，店方没有履行承诺？


例• 如果天气好，我就去游玩。 P → Q• 如果我得到这本小说，我将读完它。 P → Q• 如果雪是黑的，那么太阳从西方升起。 P → Q• 如果月亮出来了，则 3 乘 3 等于 9 。 P → Q


例（续）• 我将去旅游，仅当我有时间。 P: 我去旅游 Q: 我有时间 P → Q• 除非你努力，否则你将失败。 P: 你努力 Q: 你失败 P → Q


例 P: 不下雨 Q: 我骑自行车上班• 只要不下雨，我就骑自行车上班 P → Q• 只有不下雨，我才骑自行车上班。 Q → P

常用的表示“ P→Q” 的词：•如果 ( 若 )P, …, 那么 ( 则 )Q.•P 是 Q 的充分条件 . 只要 P, 就 Q.•Q 是 P 的必要条件 . 只有 Q, 才 P. P 仅当 Q.


例• 如果今天是星期天，那么 2+3=5.

( 永为真 )

• 如果今天是星期天，那么 2+3=6.

( 除星期天外，天天真）

•在汉语中，“如果，则”是有因果关系的，但在命题逻辑中Ｐ→Ｑ总是有意义的．


逆换式、反换式、逆反式• P → Q 如果下雨，则地湿。• 逆换式： Q → P 如果地湿，则下雨。• 反换式： P → Q 如果不下雨，则地不湿。• 逆反式： Q → P 如果地不湿，则不下雨。


条件运算的性质PQQP

QPQP )(QPQP

PPT

TPF


条件运算的性质 ( 续 )

TTP

PPP

PPP

PFP

TPP


5. 双条件定义 5 给定两个命题 P 和 Q , 其复合命题 P Q 称作双条件命题 , 读作“P 当且仅当 Q”.

P Q P Q

01

0 0

1 1

0 1

真值表同则真不同则假1

100


例 P Q • 两个三角形全等 , 当且仅当它们的三组对应边相等 .• 燕子飞回北方 , 春天来了 .• 2+2=4 当且仅当雪是白的 .• 1+1=10 当且仅当数是二进制的 .• 骗子讲真理当且仅当太阳从西边出来 .


双条件运算的性质PQQP

)()( RQPRQP

PFP

TPP FPP

PTP


双条件运算的性质 ( 续 )

QPQP )(

)()( PQQPQP

)()( QPQP


1-3 命题公式与翻译


命题公式命题演算的合式公式 (wff) ，规定为：1) 单个命题变元本身是一个合式公式。2) 如果 A 是合式公式，则 A 是合式公式。3) 如果 A 和 B 是合式公式，那么 (A B), (A B), (A → B), (A

B) 是合式公式。


命题公式（续）4) 当且仅当能够有限次地应用（ 1 ）、（ 2 ）、（ 3 ）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。通常我们约定联结词的优先次序为：

，，，，


例

是命题公式

),( QP ,QP

),( QPP QPP

,( QP ,P QP 不是命题公式


例：试以符号形式写出下列命题1. 选修过微积分或计算机科学的学生可以选修这门课。2. 选小王或小李中的一人当班长。3. 小王是计算机系的学生，他生于 1982年，他是一个好学生。4. 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。5. 只有你是计算机系的学生或不是一个新生，才可以通过校园网访问 Internet 。


例：试以符号形式写出下列命题1.P: 选修过微积分的学生选修这门课。 Q: 选修过计算机科学的学生选修这门课。 P Q

2.P: 小王当班长。 Q: 小李当班长。 ( P Q) ( P Q)

3. P: 小王是计算机系的学生。 Q: 他生于 1982 年。 R: 他是一名好学生。 P Q R

4. P: 我上街。 Q: 我去书店看看。 R: 我很累。 R →(P→Q)5. C: 你是计算机系的学生。 F: 你是一个新生。 A: 你可以通过校园网访问 Internet 。 A → (C F)


1-4 真值表与等价公式


真值表• 在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。

01

1100

1101

0 1

00

11

P QP QP P Q

01

11


例

1

1

1

1

RP Q QP RQP

0

00

0

000

0

0

11

1

1 10

00 000 1

11 0

1 0 0

10 0

11 1

01 1

一般说来， n个命题变元组成的命题公式有 2n

种真值情况。


重言式（永真式）

• 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为真，则称该命题公式为重言式或永真公式。

QP

00

00

111

111

11

)(QP P Q )(


矛盾式（永假式）

• 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为假，则称该命题公式为矛盾式或永假公式。

00

0

1

QP P

00

11

QP

00

00

111

1

PQP )(

0000


可满足式 • 如果命题公式既不是重言式，也不是矛盾式，则称该命题公式是可满足式。


定理• 任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。

设 A 和 B 为两个重言式，则不论 A 和 B 的分量指派任何真值，总有 A 为 T, B 为 T,

故 A B T A B T

证明 :


定理• 一个重言式，对同一分量都用任何合式公式置换，其结果仍为一重言式。

由于重言式的真值与分量的指派无关，故对同一分量以任何合式公式置换后，重言式的真值仍永为 T.

证明 :


等价• 给定两个命题公式 A 和 B ，设 P1,P2,

…,Pn为出现于 A 和 B 中的原子变元，若给 P1,P2,…,Pn任一组真值指派， A 和 B 的真值都相同，则称 A 和 B 是等价的或逻辑相等。记作 A B 。

设 A 、 B 为两个命题公式 , A B 当且仅当 A B 为一重言式。

定理


例用真值表说明命题公式等价

01

01

00

00

111

1

( ) ( )P Q Q P P Q

01

01

QP )()( PQQP QP


命题定律

PPP

)()( RQPRQP

PQQP

幂等律交换律结合律

PPP

PQQP

)()( RQPRQP

PP 对和律 ( 双重否定律 )


命题定律 ( 续 )

)( RQP )()( RPQP 分配律

PQPP )(

)()( RPQP )( RQP

PQPP )(吸收律

QPQP )(QPQP )(摩根律


命题定律（续完）PFP

TPP TTP

同一律零律否定律

PTP

FFP

FPP


其它等价式PQQP

QPQP )(QPQP

( ) ( )P Q R P Q R

QPQP )()()( PQQPQP )()( QPQP


子公式与等价置换• 若 X 是合式公式 A 的一部分，且

X 本身也是一个合式公式，则称 X 是公式 A 的子公式。设 X 是合式公式 A 的子公式，若 X Y ，如果将 A 中的 X 用 Y 来置换，所得到的公式 B 与公式 A 等价，即 A B 。

定理

满足该定理条件的置换称为等价置换。


例试证 PQQPPQ ))((

(( ) ( ))Q P P P Q

证法1 ))(( QPPQ

)()( QQPPQ ))(( QPPQ

PQ PQ

( ( ))Q P P Q


例 ( 续 ) 试证 PQQPPQ ))((

证法2 : ( ( ))A Q P P Q 设( ( ))P P Q P 因为

:B Q P所以A B即

得证。


例试证 PQPQP )()(

证明 :

)( QQP

)()( QPQP

P

TP


例试证 (( ) ( ( )))P Q P Q R

( ) ( )P Q P R T 证明)()( RPQP

原式左边 (( ) ( ( )))P Q P Q R

))()(( RPQP

T

))()()(( RPQPQP ))()(( RPQP

))()(( RPQP


1-5 蕴含式


蕴含• 当且仅当 P → Q 是一个重言式，我们称 “ P 蕴含 Q” ，或“ Q 是 P 的有效结论”，并记作 P Q. 要证 P Q ，即证 P → Q 是重言式。只需对条件命题 P → Q 的前件 P ，指定真值为 T, 并由此推出 Q 的真值亦为 T, 则 P → Q 是重言式，即 P Q 成立。因为 P → Q Q → P, 所以如果假定 Q 为 F ，并由此推出 P 的真值也为 F, 也可以证明 P Q 成立。


例试证 Q (P → Q) P

假定 Q (P → Q) 为 T, 则 Q 为 T, 且 (P → Q) 为 T 。由于 Q 为 F, (P → Q) 为 T ，则必须 P 为 F, 故 P 为 T 。

证法 1

P Q P Q P→Q

0 0 1 1 10 1 1 0 11 0 0 1 01 1 0 0 1


例 ( 续）试证 Q (P → Q) P

证法 2 假定 P 为 F, 则 P 为 T.1. 若 Q 为 F, 则 P → Q 为 F, 故 Q (P → Q) 为 F.2. 若 Q 为 T, 则 Q 为 F, 故 Q (P → Q) 为 F.所以 Q (P → Q) P 成立。

P Q P Q P→Q

0 0 1 1 10 1 1 0 11 0 0 1 01 1 0 0 1


常用的蕴含式P Q P P Q Q

P P Q

P P Q Q P Q

( )P Q P

( )P Q Q

( )P P Q Q ( )Q P Q P

P 、 Q P Q


常用的蕴含式（续）( )P P Q Q

( ) ( )P Q Q R P R

( ) ( ) ( )P Q P R Q R R

( ) ( ) ( ) ( )P Q R S P R Q S

( ) ( ) ( )P Q Q R P R

( ) ( )A B A C B C ( ) ( )A B A C B C


例 : 判断下面推理是否正确1. 如果今天下雪 , 则将去滑雪。今天正在下雪。所以将去滑雪。 ( )P P Q Q

2. 如果今天下雪 , 则将去滑雪。将去滑雪。所以今天正在下雪。推理错误。3. 如果今天下雪 , 则将去滑雪。不去滑雪。所以今天没有下雪。( )Q P Q P


例 : 判断下面推理是否正确1. 现在气温在零度以下。所以现在气温在零度以下或者正在下雨。

P P Q

2. 现在气温在零度以下并且正在下雨。所以现在气温在零度以下。 P Q P


例 : 判断下面推理是否正确3. 现在气温在零度以下或者正在下雨。现在气温不在零度以下。所以现在正在下雨。

4. 现在气温在零度以下或者正在下雨。所以现在正在下雨。

( )P P Q Q

推理错误。


例 : 判断下面推理是否正确1. 如果一个人是单身汉 , 它则不是快乐的。如果一个人是不快乐的 , 它则死得年轻。单身汉死得年轻。 2. 如果我学习 ,那么我将不会数学不及格。如果我不打篮球 ,那么我将学习。我数学不及格。因此我打篮球。

( ) ( )P Q Q R P R

(P Q) (R P) Q R


蕴含的性质• 若 A B 且 A 是重言式，则 B 是重言式。• 若 A B 且 B C , 则 A C 。• 若 A B 且 A C , 则 A (B

C) 。• 若 A B 且 C B , 则 (A C)

B 。


等价与蕴含的关系• 定理设 P 、 Q 为任意两个命题公式， P Q 的充要条件是 P Q 且 Q P.

证明 : 若 P Q ，则 P Q 为一重言式。因为 P Q (P → Q) (Q → P),故 (P → Q) 和 (Q → P) 为重言式 ,即 P Q, Q P 成立。反之，若 P Q 且 Q P ，则 (P → Q) 和 (Q → P) 为重言式 , 则 P Q 为重言式 , 即 P Q


1-6 其它联结词


1. 不可兼析取

P Q P Q

01

0 0

1 1

0 1真值表同为假 ,不同为真

定义 1 给定两个命题 P 和 Q , 复合命题称作 P 和 Q 的不可兼析取 .

P Q

0

10

1


不可兼析取的性质

)()( QPQPQP

)()( RQPRQP

( ) ( ) ( )P Q R P Q P R

PQQP

)( QP


不可兼析取的性质 ( 续 )

PFP

FPP PTP

RQP 若 ,则,QRP PRQ

FRQP 且


2. 条件否定

01

0 0

1 1

0 1真值表前真后假则真

C

定义 2 给定两个命题 P 和 Q , 复合命题P Q 称作 P 和 Q 的条件否定 .

C

P Q P QC

00

01


条件否定的性质FPP C

PFP C

PPP C

FTP C

PPP C

PPT CC FPF

)( QPQP C


3. 与非定义 3 给定两个命题 P 和 Q , 复合命题P Q 称作 P 和 Q 的与非 .P Q P Q

01

0 0

1 1

0 1真值表同真则假

1

10

1


与非运算的性质)( QPQP

PPPPP )(

)()( QPQP

)( QP

QP


与非运算的性质 ( 续 )

QP

)( QP

PTP

QP )()( QQPP

TFP

无结合律


4. 或非定义 4 给定两个命题 P 和 Q , 复合命题P Q 称作 P 和 Q 的或非 .P Q P Q

01

0 0

1 1

0 1真值表同假则真

1

00

0


或非的性质

QP

)( QP

)()( QPQP

PPPPP )(

)( QPQP


或非运算的性质 ( 续 )

QP

)( QP

FTP PFP

QP

)()( QQPP

无结合律


小结1. 九个联结词

C

1n2n 1622 422

25622 823

3n

4212

... ...

2. n 个命题变元共有 2n 个真值指派，所以可以构成 22n 个不等价的命题公式。


n = 1

P F0 F1 F2 F3

0 0 1 0 11 0 0 1 1

0 0F 1F P

2F P 3 1F


n = 2P Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 00 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 11 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 01 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

第 A 列 : P Q第 B 列 : P Q第 C 列 : P Q第 D 列 : P Q

第 0, 1 列 : F ， T第 2, 3 列 : P, Q第 4, 5 列 : P, Q第 6 列 : P Q第 7 列 : P Q第 8, 9 列 : P→Q, Q→P

第 E, F 列 : P Q, Q PC C


最小全功能联结词组)()( PQQPQP

QPQP

)( QPQP

)( QPQP

一元联结词不能用二元联结词和等价代换是最小全功能联结词组

},,{ { , } ，


最小全功能联结词组（续）

QP )()( QQPP

PPPPP )(

)()( QPQP QP

QP )()( QPQP

PPPPP )(

QP )()( QQPP

{} ， {} 是最小全功能联结词组


1 - 7 对偶与范式


对偶式• 在给定的命题公式 A 中，将联结词换成，将换成，若有特殊变元 F 和 T 亦相互取代，所得公式 A* 称为 A 的对偶式。

显然， A 也是 A* 的对偶式。 FT TF


例

* : ( ) ( ( ))A P Q P Q S

RQPA )(:

: ( ) ( ( ))A P Q P Q S

RQPA )(:*

QPQPA )(:QPQPA )(:*


定理 1• 设 A 和 A* 是对偶式， P1,P2,…,Pn是出现在 A 和 A* 中的原子变元，则

*1 1( , , ) ( , , )n nA P P A P P

由摩根定律证明( ) ( )P Q P Q ( ) ( )P Q P Q 所以 *

1 1( , , ) ( , , )n nA P P A P P *

1 1( , , ) ( , , )n nA P P A P P 同理

*1 1( , , ) ( , , )n nA P P A P P


定理 2

• 如果 A B, 则 A* B*。• 等价式的对偶式等价。命题定律• 由对偶定理可推证一些命题公式 .例 ( ) ( ( ))P Q P P Q P Q

( ) ( ( ))P Q P P Q P Q


合取范式• 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有型式：

A1 A2 … An ( n ≥ 1)• 其中 A1 , A2, … ,An都是由命题变元或其否定所组成的析取式。

( ) ( )P Q R P Q Q 例：


析取范式• 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有型式：

A1 A2 … An ( n ≥ 1)• 其中 A1 , A2, … ,An都是由命题变元或其否定所组成的合取式。

( ) ( )P P Q P Q R 例：


范式的求法1) 将公式中的联结词化归成 , , 。2) 利用德摩根律将消去或内移。3) 利用分配律、结合律将公式规约为合取 ( 析取 ) 范式。


例求下式的合取范式(( ) )P Q R P

( ( ) )P Q R P

( ( ) )P Q R P

(( ) )P Q R P

( ) ( )P Q P R P

( ) ( )P Q R P

与命题公式等价的合取范式不唯一


( ) ( )P Q P R P

( ) ( )P Q R P

例求下式的析取范式(( ) )P Q R P

( ( ) )P Q R P

( ( ) )P Q R P

(( ) )P Q R P

( ) ( )P R Q R P ( )Q R P

与命题公式等价的析取范式不唯一


小项 (主析取范式 )• n 个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。例 : 由 P 和 Q 构成的小项有：

P Q P Q

P Q P Q

00m 01m

10m11m

小项的编码：命题变元 ———— 1 命题变元的否定 —— 0


小项的性质QPm 00

QPm 10

QPm 01

QPm 11

00m 01m 10m 11mQP0 0011

1

10

1

000

1000

0100

1

00

01) 每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为 T ，在其余 2n-1 种指派情况下均为 F 。2) 任意两个不同小项的合取式永假。3) 全体小项的析取式永为真，记为

2 1

0 1 2 10

n

nii

m m m m T


例RP Q

1 1 1

0 1 00 0 1

1 0 11 1 0

0 1 1

0 0 0

1 0 0

0

1

0

0

00

00

0

10

0

00

00

0

1

0

00

00

0

000m 001m 111m

001m P Q R

RQPm 111

RQPm 000

一般说来，n 个命题变元共有 2n

个小项。


主析取范式及其求法• 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。主析取范式的求法：1. 真值表法

2. 等价演算法

一个公式的真值为 T 的指派所对应的小项的析取，即为此公式的主析取范式。定理 3


解：例求公式的主析取范式

QP Q1

10

0

0 0

1

1 1

10

1

P

)( QP

P Q

)( QP

( )P Q

0,1,3 为了表达简洁，用 Σ 表示小项的析取



QP QP0

1

00

0 0

1

1 1

111 )( QP

P Q

)( QP

( )P Q

1,2,3



R AQ

1

0000111

1

0

0

11

1

0

0

1

01

10

1

0

0

01

00

0

P

1

11

( ) ( )P Q R P Q R

)()( RQPRQP

A

1,3,6,7


主析取范式的求法 — 等价演算法1) 化为析取范式。2) 除去其中所有永假的合取式。3) 在合取式中合并相同的命题变元。4) 对合取式补入没有出现的命题变元，即添加（ P P ）式，然后应用分配律展开公式。5) 除去相同的小项，并将小项按编号由小到大的顺序排列。


例求下式的主析取范式)()()( RQRPQP

( ) ( ) ( ) ( )P Q R R P R Q Q )()( PPRQ

( ) 1 ( ) 1 ( ) 1P Q P R Q R

( ) ( ) ( )P Q R P Q R P Q R ( ) ( ) ( )P Q R P Q R P Q R

)()( RQPRQP )()( RQPRQP


例求下式的主析取范式

( ) ( )P P P Q P Q Q

))()(( PQQPP ))()(( QPQPP

( ) ( ) ( )P Q P Q P Q

( )P P Q )(1 QPP

)()( QPQQP


主析取范式的用途•判别命题公式的类型 ;–永真式：包含所有的小项–矛盾式：没有小项–可满足式：包含部分小项

•给出命题公式的成真赋值或成假赋值 ;–成真赋值：出现的小项对应的真值指派–成假赋值：没有出现的小项对应的真值指派

•判别两个命题公式是否等价。


大项 (主合取范式 )• n 个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。例 : 由 P 和 Q 构成的大项有：

P Q P Q

P Q P Q

11M 10M

01M 00M

大项的编码：命题变元 ———— 0 命题变元的否定 —— 1


大项的性质QPM 00

QPM 10

QPM 01

QPM 11

00M 01M 10M 11MQP0 0011

1

10

0

111

0111

01

11

1

01

11) 每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为 F ，在其余 2n-1 种指派情况下均为 T 。2) 任意两个不同大项的析取式永真。3) 全体大项的合取式永为假，记为2 1

0 1 2 10

n

nii

M M M M F


例RQPM 000

RQPM 001

RQPM 010

RQPM 011

RQPM 110

RQPM 111

RQPM 100

RQPM 101


主合取范式及其求法• 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则该等价式称作原式的主合取范式。主合取范式的求法：1. 真值表法

2. 等价演算法

一个公式的真值为 F 的指派所对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。定理 4


解：例求公式的主合取范式

QP Q1

10

0

0 0

1

1 1

10

1

P P Q

( )P Q

2

0,1,3 为了表达简洁，用表示大项的合取


解例求公式的主合（析）取范式

R AQ

1

0000111

1

0

0

11

1

0

0

1

01

10

1

0

0

01

00

0

P

1

11

( ) ( )P Q R P Q R )()( RQPRQP


A

1,3,6,7

0,2,4,5


主合取范式的求法 — 等价演算法1) 化为合取范式。2) 除去其中所有永真的析取式。3) 在析取式中合并相同的命题变元。4) 对析取式补入没有出现的命题变元，即添加（ P P ）式，然后应用分配律展开公式。5) 除去相同的大项，并将大项按编号由小到大的顺序排列。

118 of 145

例求下式的主合取范式( ) ( )A P Q P R

))(())(( RQPPQP

( ) ( ) ( ) ( )P P P Q P R Q R

)()( RQPRQP

( ) ( ) ( )P Q P R Q R

))()(( QQRP ))()(( RQPP

))()(( RRQP

)()( RQPRQP


例（续）( ) ( )A P Q P R

)()( RQPRQP

)()( RQPRQP

0,2,4,5


1,3,6,7


例求下面公式的主合取范式

)))(()(( RQPQP )()( RPQP )))(()(( RQPQP

( ( ))P Q R

( ( ))P Q R (( ) ( ))P Q P R

( ) ( )P Q Q R P R Q R ( ) ( )P Q P P R P

T

永真式


主合取范式的用途•判别命题公式的类型 ;–永真式：没有大项–永假式：包含所有的大项–可满足式：包含部分大项

•给出命题公式的成真赋值或成假赋值 ;–成真赋值：没有出现的大项对应的真值指派–成假赋值：出现的大项对应的真值指派

•判别两个命题公式是否等价。

第一章 命题逻辑

Documents

第一章命题逻辑