ПозиционныеПозиционныесистемы счислениясистемы счисления

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от её места (позиции) в записи числа.

Позиция цифры в числе называется разрядом.

Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её в младший или старший разряд.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ

Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2.

В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в

развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания q с

коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, …, q-1.

или

1n

mii

qi

aq

A

-m-m

--

n-n-

n-n-q ·q a ·q a ·q a ·q a ·q a A 1

10

02

21

1

Aq – число в q-ичной системе счисления,q – основание системы счисления,Ai – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,n – число целых разрядов числа,m – число дробных разрядов числа.

Коэффициенты ai - цифры числа, записанного в q-ичной системе счисления.

-m-n-n- aaaaa aA 10121 ,Свернутая форма записи числа:

Свернутой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни, её называют естественной или цифровой.

Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Основание: q = 10.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

-m-m

--

n-n-

n-n- · a · a · a · a · a A 1010101010 1

10

02

21

110

-m-n-n- aaaaa a A 1012110 ,Свернутая форма записи числа:

Развернутая форма записи числа:

Коэффициенты ai - цифры десятичного числа.

Например, число 123,4510 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

2101210 10510410310210145,123 -- · · · · ·

Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

123,4510 · 10 = 1234,510;

123,4510 : 10 = 12,34510.

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Основание: q = 2.

Алфавит: 0, 1.

-m-m

--

n-n-

n-n- · a · a · a · a · a A 22222 1

10

02

21

12

-m-n-n- aaaaa a A 101212 ,Свернутая форма записи числа:

Развернутая форма записи числа:

Коэффициенты ai - цифры двоичного числа (0 или 1).

Например, число 101,012 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

210122 212021202101,101 -- · · · · ·

Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

101,012 · 2 = 1010,12;

101,012 : 2 = 10,1012.

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Основание: q = 8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

-m-m

--

n-n-

n-n- · a · a · a · a · a A 88888 1

10

02

21

18

-m-n-n- aaaaa a A 101218 ,Свернутая форма записи числа:

Развернутая форма записи числа:

Коэффициенты ai - цифры восьмеричного числа.

Например, число 123,678 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

210128 878683828167,123 -- · · · · ·

Умножение или деление восьмеричного числа на 8 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

123,678 · 8 = 1236,78;

123,678 : 8 = 12,3678.

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

-m-m

--

n-n-

n-n- · a · a · a · a · a A 1616161616 1

10

02

21

116

-m-n-n- aaaaa a A 1012116 ,Свернутая форма записи числа:

Развернутая форма записи числа:

Коэффициенты ai - цифры шестнадцатеричного числа.

Например, число 2BC,DE16 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

2101216 16161616162,2 -- E· D· C· B· · DEBC

Умножение или деление шестнадцатеричного числа на 16 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

2BC,DE16 · 16 = 2BCD,E16;

2BC,DE16 : 16 = 2B,CDE16.