بسم الله الرحمن الرحیم

به نام آنکه جان را فکرت آموخت

مدیریت سبد اوراق قرضه با استفاده از

برنامه ریزی تصادفیBond Portfolio Management Using

Stochastic Programming

حسین عبده تبریزی

میثم رادپور

93دانشکدۀ+ حسابداری و مدیریت دانشگاه تهران،، فروردین ماه سال

برن"امه ریزی ریاض"ی در ش"رایط عدم اطمینان

3

مالی و عدم اطمینانرویکردهای مواجه با عدم اطمینانبرنامه ریزی تصادفق در مقابل برنامه ریزی قطعی

مالی و عدم اطمینان

ع<<دم اطمینان ش<<امل م<<الی م<<دل های اغلب هستند:

از م<دل اس<تفاده ب<ا به<ادار اوراق بهینه س<ازی س<بد میانگین-واریانس مارکویتز

از م<دل اس<تفاده ب<ا به<ادار اوراق بهینه س<ازی س<بد یام<<ازاکی و کون<<و انحراف<<ات مطل<<ق می<<انگین

((Konno and Yamazakiمدل قیمت گذاری اختیارمعامله مدل برن<امه ریزی عددص<حیح ب<رای س<اختن ص<ندوق

شاخص

4

مواجه با عدم اطمینان

روش غیرمستقی

م

در تم<امی م<دل های یادش<ده ع<دم اطمینان از •می ش<ود؛ ادراه قطعی م<دلی ایج<اد طری<ق ویژگی ه<ای ب<رخی S تلویح<ا ک<ه ریاض<ی م<دلی لح<اظ را مس<ائل این در موج<ود تص<ادفی

می کند.

روش مستقیم

ع<دم اطمینان، • ب<ا مواجه<ه مس<تقیم روش اس<ت؛ مدل س<ازی ب<رای چ<ارچوبی ایج<اد ع<دم اطمینان می ده<د اج<ازه ک<ه چ<ارچوبی

S مدل سازی شود. )وارد مدل شود( تصریحا

5

چارچوب های مدل سازی عدم اطمینان

چارچوب های متعددی برای مدل سازی عدم اطمینان موجودند. دو مورد رایج عبارتند از:

Robust Optimization

Stochastic Programming

6

عدم اطمینانی که در هر دوی این چارچوب ها مدل سازی می شود

عدم اطمینان در پارامترهای ورودی است.

برنامه ریزی قطعی در مقابل تصادفی

برنامه ریزی قطعی

deterministic programming

7

عدم اطمینان و برنامه ریزی تصادفی

S با در دنیای واقعی، پارامترهای مسائل بهینه سازی عموماعدم اطمینان همراهند.

برنامه ریزی تصادفی چارچوبی است برای مدل سازی مسائل بهینه سازی ای که با عدم اطمینان همراهند.

برنامه ریزی تصادفی از توزیع احتمال پارامترهای نامطمئن برای سازی بهره می گیرد.مدل سازی و حل مسائل بهینه

8

برنامه ریزی تصادفی

تعریف

برن<امه ریزی • ن<وعی پیداس<ت، ن<امش از ک<ه هم<ان طور تص<ادفی برن<امه ریزی ک<ه < و<ی<ژگی غ<یرخ<طی( <اس<ت، <ب<ا <این ترک<ی<بی،< ع<دد <ص<حیح<، )<خطی،< ریا<ض<ی

داده های آن شامل عنصر تصادفی اند. ن<امعلوم • )پارامتره<ای( داده ه<ا ک<ه می ش<ود ف<رض تص<ادفی برن<امه ریزی در

ای<ن اطالع<ات از توز<ی<ع <احتم<ال< مشخص<ی< دارن<د.< ان<د< ک<ه م<تغیره<ایی تص<اد<فی ( deterministic equivalentب<ر<ای تب<دی<ل ب<رن<ام<ه ری<زی< تص<ا<دفی< <ب<ه مع<ادل ق<طعی )

استفاده می شود.

9

عدم اطمینان

، تشریح می شود.Ωعدم اطمینان با فضای نمونه

اغلب مجموعه ای محدود است.Ωدر برنامه ریزی تصادفی

احتماالت مربوط به این مجموعه محدودیت های زیر را برآورده می سازد:

10

عدم اطمینان: مثال

اگر دو بار سکه را پرتاب کنیم:

Ω:شامل مجموعه ای به شرج ذیل است

احتماالت مربوط به هر عضو این مجموعه برابر است با:

11

(I)انواع برنامه ریزی تصادفی

برنامه ریزی تصادفی با محدودیت های احتمالی )شانسی(

• with probabilistic (chance) constraints

برنامه ریزی تصادفی با دستاویز

• with recourse

12

(II)انواع برنامه ریزی تصادفی

انواع برنامه ریزی تصادفی بر اساس رویکردهای مواجهه با محدودیت های برنامه نام گذاری شده اند.

برنامه ریزی تصادفی با محدودیت های احتمالی

محدودیت ها در سطح اطمینان مشخصی برآورده

می شوند.

برنامه ریزی تصادفی با دستاویز

تخطی از محدودیت ها مشمول جریمه می شود.

13

ب"""ا تص"""ادفی برن"""امه ریزی محدودیت های احتمالی

14

مثال: برنامه ریزی خطی با دو تاس

عدم اطمینان در پرتاب تاس

فرض کنید دو تاس در اختیار داریم: نتیجه ی حاصل از پرتاب یکی از نمایش می دهیم. a2 و دیگری را با a1تاس ها را با

توزیع احتمال a2و a1با فرض این که هر دو تاس سالم اند، برای •گسسته ای به شرح ذیل خواهیم داشت:

15

a1=i (i=1,...,6) with probability 1/6a2=j (j=1,...,6) with probability 1/6

برنامه ریزی خطی با محدودیت های احتمای

ی<ک و متغ<یر دو ب<ا زی<ر خطی برن<امه ریزی حال محدودیت را در نظر بگیرید:

این برن<امه ریزی خطی چ<ه تعب<یری دارد؟ اگ<رa1 وa2 تعب<یر برن<امه ریزی این بودن<د، معی<نی اع<داد

مشخصی داشت، اما این گونه نیست.

16

minimize 5x+6y subject to: a1x + a2y >= 3 x,y >= 0

معادل قطعی برنامه ریزی تصادفی

این برنامه ریزی خطی را می توان این گونه تعبیر کرد: ما می خواهیم برقرار a2و a1 برای تمامی مقادیر ممکن a1x + a2y >= 3محدودیت

باشد. بدین ترتیب برنامه ریزی خطی قطعی ای با دو متغیر و محدودیت خواهیم داشت:36

17

minimize 5x+6y subject to: ix + jy >= 3 i=1,...,6 j=1,...,6 x,y >= 0

ناحیه ی موجه و جواب بهینه

.اس<ت ذی<ل ب<ه ش<رح تص<ادفی برن<امه ریزی این موج<ه ناحیه ی بدین ترتیب جواب برنامه ریزی خطی عبارت است از:

x=3, y=0

18

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

X

ناحیة موجه

Y

(0,3)Z=18

(3,0)Z=15

لحاظ سطح اطمینان برای محدودیت

حال اگر به جای این که اصرار داشته باشیم که محدودیت یادشده برای برقرار باشد، برای سطح اطمینان معینی a2و a1برای تمامی مقادیر

S درصد برقرار باشد، خواهیم داشت:95مانند مثال

19

minimize 5x+6y subject to: Prob(a1x + a2y >= 3) >= 1-alpha x,y >= 0

ناحیه ی موجه و جواب بهینه در سطح اطمینان درصد95

ت<رتیب در س<طح اطمین<ان برن<امه ریزی 95بدین درص<د ج<واب خطی عبارت است از:

x=1, y=1

20

X

ناحیة موجه

Y

)4,0(Z=20

)1,1(Z=11

(0,3)Z=18

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0/05ناحیه موجه برای آلفا =

ب"""ا تص"""ادفی برن"""امه ریزی دستاویز

21

برنامه ریزی تصادفی دو مرحله ایمثال: برنامه ریزی خطی تولید مدل عمومی برنامه ریزی تصادفی دو مرحله ای

انواع متغیرهای تصمیم

(anticipative variablesمتغیرهای پیشبینانه )

( اخ<ذ ش<وند؛ تص<میماتی ک<ه ب<ه مش<اهدات here and nowبه تص<میم هایی مرب<وط می ش<وند ک<ه بای<د این ج<ا و اکن<ون )•آ<ت<ی ی<ا ب<ه عب<ا<ر<تی< ب<ه< <تحق<ق پ<ارا<مت<ره<ا<ی تص<ادف<ی ب<س<ت<گ<ی <ن<دا<ر<ن<د.< ب<ه بی<ان< <د<ی<گ<ر< <این< مت<غیر<ه<ا<، تص<میم<اتی <ر<ا ش<امل <م<ی< ش<ون<د ک<ه <ب<ا<ی<د< ق<بل< ا<ز< <رف<ع< عدم< <اط<می<ن<ا<ن ا<خذ< ش<و<ن<د. <تم<ا<م<ی< ب<رن<ا<مه< های <ت<ص<اد<ف<ی <شام<ل< م<ت<غی<رها<ی پی<شبی<نانه اند.

(adoptive variablesمتغیرهای انطباقی )

( مرب<وط می ش<وند؛ تص<میماتی ک<ه بع<د wait and seeبه تص<میم های ص<بر کن و نظ<اره کن )•ا<ز< <تح<ق<ق< <قس<م<تی< )ی<ا< <گ<اهی< <اوق<ا<ت ک<ل( <پارا<م<تره<ای< ت<ص<اد<فی< <اخ<ذ م<ی< ش<و<ن<د<. ب<ه< <بی<ان <دیگ<ر ای<ن

م<تغیر<ها، تص<میماتی را شا<مل می< شوند که با<ید بعد ا<ز رفع< عدم <اطمی<نان اخذ< شوند.

22

برنامه ریزی تصادفی با دستاویز

متغیرهای پیشبینانه

متغیرهای انطباق

ی

برنامه ریزی تصادفی با دستاو

یز

23

ویژگی های مدل های دستاویز

مدل های دس<تاویز به طورآش<کار مفه<وم زم<ان راشامل می شوند.

مراح<<ل طی ع<<دم اطمینان م<<دل ها این در گسسته ی زمانی رفع می شود.

حل این برنامه ه<ای تص<ادفی در واق<ع تنه<ا ش<املیافتن مقادیر بهینه ی متغیرهای پیشبینانه است.

بع<د از این ک<ه بخش<ی از ع<دم اطمینان رف<ع ش<دآن در ک<ه داریم دیگ<ری تص<ادفی برن<امه ی S انطب<اقی لح<اظ می ش<دند، ب<ه متغیره<ایی ک<ه قبال

پیشبینانه بدل می شود.24

ساده ترین شکل برنامه ریزی تصادفی با دستاویز

در مرحله ی اول تصمیمی می گیریم.مرحله ی اول

در مرحله ی دوم شاهد تحقق عنصر تصادفی مسأله هستیم، و مجازیم برای

اجتناب از این که در ناحیه ی غیرموجه قرار بگیریم، تصمیمات دیگری اتخاذ کنیم.

مرحله ی دوم

25

( I)برنامه ریزی خطی تولید

به منظور X تصمیم بگیریم. کاالی Xفرض کنید باید در مورد تعداد تولید کاالی Xتأمین تقاضای مشتریان در دوره ی زمانی بعدی تولید می شود و تولید هر واحد

هزینه ای معادل دو دالر به همراه دارد. تقاضای مشتریان تصادفی است و توزیع سناریو برای تقاضای S دارد. درواقع تعداد ps (s=1,...,S) با احتمال Dsگسسته ی

آتی داریم.

26

( II)برنامه ریزی خطی تولید

تقاضای مشتریان باید برآورده شود. ما از این امکان برخورداریم که برای تأمین را از تأمین کننده ی خارجی بخریم. این خرید Xتقاضای واقعی مشتریان، کاالی

سه دالر هزینه به بار می آورد. یعنی اگر تقاضای مشتریان Xبرای هر واحد کاالی متوسل Xاز تولید فراتر رود، می توانیم به منبع دیگری از عرضه ی کاالی

(recourse .شویم )در حال حاضر چقدر باید تولید کنیم، در حالی که تقاضای آتی مشتریان را نمی دانیم؟

27

توزیع احتمال تقاضا: دو سناریو

فرض کنی<د توزی<ع احتم<ال تقاض<ای آتی مش<تریان ب<هصورت زیر است:

S=2 and D1=500, p1=0.6; D2=700, p2=0.4

28

راه حل گمراه کنندهپاسخ بهینه مقدار موردانتظار تقاضاست.

نیست.x=580پاسخ بهینه، مقدار موردانتظار تقاضا یعنی •پاسخ بهینه از طریق برنامه ریزی تصادفی به دست می آید.•این دو پاس<خ بس<ته ب<ه مق<ادیر پارامتره<ای مس<أله )ه<زینه ی تولی<د و •

هزینه ی خرید( ممکن بسیار متفاوت باشند.

29

مراحل

م<رحله ای دو مس<أله ی این ب<ه پ<رداختن راه یک به صورت زیر است:

30

در مورد تعداد تولید تصمیم می گیریم.

مرحله ی اول: عمل

در بر اساس تقاضای مشاهده شده تصمیم های

دیگری اخذ کنید.

مرحله ی دوم: عکس العمل

تحقق عنصر تصادفی )تقاضای مشتریان( را

مشاهده کنید.

مرحله ی واسط: مشاهده

متغیرهای تصمیم

متغیرها

31

که در حال حاضر Xتعداد واحد کاالی )مرحله ی اول( تولید می شود.

 x1مرحله ی اول:

ک<ه در م<رحله ی X: تع<داد واح<د ک<االی س<<ناریوهای تص<<ادفی تحق<<ق ب<<ا دوم

یع<نی خری<داری Ds (s=1,...,S)تقاض<ا می شود.

y2s مرحله ی دوم:

برنامه ی تصادفی

برنامه ی تصادفی این مسأله به شرح زیر است:

32

minimize 2x1 + Σps(3y2s) subject to x1 + y2s >= Ds s=1,...,S x1 >= 0 y2s >= 0 s=1,...,S

تعبیر برنامه ریزی تصادفی تولید

حل این برنامه ی تصادفی به ما

می گوید: به دس<ت می آوریم ک<ه مق<دار تولی<د موردنی<از در زم<ان ح<ال است. x1مق<داری ب<رای •ب<رای• از مق<ادیر ب<ه ازای ه<ر y2sهم چ<نین مجم<وعه ای به دس<ت می آوریم. یع<نی

به دست می آوریم.y2s سناریو( یک مقدار برای Sسن<اریوی <تقاضای مشتری )از • ی<ک س<ناریو این ک<ه ب<ه محض )یع<نی تقاض<ای مش<تری معل<وم می ش<ود وق<تی

تقا<ضای تصا<دفی مح<قق می شود( دیگر سناریوها نامربوط می شوند.

33

برنامه ریزی تصادفی دو مرحله ای

خالصهاین تص<میم اتخ<اذ کنی<د، در های م<رحله ی ی<ک را

تنه<ا توزی<ع احتم<ال متغیره<ای تص<ادفی را زم<ان می دانیم.

متغیره<ای مح<دودیت ها موجه ب<ودن حف<ظ برای م<رحله ی دو را دس<تاویز ق<رار دهی<د، این متغیره<ا ب<ه ازای مق<ادیر مختل<ف متغ<یر تص<ادفی، مق<ادیر

مختلفی به خود می گیرند. این کنی<د. کمین<ه را ک<ل موردانتظ<ار هزینه ی

قطعی هزینه ه<<ای مجم<<وع ش<<امل هزین<<ه تص<میم های م<رحله ی ی<ک و هزینه ه<ای موردانتظ<ار

تصمیم های مرحله ی دو است.34

جواب بهینه

بدین ت<رتیب ج<واب برن<امه ریزی تص<ادفی عب<ارتx=500است از:

35

400 450 500 550 600 650 700 750 8001000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

هزینه مورد انتظار باشد700هزینه اگر تقاضا باشد500هزینه اگر تقاضا

(x1تولید )

نهزی

ه

سناریوی بدترین حالت

ب<دترین س<ناریوی تص<ادفی برن<امه ریزی در اغلب 700ح<الت را بررس<ی می ک<نیم.: در این ح<الت بای<د

تولید کنیم.Xواحد از کاالی

36

400 450 500 550 600 650 700 750 8001400

1450

1500

1550

1600

1650

1700

سناریو بدترین حالت

(x1تولید )

نهزی

ه

شکل عمومی برنامه ریزی تصادفی

برنامه ریزی تصادفی دو مرحله ای با دستاویز: رویکرد نمایش برداری

37

بردار متغیرهای تصمیم مرحله ی

اول

بردار متغیرهای تصمیم مرحله ی دوم )متغیرهای

دستاویز(

رخداد تصادفی

محدودیت های قطعی برای متغیرهای تصمیم

محدودیت های تصادفی رابط مرحله ی اولمتغیرهای دستاویز و متغیرهای

تصمیم مرحله ی اول

شکل عمومی برنامه ریزی تصادفی

برنامه ریزی تصادفی دو مرحله ای با دستاویز: رویکرد نمایش مبتنی بر سناریو

برای هر سناریویk یک بردار متغیر تصمیم مرحله ی دوم وجود دارد.

مقدار بیشینه ی تابع هدف از طریق بهینه سازی تمامیمتغیرهای تصمیم مرحله اول و دوم حاصل می شود.

38

شکل عمومی برنامه ریزی تصادفی

برنامه ریزی تصادفی دو مرحله ای با دستاویز: معادل قطعی

این مسأله تعدادS نسخه از متغیرهای تصمیم مرحله ی دوم را دارد.

39

ب"""ا تص"""ادفی برن"""امه ریزی دستاویز

40

برنامه ریزی تصادفی سه مرحله ایمثال: برنامه ریزی خطی تولید

برنامه ریزی خطی تولید: مراحل )سه مرحله(

41

مراحل برنامه ریزی تولید

مراحل برنامه ریزی تصادفی در مرحله ی اول: تصمیم گیری در مورد مقدار

x1 تولید-

در مرحله ی دوم: تحقق مقدار عنصر تصادفی)تقاضا(

متغیرهای دستاویز- مقادیرتصمیم گیری در مورد y2s

-تصمیم گیری در مورد مقدار تولیدx2s

در مرحله ی سوم: تحقق مقدار عنصر تصادفی)تقاضا(

تصمیم گیری در مورد مقادیر متغیرهای دستاویزy3s

42

محدودیت هالحاظ محدودیت ها

خ<واهیم تقاض<ا تض<مین ب<رای اول م<رحله ی در داشت:

x1 + y2s >= 500 (s=1,2)

x1 + y2s >= 700 (s=3,4)

در م<رحله ی دوم موج<ودی ای ب<رای ت<أمین تقاض<ایموج<ودی این می مان<د، ب<اقی مش<تریان اض<افی به عالوه ی م<یزان تولی<د در م<رحله ی دوم به عالوه ی م<یزان خری<د بای<د بزرگ ت<ر ی<ا مس<اوی م<یزان تقاض<ا

در مرحله ی سوم باشد:x1 + y2s - 500 + x2s + y3s >= 600 (s=1)

x1 + y2s - 500 + x2s + y3s >= 700 (s=2)

x1 + y2s - 700 + x2s + y3s >= 900 (s=3)

x1 + y2s - 700 + x2s + y3s >= 800 (s=4)

43

محدودیت های پیش بینی ناپذیری

محدودیت های پیش بینی ناپذیری

سناریوهایی که •گذشته ی مشترکی دارند، مجموعه تصمیم های مشابهی دارند:

44

محدودیت های پیش بینی ناپذیری

و 1برای سناریوهای در مرحله ی دوم:2

y21=y22

x21=x2245

برنامه ریزی تصادفی تولید

تابع هدف

محدودیت ها

46

minimize 2x1 + 0.18(2x21 + 3y21 + 3y31)

+ 0.42(2x22 + 3y22 + 3y32)

+ 0.08(2x23 + 3y23 + 3y33)

+ 0.32(2x24 + 3y24 + 3y34)

subject to x1 + y2s >= 500 (s=1,2)

x1 + y2s >= 700 (s=3,4)

x1 + y2s - 500 + x2s + y3s >= 600 (s=1)

x1 + y2s - 500 + x2s + y3s >= 700 (s=2)

x1 + y2s - 700 + x2s + y3s >= 900 (s=3)

x1 + y2s - 700 + x2s + y3s >= 800 (s=4)

y21=y22

x21=x22

y23=y24

x23=x24

all variables >=0

جواب بهینه

700با حل این برنامه ریزی تصادفی به این نتیجه می رسیم که باید در حال حاضر واحد تولید کنیم.

47

در تص""ادفی برن""امه ریزی مالی

48

برنامه ریزی تصادفی دو مرحله ایمثال: مدیریت سبد اوراق قرضه

کاربردهای عملی: مدل مدیریت دارایی-(I )بدهی

شرکتRussell-Yasuda Kasai هفتمینب<زرگ ح<وادث ش<<رکت و ام<<وال در بیمه ی

دنیاست. از بیش ش<<رکت دارایی ه<<ای 3.47ارزش

تریلیون یوآن است. ساختار ب<دهی های ش<رکت پیچی<ده اس<ت. ش<رکت

به دنب<ال اب<زاری اس<ت ک<ه ب<ا لح<اظ مح<دودیت های م<دیریت دارایی، درآم<د حاص<ل از دارایی ه<ایش

را بیشینه کند. ب<ا ت<ا اس<تخدام می کن<د را متخصص<انی شرکت

از م<دل م<دیریت دارایی-ب<دهی مبت<نی اس<تفاده ه<دف چن<دمرحله ای تص<ادفی برن<امه ریزی ب<ر

خود را محقق سازد.

49

کاربردهای عملی: مدل مدیریت دارایی-(II )بدهی

تصمیماتمقادیر سرمایه گذاری در دارایی های مختلف•

بازده سرمایه گذاری هر دارایی•(liabilitiesپرداخت های مربوط به تعهدات )•

رخدادهای تصادفی

محدودیت های تخصیص دارایی•محدودیت های وام گیری•

(liabilitiesمحدودیت های مربوط به تعهدات )•

محدودیت ها

50

کاربردهای عملی: مدل مدیریت دارایی-(III )بدهی

ارزیابی عملکرد مدل

در مقایسه با معیار عملکردی که شرکت برای ارزیابی ارزش • میلیارد یوآن 9.5افزوده ی مدل ایجاد کرده بود، مدل یادشده

درآمد ساالنه ی شرکت را افزایش می داد.

51

مسأله ی مدیریت سبد اوراق قرضه

مقادیر سرمایه گذاری در اوراق قرضه ی •تصمیماتمختلف

تغییرات نرخ بهره•رخدادهای

تصادفی

محدودیت های موجودی•محدودیت های بودجه•

دیرش•

محدودیت ها

52

برنامه ریزی تصادفی مدیریت اوراق قرضه

تابع هدف

53

پارامترهاLt

، tمقدار جریان های نقدی خروجی ناشی از تعهدات در مرحله ی با عالمت منفی در مدل وارد می شوند.جریان های نقدی ورودی

S که به عنوان مسیرهای منحصر به فرد S=0…-Sمجموعه سناریوها

t=T تا گره نهایی در مرحله ی t=0می باشضد و از گره اول در مرحله ی در درخت سناریوها

t تا t-1نرخ بهره ی معتبر برای دوره ی

که با این رابطه مشخص می شود Sاحتمال سناریوی

t در مرحله ی S در سناریوی jقیمت منصفانه ی ورق قرضه ی

t در مرحله ی s تحت سناریوی jجریان نقدی تولید شده از ورق قرضه ی

دامنک نرخ سپرده نسبت به نرخ بهره

دامنک نرخ وام نسبت به نرخ بهره

t=0 در مرحله jقیمت فروش ورق قرضه ی

t=0 در مرحله jقیمت خرید ورق قرضه ی

منفعت )زیان( سرمایه

درصد انحراف از دیرش دالری موردنظر

D* دیرش دالری موردنظر54

متغیرهای تصمیم مرحله ی اول

موجودی نقد اولیه

)براساس ارزش اسمی(jموجودی اولیه ی ورق قرضه ی

خریداری می شود.t=0 که در مرحله ی jارزش اسمی ورق قرضه ی

فروخته می شود.t=0 که در مرحله ی jارزش اسمی ورق قرضه ی

نگهداری می شود.t=0 که در مرحله jارزش اسمی ورق قرضه ی

55

متغیرهای تصمیم مرحله ی دوم

خریداری S تحت سناریوی t که در مرحله ی jارزش اسمی ورق قرضه ی می شود.

فروخته S تحت سناریوی t که در مرحله ی jارزش اسمی ورق قرضه ی می شود.

نگهداری S تحت سناریوی t که در مرحله ی jارزش اسمی ورق قرضه ی می شود.

t=1مبلغ وام دهی در مرحله ی

t=1مبلغ وام گیری در مرحله ی

یعنی: S تحت سناریوی Tمانده ی حساب بانکی در مرحله ی نهایی

56

محدودیت موجودی مرحله ی اول

متغیرهای تصمیم مرحله ی اول باید محدودیت موجودی زیر را تأمین کنند.

57

محدودیت بودجه مرحله ی اول

متغیرهای تصمیم مرحله ی اول باید محدودیت بودجه ی زیر را تأمین کنند.

58

محدودیت موجودی مرحله ی دوم

59

متغیرهای تصمیم مرحله ی دوم باید محدودیت بودجه ی زیر را تأمین کنند.

60

محدودیت بودجه ی مرحله ی دوم

سایر محدودیت های اختیاری

اوراق س<رمایه ی منفعت ی<ا زی<ان مح<دودیت قرضه

محدودیت دیرش اوراق قرضه

که

و

61

سایر محدودیت ها

62

63

با تشکر