电 磁 学朱炯明

上海师范大学 数理信息学院

电磁学

第一章 静电场的基本规律第二章 导体周围的静电场第三章 静电场中的电介质第四章 恒定电流和电路第五章 恒定电流的磁场第六章 电磁感应与暂态过程第七章 磁介质第八章 交流电路第九章 电磁场和电磁波

第五章 恒定电流的磁场§1. 磁现象及其与电现象的联系§2. 毕奥-萨伐尔定律§3. 磁场的高斯定理§4. 安培环路定理§5. 带电粒子在电磁场中的运动§6. 磁场对载流导体的作用§7. 载流线圈的磁场

§1. 磁现象及其与电现象的联系电磁类比：电： 电荷 电场 电荷 （激发） （作用力）磁： 运动电荷 磁场 运动电荷

永磁体 电流的磁效应 磁感应强度 B

永磁体 两种永磁体：天然、人造 磁体有两极：南极 S 、北极 N 两极作用力：斥力（ N-N, S-S ）、引力（ N-S ） 磁单极 ？

电流的磁效应 大量实验发现 直线电流对磁体作用

I

S

N

I

N

S

分子电流 —— 安培的假说

平行直导线相互作用 圆电流和薄片永磁体 螺线管和条形磁铁

磁感应强度 B

实验：密闭氢气泡内，亥姆霍兹 线圈轴线中心，电子枪可转动

I I

M M’ 结论：（ 运动电荷受力情况 ） F = q v B （ B 的定义）

( 类比电场： F = qE )单位：特斯拉 )10(

/1

1 1 4高斯

秒米库仑牛顿

特斯拉

磁感线：（有向曲线） B 线上任一点的切线方向为该点 B 的方向 通过与 B 垂直的单位面积的 B 线条数等于 B 的大小

§2. 毕奥 - 萨伐尔定律一 . 毕沙沙沙

二 . 长直电流的磁场三 . 圆电流的磁场四 . 载流螺线管轴线上的磁场 五 . 例题

一 . 毕沙定律 —— 恒定电流的磁场

20 sind

4d

r

lIB

20 ˆd

4d

r

I rlB

2

0 ˆd

4d

r

I rlBB

dB

Idl

r

P

rEE ˆd

4

1d

20

r

q

方向： dB Idl ， dB r

数值： 0/4 = 10-7

迭加原理：

比较：

分析得到电流元 Idl 产生的磁场 dB

dB Idl ， 1/r2 ， sin r ： Idl P

： Idl ， r 夹角取常数： 0/4 ，

二 . 长直电流的磁场电流 I ， P 点距直线 a

20 ˆd

4 r

I rlB

2

0 sind

4 r

lIB

2

1

dsin1

40

a

I

)cos(cos4 21

0

a

I

r

2

1

a PO

I

dllsin = a/r

ctg = - l/a

r = a/sin l = - a ctg

dl= ad/sin2无限长： 1= 0 ， 2= ，

a

IB

2

0 方向：与 I 成右螺旋

所有 dB 方向相同

三 . 圆电流的磁场电流 I ，半径 R ，轴线上 P 点距圆心 a

20 ˆd

4d

r

I rlB

zoR

r

a

dB

P

dl

I

cos

sind

4 20

r

lIB

= 90o

cos = R/r

r2 = R2 + a2

lr

RId

4 30

2/322

20

)(2 aR

IR

Rl 2d

R

IBa

20,)1( 0

：圆心3

20

2,)2(

a

RIBRa

：远处

轴向分量 dB||= dBcos由对称性， dB 相互抵消， B = 0

四 . 载流螺线管轴线上的磁场电流 I, 半径 R, 长 L, 单位长度 n 匝nIdl 在轴线上 P 点的 dB （圆电流）I

PR l

dl

L

2/322

20

)(

d

2d

lR

lnIRB

d)sin(

20 nI

1

2

d)sin(20

nIB

)cos(cos2 210

nI

ctg = l/R

l = R ctg

dl= - Rd /sin2R2+ l2 = R2/sin2

螺线管轴线上的磁场

方向：右螺旋

)cos(cos2 210

nI

B

PR

L

2

1

B

I

B

O L

(1) 中间（或 R << L ） 1= 0 ， 2= ， B = 0nI

(2) 一端（如：左端） 1= 0 ， 2= /2 ， B = 0nI /2

(3) 管外 cos1 、 cos2 同号 ,

相减， B 小 （管内相加， B 大）

例题（ p.213/5 - 2 -10 ）如图，均匀圆环，已知电流，求圆心磁感强度。解：

I

I

O

B

C

12

I1

I2

20 ˆd

4d

r

I rlB

0ˆd rlI

R

IB

20

2

2

210

1

R

IB

22

202 R

IB B1= B2

（方向相反） B = 0

2

2

1

R

R

21 )2( II

直线电流： （ 圆电流： ）

圆弧 1 ：

圆弧 2 ：

并联： I1R1 = I2R2 而

作业

p.212 / 5-2- 3, 8, 12, 13, 16

§3. 磁场的高斯定理一 . 磁通量二 . 闭合曲面的磁通（磁场“高斯定理”） 三 . 穿过闭合曲线的磁通

一 . 磁通量（磁感应通量） 面元 dS 的磁通量 dS

B

SB B

d

dB ：垂直于 B 的单位面积的磁通量

BS

B

d

d 若 规定过 dS 的 B 线条数 = B · dS = dB

则 磁感线密度 = = 磁感强度的大小

单位： 1 韦伯（ Web ） = 1 特斯拉 · 米 2

SB SB d

dB = B · dS = B dS cos

曲面 S 的磁通量 若 B 与 dS 同向 （ = 0 ），记作 dS

证明： (1) 电流元 Idl 的磁场 dB

B 线是一个个同轴圆 这些圆与闭合曲面 S 或不相交（对磁通无贡献）或相交两次（一进一出，对磁通贡献一正一负）

二 . 闭合曲面的磁通 ( 磁场“高斯定理” )

)S(0d 为任意闭合面S

SB

Idl

dB

11111 ddddd SBSB进：

22222 ddddd SBSB出：21 dd BB

21 dd SS

21 dd 0dd 21 0d

S

闭合曲面的磁通证明： (2) 任意电流的磁场 迭加原理： B = B1 + B2 + …

0dddd 21 SSSSSB

B 线是连续的，闭合的（无始无终，或 ） —— 称 无源场（比较： E 线始于 + q （或 ），终于 - q （或 ） —— 称 有源场 ）

三 . 穿过闭合曲线的磁通以闭合曲线 L 为边界的任何曲面有相同的磁通证明：

L

S1 S2

n

n

0ddd21

SSSSBSBSB

21

ddSS

SBSB

21

ddSS

SBSB

—— 称为穿过闭合曲线 L 的磁通

若将 S1 的法向反转 （使与 S2 一致）则

作业

p.214 / 5-3- 1, 3

§4. 安培环路定理一 . 安培环路定理二 . 均匀载流长圆柱导体的磁场三 . 载流长螺线管的磁场四 . 载流螺绕环的磁场五 . 均匀载流大平面的磁场

一 . 安培环路定理安培环路定理 : I

L 0d lB

I

L

L ：任意闭合曲线 I ：穿过 L 的电流的代数和

证明分三步： L 包围一长直电流 I L 不包围电流 L 包围多个电流

L 包围一长直电流 I

长直电流 I 的磁场： I

La

IB

2

0

sBlB dcosdd lB

d

20 aa

I

d2

0I

II

LL 00 d

2d

lBI

ds dld

LB

（切向）

L 不包围电流电流 I 在 L 外

21

dddLLL

lBlBlBI L2L1

)dd(2 21

0 LL

I

0)(2

0

I

L 包围多个电流L 包围多个电流迭加原理： B = B1 + B2 + …

LL

lBBlB d)(d 21

I 是 L 包围的所有电流的代数和 各 Ii 的方向与 L 的（积分）方向成右螺旋的为正

)( 210 II I0

二 . 均匀长圆柱载流导体的磁场半径 R ，电流 I （向外）， r 处 P 点的 B

以 r 为半径作同心圆 L ，过 P 点对称性： L 上各点 B 大小相同，

方向沿切线

P

LrB

L2d lB

)(2

0 Rrr

IB

rBL

2d lB

)(2 2

0 RrR

IrB

0 r

B

R

导体外：

导体内：

I0

2

2

0 R

rI

半径 R ，电流 I （向外）， r 处 P 点的 B

对称性： P 点 B 的方向沿切线

方向沿切线

P

B

三 . 长螺线管的磁场管内外任一点的磁场与轴平行反证：绕 zz’ 轴转 180 o ： B B’

I 反向： B’ B’’

B’’ 应与 B 重合

a

d

d

c

c

b

b

aLlBlBlBlBlB ddddd

nIllBlB 000 外轴

nIB 0轴

0 外B

nIllBlBab 000 外内不在轴上：若nIB 0 内

B’B

B’’

z’

z

ab

dc

方向：右螺旋

四 . 螺绕环的磁场对称性：共轴圆周上的 B

大小相同，方向沿切向（环周长 L >> 截面半径， N 匝）环内：

环外：

NILBL 0d 内lB

nIL

NIB 0

0 内

0d LBL 外lB

0 外B

方向：右螺旋（同螺线管）当 L 时，长直螺线管

面电流密度 （导电板宽 l ，厚 d ）

五 . 均匀载流大平面的磁场

dB

l

Jdl

Jld

l

I

llBlB zzL012d lB z

20

12

zz BB

012 2

nn EE比较电场：

磁场方向：与平面平行 两侧反向（与电流成右螺旋） 安培环路定理

作业

p.215 / 5-4- 2, 3, 4, 5

§5. 带电粒子在电磁场中的运动一 . 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动二 . 磁聚焦三 . 回旋加速器四 . 汤姆逊实验（略）五 . 霍尔效应

一 . 带电粒子在匀强磁场中的运动洛仑兹力： F = q ( E + v B )

E = 0 时， F = q v B

当 v B 时， q 作匀速圆周运动向心力：

qvBR

mvF

2

心

OR

v

F

m, q=- e

半径： R = mv/qB周期： T = 2R/v = 2 m/qB 频率： f = 1/ T = qB/ 2 m 荷质比： q/ m= v/BR = /B

二 . 螺旋线运动 磁聚焦 v 与 B 夹角 ： v || = v cos

v = v sin

螺旋线半径：

sinqB

mv

qB

mvR

cos

2|| qB

mvTvh

很小时）（ vv ~sin

)(~cos 很小时 vv

R

h

P P’

螺距： 磁聚焦：R 不同，但 h 相同 由 P 射出， 经 h 后会聚于 P’

取电压变化周期与 q 运动周期一致每周期加速 2 次

v r ( ), 但 T 不变

三 .. 回旋加速器 原理：均匀磁场，向外 D 型盒间，交变电压 q 每过间隙被加速一次

qB

mT

2 （与 v, r 均无关）

qB

mvr

用途：可加速质子、氘核、 粒子等 用来轰击大核，击碎，以研究其结构

回旋加速器 与直线加速器比较直线：回旋：

qUmv 2

2

1

m

RBq

m

qBRmmv

2)(

2

1

2

1 22222

m

RqBU

2

22

22

0

/1 cv

mm

要获得同样的 v ，必须例如：氘核 q/ m ~ 10 7 ， B ~ 2 ， R ~ 0.5

则 需电压 U ~ 10 7 （伏特） 交变电压频率 f = qB/ 2m ~ B 磁场 相对论： v m f 变频， —— 同步回旋加速器

解释：载流子 q ，受力 fL = q v B

q > 0 时 v 沿 x 正方向， fL 沿 z 正方向 q < 0 时 v 沿 x 反方向， fL 沿 z 正方向

A’

五 . 霍尔效应 现象：导体薄板，厚 d ，宽 l

x 方向通电流， y 方向加磁场 z 方向出现电压 UAA’ x

yz

I

BA

l

d

fL

fe

设 q > 0 ， A侧堆积正电荷， A’ 负电荷 横向电场 Et

fe = qEt 与 fL 反向 堆积减缓 直至 qEt = qvB

停止堆积 q 沿 x 方向运动（如同无磁场） 但有电压： UAA’ = Et l = vBl 霍尔系数

霍尔系数 I = q n ( vld )

v = I/qnld

UAA’ = IB/qnd

一般写成： UAA’ = K IB/d 正比于宏观量 IB/d

霍尔系数： K = 1/qn 取决于微观量 q 、 n q > 0 时 K > 0 UAA’ > 0

q < 0 时 K < 0 UAA’ < 0

（ A 侧负电荷， A’ 正电荷，其他不变）

作业

p.216 / 5-5- 1, 3, 4, 5, 6

§6. 磁场对载流导体的作用一 . 安培力公式二 . 载流线圈在均匀外磁场中的安培力矩三 . 磁电式电流计（表头）的原理

一 . 安培力公式电流 载流子 洛仑兹力 导体的安培力电子： f = - ev B

电流： j = - env

电流元 Idl 受的力： dF = N (- ev B )

= n dS dl (- ev B )

= dS dl ( j B )

= Idl B

安培力： L

I0

d BlF

I

B

dldS

dl 与 j 同向 j 与 dS 同向 I = j dS = j dS

二 . 载流线圈在均匀外磁场中的力矩线圈平面法线方向 n 与电流 I 成右旋

II

B

n

①

②③

④

l2

l1

)90sin(d o

01

1 l

lIBF

cos1IBl （向上）

cos13 IBlF （向下）

2

02 dl

lIBF 2IBl （方向 ⊙ ）

24 IBlF （方向 ）

F1 ， F3 共轴 抵消B

n

l1

F2

F4

F2 ， F4 力偶矩： T = F2l1sin = IBl2l1sin = ISBsin

上①：

下③：左②：右④：

磁 矩载流矩形线圈在磁场中受到的力矩：

T = ISBsin （ 方向： n B ）

定义：载流矩形线圈的磁矩 pm = IS n

则 在磁场中受到的力矩 M = pm B

B

pm

I

T

（类比：电场中的电偶极矩 p = ql ， M = p E ）

任意形状平面载流线圈的磁矩分割成很多小矩形闭合电流外围线 ~ 原线圈，内线电流抵消 dM = dpm B = IdS n B

所有 dM 方向一致 M = dM = IdS n B = In B dS

= IS n B = pm B

定义：任意形状闭合电流的磁矩 pm = IS n

只要 S 相同，与形状无关 （形式与矩形一致） pm 与 B 夹角 ， = /2 时， T 最大 = 0 时， T = 0 平衡 稳定 = 时， T = 0 平衡 不稳定

n

BI

S

三 . 磁电式电流计（表头）的原理n 圈： T = nISB

反绕游丝的恢复力矩（弹性力） T’ = k平衡时 = nISB/ k I

（ I = 0 时， = 0 ）

NS

作业

p.217 / 5-6- 1, 5, 8

§7. 载流线圈的磁场半径 R 的圆电流 I ，轴线上距 a

o

R

a PI

2/322

20

)(2 aR

IRB

3

20

2,

a

RIBRa

：远处

ISpRS m2

3m0

2 a

pB

)2

1(

30 a

pE

比较：

可见， pm = IS n 是一个重要物理量• 受磁场力矩• 产生磁场

B

作业

p.219 / 5-6- 11