信用衍生产品定价与估值

李祥林

2010 年 6 月

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信用衍生产品简介

信用衍生产品定价基本原理

次贷市场及其产品定价

定价理论最新进展

内容提要

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什么是信用衍生产品

基本信用衍生产品

结构化信用衍生产品

代表产品介绍

信用衍生产品简介

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什么是信用衍生产品 信用衍生产品是以贷款或债券的信用作为标的资产的金融衍生工具。

信用衍生产品的实质是一种双边金融合约安排，在这一合约下 ,交易双方对约定金额的支付取决于贷款或债券支付的信用状况，通常有两种方式对其进行交易，即期权或互换。

所指的信用状况一般与违约、破产、信用等级下降等可以观察到的情况相联系。

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基本信用衍生产品 产品类型：

• 信用风险缓释合约• 信用联结债券（ CLN ）• 资产互换（ Asset Swap ）• 信用风险缓释合约期权• ……

标的产品：• 公司债券• 公司贷款• 国债• 债券组合、贷款组合• ……

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结构化信用衍生产品

组合化产品 期权类产品 复合型产品

第 n 次信用违约（ NTD ） 指数信用风险缓释合约期权 Quanto 产品

债务抵押证券（ Cash CDO ） 第 n 次信用违约期权（ NTD Option ）

交叉支持抵押证券

合成 CDOs, CDO2 份额期权（ Tranche Option ） 多空份额 CDO2

单份额（ Single Tranche ） 与通胀和商品等相联结的 CDO

基于指数的债务抵押债券

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标的对象：公司 C互换期限： 3 年违约金 : 公司 C 违约造成的损失或合约规定的金额

信用风险缓释合约

交易对手 B交易对手 A 支付违约金交易对手 A

支付违约保险费用

若违约事件发生交易对手 B

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债券担保与信用风险缓释合约的对比

债券担保 信用风险缓释合约

发行方 债券发行公司 银行、投行

对信用风险的持有方向 只能是多头 可以是多头或空头

定价方法 基于历史数据的精算方法 基于市场报价的相对定价

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债务抵押证券

r

标的组合

债务池

次优级别的 份额

选中级别的 份额

优先级别的份额

投资者

份额大小

分割点

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信用衍生产品定价基本问题介绍

单一个体违约风险的评估：违约概率曲线

多个个体信用衍生产品定价：违约相关性

代表产品介绍

信用衍生产品定价基本原理

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针对单一个体：如何评估对象的违约风险？

针对多个个体：如何建立违约相关性模型？

如何综合各种信息来评估结构化产品？

信用衍生产品定价基本问题介绍

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传统方法：根据信用评级和经验分析得出的一年违约率。• 同一信用评级组中的信用质量无法用评级区分。• 历史数据只是反映过去，而不具备前瞻性。• 一年或一期的数据可能忽略了违约概率的整体期限结构。

采用生存时间来描述每个个体违约事件的发生情况，可以解决以上问题。• 能得到每个个体的违约情况。• 若采用市场报价，可以得到隐含的未来生存时间分布。• 考虑了整体期限结构。

若待评估风险的市场信息或历史数据不全，而类似产品的信息比较充 分，可以利用与类似产品的相对关系间接估计违约风险

单一个体违约风险的评估

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定义从当前到违约或其它给定信用事件发生的时间为生存时间，用随机变量T 来表示。记 F(t) = Pr[T<t] ， F(t) 即为在时刻 t 之前违约的概率。

记生存函数为 S(t) ，风险率函数为 h(t) ，它们的定义如下：

由此可以得出：

违约风险的度量

)(1)( tFtS

)(

)(')(

tS

tSth

t dsshtS 0 )(exp)(

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以时间 t 为横坐标， S(t) 为纵坐标画出的曲线称为违约概率曲线

构建违约概率曲线可以利用的信息包括：• 标的对象的历史违约概率• 标的对象的债券或资产互换的利差• 标的对象的信用风险缓释合约的利差• 由信用评级公司公布的标的对象的期望违约频率• 标的对象回收率（发生违约事件后返还面值的百分比）

违约概率曲线的构建

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定价：信用风险缓释合约

信用风险缓释合约的现金流包含如下三个部分：• 买方定期支付的费用 :

• 违约事件发生时卖方支付的赔偿：

• 违约事件发生时买方支付的应计利息（假设在期限末支付）

根据违约概率曲线可以得到上面三个部分的现值，从而对信用风险缓释合约进行定价。

同样，如果有了同一个体不同期限信用风险缓释合约的报价，可以直接剥离得到该个体的违约概率曲线。

0(1 ) ( ) ( )

TR f t D t dt

11

( ) ( ) ( )k

i i i ii

c t t D t S t

11

1

( ) ( ) ( )i

i

k t

iti

c t t f t D t dt

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传统相关系数不能很好地描述，也不能唯一确定多个个体生存时间的联合分布

Copula 函数能把一维的边缘分布函数组合成多变量联合分布函数。

对 m 个在 [0,1] 上均匀分布的随机变量 , U1, U2, …., Um ， Copula 函数定义为：

对于 m 个变量，它们的边缘概率分布函数分别为：则可以用 Copula 函数将它们的联合分布表示为：

)( ii xF

))(,),(),((),,,( 221121 mmm xFxFxFCxxxF

1 2 1 1 2 2( , , , ) Pr[ , , , ]m m mC u u u U u U u U u

违约相关性： Copula 函数

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权益份额权益份额 中低份额中低份额 中高份额中高份额 高级份额高级份额 顶级份额顶级份额

相关性对总损失分布的影响

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以一个单份额定价为例，贷款池共有 120 个个体，它们的分散水平是 64 ，平均评级为 Baa2 ， 5 年的违约率为 1.35%

用一个相关性系数为常数的高斯 Copula 函数来拟合损失分布（拟合到二阶矩），得到的相关性系数为 6.9%

相关性参数与穆迪 BET 的对比

19

相关性参数与穆迪 BET 的对比

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从结论可以看出相比 BET ，正态 Copula 函数的结果肥尾效应更为明显。

份额 BET Copula 函数

优先份额

A-1 份额 AAA Aa1

A-2 份额 Aa2 Aa2

A-3 份额 A2 A2

权益份额 Caa

BET 与正态 Copula

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第 n 次信用违约的定价

例如，某一个第 n 次信用违约合约，其标的产品为 m 个信用个体，合约规定，若在两年之内至少发生了 n 次违约，则合约的卖方支付 1 元，合约中止。

首先对每个个体建立违约概率曲线

利用 Copula 函数，建立 m 个个体生存时间的联合分布。

根据联合分布模拟这 m 个个体的违约情况，及卖方支付情况。卖方支付的现值的平均值即是这一合约的现值。

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一个数值样例

输入参数：风险率 = 0.1, 无风险利率 = 0.1, 相关系数 = 0.25

第n次信用违约价值

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

标的个体数量

价值 第一次违约 第二次违约 第三次违约

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次贷市场简介

动态竞争风险模型（ Dynamic competing risk model ）

次贷市场与 Copula 定价模型

次贷市场及其产品定价

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次贷市场主要产品• 资产抵押证券债券（ ABS Bond ）• 资产抵押证券指数（ ABX, TABX 等）• 基于资产抵押证券的债务抵押证券（ ABS CDO ）

次贷市场简介：主要产品

贷款池 ABS Bond ABX

贷款 1

贷款 2

…….

贷款 m

ABS Bond 1

ABS Bond 2

…….

ABS Bond 20

TABX/ABS CDO

2006-2

2007-1

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一般的信用衍生产品如信用风险缓释合约等，其驱动因子主要为违约风险

以优级贷款为标的的信用衍生产品，其驱动因子主要为提前支付

次级贷款衍生产品兼有以上两种特点，违约和提前支付都是主要的驱动因子，在不同的市场环境下，这两种因子的作用强弱会发生变化。这样的风险状况可称为竞争风险，即合约的支付情况由两种因子中首先发生的一个决定。

次贷市场简介：主要驱动因子

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竞争风险模型 :

X 代表所有影响违约或提前支付的协变量• 若 X 为静态，函数 f 为线性，则为传统的 Cox 模型• 若 f 为通常的三次样条（ cubic spline ）形式，则为广义可加模型（ G

AM ）• 若 X 为时间 t 的函数，则为动态模型

公共驱动因子：• 静态变量：贷款价值比率（ LTV ），费埃哲公司（ FICO ），证明材料，贷款目的，保证金，贷款额度，地产种类等

• 动态变量：利率环境 , 房屋价格增值（ HPA ） , 再融资动机，流动性度量（优级贷款与次级贷款利差） , 就业率

动态竞争风险模型：模型框架

ththth

XfXfthth

XfXfthth

Pim

Dimim

MPM

K

k

Pk

Pk

Pim

Pim

MDM

K

k

Dk

Dk

Dim

Dim

)()()(

1

)(0

)(

1

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)(

))()(exp(

))()(exp(

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资产抵押产品债券：非线性产品，依赖于提前支付，违约，二者分别的波动率和二者之间的相关性。贷款池的总损失可表示为：

不同信用级别的 ABX 指数的定价结果需要能够互相统一

不同信用级别的 TABX 指数的定价结果同样需要能够互相统一

由动态模型得到 CDR ， CPR 情景，再将产生的现金流整合即可达到以上所有目标

动态竞争风险模型：估值

dtetxhpRNTL rtN

i

T

imxtii

1 0

)()( )()1()(

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2008 年 6 月在加拿大蒙特利尔的演讲中，谈到次贷危机是否快要结束的问题时，展示的研究结果

各月待重置次贷总量（以十亿为单位）

YEAR MONTH

NOTIONAL Amount to RESET

(Billions)

2007 12 7.9 2008 1 14.3 2008 2 15.2 2008 3 20.7 2008 4 18.9 2008 5 20.7 2008 6 21.8 2008 7 19.8 2008 8 22.6 2008 9 19.5 2008 10 20.0 2008 11 17.4 2008 12 16.4 2009 1 12.4 2009 2 9.5 2009 3 8.9 2009 4 6.2 2009 5 5.4 2009 6 4.4 2009 7 3.6 2009 8 3.6 2009 9 3.1 2009 10 3.9 2009 11 3.8 2009 12 3.1

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传统 Copula 模型仍有一定的局限性

风险随机过程的动态刻画：测度变换问题

定价理论最新进展

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传统 Copula 模型得到了广泛的应用，但它仍有一定的局限性：• 缺乏金融层面上的合理性证明• 在市场校验方面存在困难• 某些级别的对冲表现比较差• 无法刻画违约风险的动态过程，因此无法对美式期权等复杂产品进行定

价

风险动态过程的刻画需要通过测度变换来解决

传统 Copula 模型存在的问题

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假设公司资产价值 在客观测度下的几何布朗运动，其波动率为 ，漂移项为 ，定义违约距离为：

在莫顿模型中，客观测度下的违约概率为

，其中

风险中性测度下的违约概率为

，其中

由此可知，莫顿模型中客观测度下及风险中性测度下违约概率的关系为 :

单一个体的测度变换：莫顿模型（ 1974 ）

)log()](log[

)(DtV

tX

)]([]0)([)( *** TBTXPTq

)]([]0)([)( TBTXPTq T

TXTB

2

)0()(

tV

T

Tr

XTB

2

*)0(

)(

Tr

TqTq

)]([)( 1*

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王氏变换给出了一般随机过程的测度变换公式：

王氏变换的直观解释：• 对于非正态分布的金融风险，我们并不知道如何进行测度变换• 通过分布函数 将风险转换为均匀分布• 利用正态分布的逆函数 ，将其转换为正态风险• 通过改变其均值进行测度变换：• 利用正态或其它违约分布函数将其转换为违约分布函数：

单一个体的测度变换：王氏变换（ Wang Transform ）

)]([)( 1* xFxF

)]([1 xFG

)]([1 xF )]([1 xF

)(xF

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单个个体的测度变换公式可以推广至多个个体，其在风险中性下的生存时间联合分布函数为：

根据这一结果，可以刻画多个个体风险的动态过程，从而对相应的复杂产品进行定价。

多个个体的测度变换

nnznnnnzn

n

ttFttF

tttF221

12

12

11111

21*

)]([,,)]([

),,,(

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信用衍生产品市场具有多样化的产品和较大的规模。

在受到次贷危机的冲击后，信用衍生产品市场的发展面临着新的挑战。

信用衍生产品定价主要包括单个个体信用风险和组合信用风险两部分。

次贷市场的定价需要考虑提前支付和违约两种风险驱动因子。

信用衍生产品定价理论仍在不断完善和发展中。

总结