力 的 投 影力 的 投 影

一一 .. 力在平面直角坐标轴上的投影力在平面直角坐标轴上的投影 1.1.力沿坐标轴的分力 力沿坐标轴的分力

2.2.力在坐标轴上的投影 力在坐标轴上的投影

3.3.由力在坐标轴上的投影求力的大小和方向 由力在坐标轴上的投影求力的大小和方向

二二..力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影

三三 .. 举例举例

复习复习 力是物体相互间的机械作用。力是物体相互间的机械作用。 外效应：机械运动状态改变（运动效应）。外效应：机械运动状态改变（运动效应）。 内效应：物体形状改变（变形效应）。内效应：物体形状改变（变形效应）。 作用力与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个相互作用的物体上。作用力与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个相互作用的物体上。 力的三要素：大小、方向、作用点。力的三要素：大小、方向、作用点。 力的表示：有向线段。力的表示：有向线段。 力的单位：法定计量单位（力的单位：法定计量单位（ NN 、、 kNkN ）。）。 刚体的概念：在力的作用下，物体的微小变形与其实际尺寸相比可以忽略不计的刚体的概念：在力的作用下，物体的微小变形与其实际尺寸相比可以忽略不计的 理想化力学模型。理想化力学模型。 力系：作用于物体上的一组力。力系：作用于物体上的一组力。 等效力系：对同一物体作用效应相同的两个力系（常用于力系的简化、合力与等效力系：对同一物体作用效应相同的两个力系（常用于力系的简化、合力与 分力）。分力）。 二力平衡条件：等值、反向、共线作用于同一物体上的两个力。二力平衡条件：等值、反向、共线作用于同一物体上的两个力。 二力构件：在两个力作用下平衡的构件，其形状可以是任意的。二力构件：在两个力作用下平衡的构件，其形状可以是任意的。 力系的分类力系的分类 : : 平面力系 汇交力系平面力系 汇交力系 平行力系平行力系 空间力系 一般力系空间力系 一般力系 由分力求合力叫做力的合成，由合力求分力叫做力分解。由分力求合力叫做力的合成，由合力求分力叫做力分解。

1.1. 力沿坐标轴的分力力沿坐标轴的分力

为了便于代数运算，一般在为了便于代数运算，一般在

力的作用面内选择直角坐标系力的作用面内选择直角坐标系 00

XYXY 为投影轴。将力为投影轴。将力 FF 沿着沿着 XX 、、

YY 轴方向分解得到的分力就是力轴方向分解得到的分力就是力

沿坐标轴的分力，如图所示沿坐标轴的分力，如图所示 ,,FFXX、、

FFYY 是力沿坐标轴的分力。力沿是力沿坐标轴的分力。力沿

坐标轴的分力是矢量。坐标轴的分力是矢量。

2.2. 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影 从力从力 FF 的两端分别向坐标的两端分别向坐标

轴作垂线，则两垂线在坐标轴轴作垂线，则两垂线在坐标轴

上所截得的线段长度，并冠以上所截得的线段长度，并冠以

相应的正负号，称为力在坐标相应的正负号，称为力在坐标

轴上的投影。轴上的投影。 FFXX 、、 FFYY 是力在坐是力在坐

标轴上的投影标轴上的投影 ,, 如图所示。力如图所示。力

在坐标轴上的投影是代数在坐标轴上的投影是代数量量。。

sin

cos

FF

FF

y

x

（ 2-1 ）

3.3. 由力在坐标轴上的投影求力的大小和方向由力在坐标轴上的投影求力的大小和方向

若力在坐标轴上的投影已知，则力的大小和方若力在坐标轴上的投影已知，则力的大小和方

向分别为：向分别为：

22yx FFF

x

y

F

Ftan

（ 2-2 ）

（ 2-3 ）

注意注意 ::• 11 、力的投影与力沿坐标轴方向的分力是不同的概念，力的投影、力的投影与力沿坐标轴方向的分力是不同的概念，力的投影

是代数量，力沿坐标轴方向的分力是矢量；由力的投影只能确定是代数量，力沿坐标轴方向的分力是矢量；由力的投影只能确定力矢，不能确定力的作用线位置，而由力沿坐标轴方向的分力则力矢，不能确定力的作用线位置，而由力沿坐标轴方向的分力则完全可以确定力的大小、方向和作用点。完全可以确定力的大小、方向和作用点。

• 22、力沿坐标轴分力的指向与坐标轴的正向一致，力在该轴上的投、力沿坐标轴分力的指向与坐标轴的正向一致，力在该轴上的投影为正，否则为负。影为正，否则为负。

• 33 、当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为、当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为 00 ；当力与坐标；当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影等于力的大小。轴平行时，力在该轴上的投影等于力的大小。

• 44 、当 、当 OxOx 、、 OyOy 两轴不相垂直时，分力两轴不相垂直时，分力 Fx Fx 、、 Fy Fy 和力在轴上和力在轴上的投影的投影 FxFx 和和 FyFy 在数值上也不相等。 在数值上也不相等。

• 55 、一个力在相互平行且同向的轴上的投影相等。、一个力在相互平行且同向的轴上的投影相等。• 66 、将一个力矢平行移动，此力在同一轴上的投影值不变。、将一个力矢平行移动，此力在同一轴上的投影值不变。• 77 、计算力的投影时，常用锐角进行计算，再冠以正负号、计算力的投影时，常用锐角进行计算，再冠以正负号• 88 、力在坐标平面的投影是矢量，力在坐标轴上的投影是代数量。、力在坐标平面的投影是矢量，力在坐标轴上的投影是代数量。

返 回投影为正 投影为负

二、力在空间直角坐标轴上的投影二、力在空间直角坐标轴上的投影 知道了力在平面直

角坐标轴上的投影 ,那么力在空间直角坐标轴上的投影是一样的，只是多了个 Z轴上的投影。

cos

cos

cos

FF

FF

FF

z

y

x

（ 2-4 ）

1. 直接投影法

2. 2. 二次投影法二次投影法

cos

sinsin

cossin

FF

FF

FF

z

y

x

（ 2-5 ）

同理：若已知力的投影，则可求出力的大小和方向为

222

222

222

222

cos

cos

cos

zyx

z

zyx

y

zyx

x

zyx

FFF

F

FFF

F

FFF

F

FFFF

（ 2-6 ）

三 . 举例例例 11 ：如下图所示，已知：：如下图所示，已知： FF11=10N=10N ，如图所示。，如图所示。 FF2X2X=10N=10N ，，

FF2Y2Y=-10N=-10N ，， FF22 作用在坐标原点。作用在坐标原点。求求 FF11 在在 XX 、、 YY 轴上的投轴上的投影，影， FF22 的大小和方向。的大小和方向。 解：由力在坐标轴上的投影知：

F1X=-F1COS600=-10X0.5=-5(N) F1Y=-F1XSIN600=-10X0.866=-8.66(N)F2=

22yx FFF =14.14(N)

a1=arctan1=450

于是过 O 点可作出 F2, 其作用线与 X 轴成450 角 , 箭头指向右下方。

答： F1 在 X 、 Y 轴上的投影为 F1X=-5N F1Y=-8.66N ， F2 与 X 轴成 450 角 , 箭头 指向右下方。

例例 22 ：在下图所示的长方体中，各边长如图所示，：在下图所示的长方体中，各边长如图所示， FF11=10N=10N ，，FF22=20N=20N ，求各力在，求各力在 XX 、、 YY 、、 ZZ 轴上的投影。轴上的投影。

解：由图可得 : sina=30/50=0.6 cosa=40/50=0.8 F1X=0, F1Y=0, F1Z=10N F2X=-F2cosa=-20×0.8=-16(N) F2Y=0 F2Z=F2sina=20×0.6=12(N)

答：各力在 X 、 Y 轴上的投影为： F1X=0, F1Y=0, F1Z=10N F2X=-16N F2Y=0 F2Z=12N

四四 . . 总结及布置作业总结及布置作业

本次课主要讲了力沿坐标轴的分力，是矢量；力本次课主要讲了力沿坐标轴的分力，是矢量；力

在坐标轴上的投影，是代数量。重点是力在平面在坐标轴上的投影，是代数量。重点是力在平面

直角坐标轴上的投影及注意点。直角坐标轴上的投影及注意点。

作业：习题作业：习题 11 、、 33