如何幫助學童學好數學

　國立台南大學數學教育系 謝 堅

◎ 您贊成這樣幫助學童學習數學嗎 ?　　　　　　　　　　　　　　　

◎ 透過拳頭學習大小月： 一月大、二月小、三月大、…、 七月大、八月大、… 、十二月大

◎ 教學重點： 手骨骼構造與大小月的關係。 陽曆的由來 (歷史故事 )。 幫助記憶。

◎ 為什麼七月及八月連續兩個月都 是大月 ?而二月的天數特別少 ?◎ 為什麼我們常說： 一個月有 30天 一年有 12個月 一年有 365 天 (30×12 ＝ 360) 　

◎ 您贊成這樣學習分、小數互換嗎

◎1/10 01 0.1 1/100 001 0.01 1/1000 0001 0.001

◎1/10000 00001 0.0001

◎1/70 07 0.7 1/37 73 7.3

◎1/60 06 0.6 09 0.9

◎ 單位的化聚：

◎1 公斤＝ 1000 公克 4.8 公斤＝ ( ) 公克 5400 公克＝ ( ) 公斤

◎ 中年級、高年級、國中怎麼教 ?

公斤

公克

45

.84

00

◎ 畫格子： 是換單位的概念 是解題的技巧

◎ 畫格子： 適用的範圍有多大？ 能解決不同換單位的問題嗎？

會妨礙以後換單位概念學習嗎？ 適用於所有換單位的問題嗎？

※已知1公斤＝2.2英鎊

　 4.8公斤＝ ( )英鎊

　 4.8英鎊＝ ( )公斤◎您如何解決上述問題?

◎透過畫格子學會換單位的學童， 國中時如何面對上述問題?

◎ 國小階段沒有建立換單位的概念 ( 會算出答案，並不一定有概念 )，

很可能一輩子都不會有正確換單 位的概念 (除非透過反省 )。

◎ 得到數學分數，並不等於理解數 學概念，更危險的是：可能妨礙 數學概念的發展。

※『 1公分』與『公分』， 那一個是長度的 (計數 )單位？

『公分』是測量長度的一種單位 『 1 公分』是描述有多長的單位 （個別單位概念）。

◎ 二年級的學童，看到『 5公分』時 ，一定要知道兩件事：

公分是量長度的單位。 5 公分是 5個 1公分接起來的長。 （和 5個 1公分接起來一樣長）。

◎ 「元」、「１元」，

那個是可以被計數的單位（錢）？

※『５元』有那些意義？

◎『５元』可以是： 某一個指定的5元硬幣(特例 )。

5元硬幣所成的集合(等價類)。

5個 1元合起來錢數的簡稱。

◎對低年級學童而言，哪一個概念　最難建立？

※哥哥有 5元，姐姐有 3元，兩個人

合起來共有多少錢？

◎為什麼部份學童回答： 兩個人共有『 4個錢』。◎當學童理解：　 5元是 5個 1元合起來的錢數時，　才能解決上述問題。

甲有 5個蘋果，乙有 3個蘋果，兩　個人合起來共有多少個蘋果？ 甲繩長 5公分，乙繩長 3公分，　　兩條繩子接起來長多少公分？ 哥哥有 5元，姐姐有 3元，兩個人　合起來共有多少元？◎這三個問題的難度是否相同？ 為何都可以用加法算出答案？

◎ 面對接起來有多長與合起來有多　少元的問題，中、低年級教師不　應該立刻接受答案，教師應追問　學童解題的意義。

一些蘋果， 3個一數， 5個一數，　都可以數完，最少有幾個蘋果？ 一些蘋果，平分成 3堆可以分完，　平分成 5堆也可以分完，請問最少

　多少個蘋果？◎ 為什麼這兩個問題都可以透過求　最小公倍數的方式得到答案？

◎☉ ☉ ☉ 每堆第 1 個　☉ ☉ ☉ 每堆第 2 個 ☉ ☉ ☉ 每堆第 3 個

☉ ☉ ☉ 每堆第 n個 第 第 第 ( 合起來都是 3個 )

一 二 三 堆 堆 堆

三個一數可以數完 (包含除 )。 平分成三堆剛好分完 (等分除 )。

◎ 解題的意義是否相同？

◎ 4.8 公斤是 4.8 個 1公斤， 4.8 公斤是 4.8 個 1000 公克， 4.8 公斤是 1000 公克的 4.8倍， 4.8 公斤＝ 1000×4.8 ＝ 4800 公克

◎ 4.8 公斤是 4.8 個 1公斤，

4.8 公斤是 4.8 個 2.2 英磅，

4.8 公斤是 2.2 英磅的 4.8倍 4.8 公斤＝ 2.2×4.8 ＝ 10.56 　　　　　　　　 　　 (英磅 )

◎ 除了點數，國小所有的數學題目 ，一定可以使用以前學過的方法 算出答案。

◎ 一年級到四年級都有整數加、減 的教材，這些教材有那些異同？

※一盒蘋果有 35個， 4盒有多少個？

◎ 可以有那些解題策略？ 有那些能力後可以開始解題？ 哪一種解題策略最有效率？◎ 如何幫助學童使用最有效率的策 略解題？

◎ 除非看不懂數學符號，國中所有 的數學問題，都可以使用國小學 過的策略解題，國中階段引入的 是更有效率的解題策略。

◎透過比的概念解題： 1公斤： 2.2英鎊＝ 4.8公斤： ( )英鎊 1公斤： 2.2英鎊＝ ( )公斤： 4.8英鎊

◎學童理解比的意義就可以解題， 當熟悉內項乘以內項＝外項乘以 外項計算過程時，可以讓解題更有 效率。

◎透過倒數的概念解題： 1公斤＝2.2英鎊 1英鎊＝1/(2.2)公斤

◎4.8英鎊＝4.8個 1英鎊 　　　

＝ 4.8個 (1/2.2)公斤 　　　

＝ (1/2.2)×4.8公斤

◎ 數學符號或加減乘除運算是怎樣 被發展出來的？

◎ 為什麼「５＋３＝８」 ?

5+3不等於 8，難道答案是 9嗎? 這裡有5個蘋果，那裡有3個蘋果 ，合起來數數看，共有8個蘋果， 5個蘋果和 3個蘋果合起來共有8個 蘋果，所以5＋ 3＝ 8。

◎你接受哪一種回答方式？

◎ 哪一種引入方式比較合理？先引入加法算式 5＋ 3 ＝ 8，然後再

　向學童說明其義意。先解決合起來有幾個蘋果的問題 ，再使用加法算式 5＋ 3 ＝ 8記錄解

　題活動。

◎ 一定要記成 5＋ 3 ＝ 8 嗎 ？ 5 ］→ 8; 5,3 →8; 5 ＋ 3＝ 8 3

◎ 那種記法最容易理解 ? 那種記法比較容易記錄及運算。

直接引入數學上約定俗成的記法 學童先發展出自己能掌握的記法　，再連結數學上成人的記法。

◎ 哪種引入方式比較能夠掌握算式 的意義？

◎ f(x) ＝ 50x ＋ 100 這個式子是怎麼冒出來的 ? 為什麼 f(7) ＝ 50×7 ＋ 100 ？

◎日常生活中是否存在函數？

◎ 如何幫助學童理解函數的意義？

直接透過定義的方式引入。布置適當情境幫助學童自己發展　

出來。

※謝老板利用快遞賣粽子，肉粽一 個賣 50 元，菜粽一個賣 40 元，不

管買幾個粽子都要加收 100 元的快

遞費用，如何幫助伙計或顧客知 道買幾個粽子要付多少錢 ?

◎肉粽個數 價錢 (元 ) 1 個 150 元 2 個 200 元 3 個 250 元 4 個 300 元 5 個 350 元 …… 100 個　 　 5100 元

◎肉粽個數 價錢 (元 ) 1 個 50＋ 100 2 個 100＋ 100 3 個 150＋ 100 4 個 200＋ 100 5 個 250＋ 100 …… 100 個 5000＋ 100

◎肉粽個數 價錢 (元 ) 1 個 50 × 1 ＋ 100 2 個 50 × 2 ＋ 100 3 個 50 × 3 ＋ 100 4 個 50 × 4 ＋ 100 5 個 50 × 5 ＋ 100 …… 100 個 50 × 100＋ 100

◎ 可以用一個數學式子，將前面的 價目表摘要的記下來嗎 ?

◎ 那些重要的條件一定要記下來 ?

◎肉粽個數和價錢的對應關係： （函數的對應關係）： 肉粽個數 價錢 (元 ) x 個 50 × x ＋ 100

◎ 適用該對應關係的肉粽的個數： （函數的定義域）： x＝ 1,2,3,4,5,6,…,100 。

◎肉粽個數 總價 (元 ) x 個 50 × x ＋ 100( 元 )

x＝ 1,2,3,4,5,6,…,100 。◎ 這種記法很容易溝通肉粽單價、 個數和總價的關係，但是在運算 時，不容易記錄。 這種記法也不容易在平面座標上 使用圖形（直線）來表徵。

◎肉粽的個數： x 價錢： y y＝ 50x ＋ 100 x＝ 1,2,3,4,5,6,…,100 。◎ 這種記法比較抽象，但是當我們 在平面座標上使用圖形（直線） 來表徵函數的關係時，常使用上 面的記法。

◎f(x) ＝ 50x ＋ 100 y＝ f(x) ＝ 50x ＋ 100 x＝ 1,2,3,4,5,6,…,100 。

◎ 這種記法比較抽象，但是當我們 要算出幾個粽子賣多少錢時，比

較容易記錄及運算。

◎f(x) ＝ 50x ＋ 100 x＝ 1,2,3,4,5,6,…,100 。

◎f(7) 表示什麼 ? f(7) ＝ 50×7 ＋ 100 表示什麼 ? 函數是否存在日常生活之中？

x 50×x ＋ 100 y＝ 50x ＋ 100 y＝ f(x) ＝ 50x ＋ 100 （ x＝ 1,2,3,4,5,6,…,100 ）

◎ 那一種記法最具體，那一種記法 最抽象 ? 看到這些數學式子，你想到什麼 ?

※1美元兌換 33元台幣 (討論錢幣個數，不討論幣值 )

◎ 請說出 5種以上的數學溝通方式

畫出台幣及美元的兌換表格。 台幣的錢數是美元的 33倍。 台幣：美元＝ 33： 1。 台幣：美元＝ 33。 x（美元） 33x( 台幣）若以 y 代表美元錢數，以 x 代表 台幣錢數，則 x＝ 33y。直角坐標上過原點的直線。

◎ 如果美元兌換台幣是重要的數學　概念：

◎ 上述表徵可以一起教嗎？ 上述表徵的教學順序為何？

※如果顧客同時購買肉粽與菜粽， 如何幫助伙計或顧客知道買粽子

要付多少錢 (含快遞費用 )?

◎ 如何用一個數學式子記下來 ?

畫出一個二維的價目表。 記成：（ x， y)50x ＋ 40y ＋ 100 記成： f(x,y) ＝ 50x ＋ 40y ＋ 100

x,y＝ 0,1,2,3,4,5,6,…,100 (x， y不可以都是 0)◎那種記法最容易溝通 ? 那種記法運算或記錄比較方便 ?

◎進行「最簡分數」教學時，教學 的重點是什麼 ?約分 互質其它

◎ 6/10 ＝ 3/5 15/25 ＝ 3/5 等號是什麼意思？

◎ 學過最簡分數之後，

您看到分數「 3/5 」會想到什麼？

把一個蘋果平分成 5份，取出其中

的 3份。3 個 1/5 合起來的簡稱。3 個蘋果平分給 5 個人的結果。{3/5 、 6/10 、 9/15 、 12/20 、… .}

的代表 ( 等價類 )。

◎ 如果只想到前面三個意義，最簡　分數的教學並沒有成功，因為　並沒有擴展分數的意義。

◎ 教國文：解釋字面的意義。　教數學：理解來龍去脈。

◎引入最簡分數的目的是什麼 ? 那些情形會用到最簡分數 ?

◎教師不應該只瞭解最簡分數的定 義或計算算法 (分子與分母互質的 分數 )，教師應該知道引入最簡分 數的目的。

◎進行「質數」教學時，教學的重 點是什麼 ?

◎ 如何處理「 1不是質數」的問題 ?

◎進行「相反數」教學時，教學的 重點是什麼 ?

◎進行「倒數」教學時，教學的重 點是什麼 ?

◎ 5 8 相反數 0 ＋ 3 － 3 0

◎ 5 8 倒數 1 8/5 5/8 1

◎忘掉你最熟悉有效率的解題策略 ，你才可能接近學童，才可能幫 助學童發展數學概念。

◎下列問題的教學重點為何？

異分母加減問題： 長方形面積公式： 分數除法問題： 算術平均數問題：

◎異分母加減問題：

◎ 為什麼異分母相加減要先通分 ? 通分時一定要尋找分母的最小公　倍數嗎 ?◎ 不找分母的最小公倍數也能解決 問題嗎 ?

◎ 解題概念：等值分數。

◎找最小公倍數是解題技巧 (最有效

率的解題策略 ) 。

◎1/4=2/8=3/12=4/16=5/20=…… 1/6=2/12=3/18=4/24=5/30=……◎將注意力放在分割份數上（忽略 合成的份數），可以更快速的找 到共同的單位分數。 4 ， 8 ， 12 ， 16 ， 20 ， .... 6 ， 12 ， 18 ， 24 ， 30 ， ....

◎ 算術平均數問題：

※全班 30 位同學的平均體重是 40公

斤，平均 40 公斤的意義是什麼？

將全班同學打成肉醬，平分成 30 份，每一份剛好重 40公斤。

30 位同學的體重不相同，以 40公 斤代表這 30位同學的體重比較恰 當。

◎ 算術平均數是代表數的概念，並 不是平分的結果。

◎瞭解算術平均數的意義，與能算 出算術平均數，何者比較重要 ?

※甲、乙兩班都有 31位同學，月考 後，如何比較兩班數學成績誰比 較好？

◎ 兩班各有 31個分數，無法比較， 必需每班找出一個代表的分數， 才能比較誰的成績比較好。◎ 用什麼分數當做代表比較恰當 ?

找出最高 (低 )分來比較。 找出排名中間那位同學的成績來 比較 ( 中位數概念 )。 找出最多同學分數相同的成績來 比較 (眾數概念 )。 算出總分來比較。 算出總分後再除以 31來比較。◎ 那一種比較方法比較合理？

※如果甲班有 31人，乙班有 35人， 如何比較那一班的成績比較好？

◎代表數的概念是否會出現？

◎ 與成人溝通國小數學的教與學是 很辛苦的，因為成人對國小數學 問題過份的熟悉，因而喪失了反 省能力，無法思考為什麼可以這 樣快速的算出答案。

◎幫助成人理解學童為什麼不會算 數學，為什麼常使用笨方法算數 學，最好的方法是改變符號表徵 ，將問題改寫為成人不熟悉的符 號情境，面對不熟悉的解題工具 或情境，成人才能反省，學童在 解題時可能發生那些困難，要如 何幫助學童解決這些困難。

◎請使用英文字母｛ㄟ，ㄅㄧ，ㄒ ㄧ，ㄉㄧ，....｝的讀法來替代

印度－阿拉伯數字「ㄧ，ㄦˋ， ㄙㄢ，ㄙˋ，....」的讀法。◎使用英文字母「ａ、 b、 c、 d..」 的符號替代印度－阿拉伯數字 「１、２、３、４ ..」的記法。

◎ 甲有ｆ個蘋果，乙有ｄ個蘋果， 兩個人合起來共有多少個蘋果？

◎ 不會加法，能夠解決加法問題嗎 ? 算算看，答案是多少 ?

◎ 不會加法，也能夠解決加法問題 ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ f ｇ ｈ ｉ (j)

◎ 用加法ｆ＋ｄ能算出答案嗎？◎ 有那些能力之後，才能用加法算 出答案？

◎ 透過點數算出答案（共有ｊ個） 以後，學童有記錄解題活動的需

求嗎？

◎ 為什麼成人要求學童使用加法算 式ｆ＋ｄ＝ｊ記錄解題活動？

◎ 「ｆ＋ｄ＝ｊ」強調將題目中的 兩個數字直接運算 (運算規則 ) ，

可以最快速的算出答案。

◎ 如何定義加法運算？◎ 加法運算能夠解決哪些問題？

◎ 能夠更快速的算出加法問題的答 案嗎？

製作表格，透過查表解決問題。提升原來解題策略 ( 點數 )的效率

發展另一套解題工具（加法）。

◎提升原來解題策略的效率： ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ f ｇ ｈ ｉ (j)

◎能掌握 f 兩種意義的關係時，

可以不必畫出被加數。◎能透過手指頭掌控加數的個數 時，可以不必畫出加數。

◎發展出另一套解題工具：◎當學童尚未熟記英文字母加法時 ，只能利用點數當做工具解決問 題，並在解題成功後，使用加法 算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」記錄解題活 動，此時加法算式『ｆ＋ｄ＝ｊ』 只是單純的記錄，學童不是使用加法來解決問題。

◎當學童透過經常記錄，記憶了某 些加法算式，當再遇到數量相同 的加法問題時，就可以利用記憶 中的加法算式替代點數來解決問 題，此時，加法算式ｆ＋ｄ＝ｊ 的角色，開始由單純的記錄轉換 為解題的工具。

◎數學模型 (解題活動類型）

◎在國小階段，我們算了很多的加 法問題，為什麼這些情境不同的 問題，都可以使用加法運算來解 決問題？◎這些使用加法解題的問題有那些 共同特徵？

◎ 成人常提示，當題目中有關鍵字 「共」或「合起來」的時候，就 可以使用加法來解決問題。

◎ 成人為什麼要提示關鍵字？　　　

提示關鍵字的目的是什麼？　　　

可以用其它的方式幫助學童嗎？

※甲、乙、丙、丁、戊、己六人 共有 1000 元，甲和乙共有 500 元， 丙和丁共有 300 元，請問戊和己 共有多少錢 ?

※甲比乙多 50元，丙比乙少 30元， 請問甲和丙相差多少錢 ?

◎統計（現象）學的觀點：

◎ 數學模型 ( 解題活動類型 )觀點：

◎ 教師不應該只看到現象，教師應 該知道現象發生的來龍去脈，以 及解決問題的方法。

◎統計（現象）學的觀點：

◎找出國小所有的課本、 習作、參 考書以及光碟題庫，觀察這些用 加法解題文字題的文字描述有那 些共同的特徵。◎看到現象，只是知其然，但是不 知其所以然。

◎數學模型 (解題活動類型 )觀點：

◎有兩個已知個數的集合，這兩個 集合沒有共同的元素，當要確定 這兩個集合的個數合起來是多少 個時，就可以使用加法（數學模 型）來替代點數解決問題。

◎ 數學上給加法的定義：

◎Ａ∩Ｂ＝ Φ ， ｎ（Ａ）＝ａ，ｎ（Ｂ）＝ｂ， ａ＋ｂ＝ｎ（Ａ∪Ｂ）。

共同的文字描述 共同的解題方式

◎ 哪一個是加法教學的重點？

※一瓶 20 公克重、溫度是 20度的水 ，一瓶 30 公克重、溫度是 30度的 水。將兩瓶水倒在同一個瓶中， 請問：水重多少公克？ 溫度是多少度？ 為什麼水的重量可以相加？

為什麼水的溫度不能相加？

※看著溫度計，現在是 30度，溫度 上升 20 度後是多少度 ?

◎ 為什麼溫度有時可以相加，有時 又不可以相加 ?◎ 如何幫助學童理解其意義 ?

◎ 哪一種處理方式比較合理？

背題型 ( 共同的文字描述 )：澄清數學模型的意義 (共同的解

題方式 ) ：

※甲有 5/11 個蘋果，乙有 3/11 個蘋

果，兩人合起來共有幾個蘋果？

◎ 為什麼也可以使用加法算式 「 5/11＋ 3/11 ＝ 8/11 」記錄分數

加法問題的解題活動？

◎「5＋ 3＝ 8」記錄 5個「 1」和 3個

「 1」合起來是8個「 1」。 ◎「5/11＋ 3/11＝ 8/11」記錄 5個 「 1/11」和 3個「 1/11」合起來是 8個「 1/11」。◎將點數的對象由「1」擴充至任意 的單位分數，就可以擴充加法數 學模型適用的範圍至分數範圍。

※全班有50位同學，第一次月考數學 有 25個人及格，英文有30個人及 格，其中有10個人兩科都及格，請 問數學或英文中至少有一科及格的 人數是多少？

◎原來的加法模型無法解決此問題。 為什麼？

◎若ａ＝ｎ（ A），ｂ＝ｎ（ B） A∩B＝Φ； 則ａ＋ｂ＝ｎ（Ａ∪Ｂ）。◎ n（ A∪B） ＝ n（ A）＋ n（ B）－ n（ A∩B）

◎ 這兩個公式有何關係 ?

◎擴充數學模型時有一個很重要的 條件，新的數學模型除了適用於 新的情境，還必須能夠解決舊模 型的問題，讓舊模型的問題變成 新模型的特例。

◎背題型與掌握數學模型，何者對 學童比較有幫助 ?

小範圍的考試： 大範圍的考試： 以後的發展：

※甲每天吃ｃ個蘋果， e天共吃幾個

蘋果？

◎ 不會乘法，能夠解決乘法問題嗎 ?◎ 不會乘法也不會加法，能夠解決 乘法問題嗎 ?

◎ 算算看，答案是多少 ?

◎用乘法「 c x e」能算出答案嗎？ ◎用加法「 c ＋ c＋ c＋ c＋ c」能算出

答案嗎？　　　　　　　　　　　◎畫圖及點數，能算出答案嗎？◎何時才能使用加法或乘法當做工 具來解決問題？◎人們為什麼要發明加法及乘法？

◎ 可以更快速算出乘法問題答案嗎

◎ 當學童只會點數，加法運算不熟 悉時，並不適合引入乘法。

可以提升加法的解題策略，例如　發展出加法算則，讓加的速度變　快。 可以發展出新的解題工具，例如　透過乘法解決問題。 可以製作 c的加法表或乘法表，　透過查表解決問題。

◎剛開始，加法、乘法等算式是　解題的摘要記錄，背起來，算式　可以轉變成解題的工具，當數量　變大，算式變多且不好背，人們　發展出加法或乘法算則。

◎ 人類一直在追求最有效率的算則 ，五十年前及五十年後的人類，　都用和我們一樣的方法或工具計　算嗎 ?

◎ 計算器使用不方便且不普遍時： 將學童訓練成會走路的計算機， 算的又快，又準，又狠。

◎ 當計算器具使用方便且普遍時： 遇到大數字時使用計算器具，但 是當沒有計算器具時，也能夠慢 慢的算出答案。

能判斷一個問題該使用何種計算 方式解題 能快速的計算出答案◎ 那一種能力比較重要 ?

◎ 如何幫助學童判斷一個問題該使 用何種計算方式解題 ?◎ 何時可以要求學童熟練算則 ?

◎需要背「九九乘法表」嗎？ 學童何時可以開始記乘法表 ?

學童多久必須熟記乘法表？　　 如何幫助學童熟記乘法表？

◎ 我們以前是怎樣背乘法表？ 需要強迫學童這樣背乘法表嗎？

◎ 數學課程都分三階段引入數學符 號或算式，但是，不同課程對三

階段所投入的教學時間不儘相同　

◎第一階段：

引入數學符號或算式之前。

◎教學的重點是： 理解題意。 有成功解題的經驗。 逐漸形成數學模型 ( 解題活動類 型 ) 。

◎第二階段：

引入數學符號或算式。

◎教學的重點是：形成數學模型 ( 解題活動類型）。 掌握算式（摘要記錄）或算式填 充題（問題記錄）的意義。

◎第三階段：

引入數學符號或算式以後。

◎教學的重點是：將算式轉變成解題的工具。提升解題效率。 引入算則（算的又快又準又狠）

◎64 年課程，第一階段輕輕帶過， 將多數教學時間放在第三階段。◎82 年課程，第一階段投入較多的 時間，相對之下，第三階段投入 時間比較少。◎九年一貫課程，與 82年課程比 較，減少第一階段的時間，增加 第三階段的時間。

◎ 那一個階段的教學，對掌握數學 符號或算式的意義最重要 ?

◎ 為什麼部份低年級學童不知道文 字題該用加法或減法解決問題 ? 為什麼部份中年級學童不知道文 字題該用乘法或除法解決問題 ?

※一枝鉛筆賣 3元，4枝賣多少元？ ◎第一階段： 3＋ 3＝ 6， 6＋ 3＝ 9， 9＋ 9＝12◎第二階段：

3×4＝ 12 (算式不是解題工具）◎第三階段：

3×4＝ 12 (乘法算式是解題工具 ，也是解題記錄 )。

※一瓶水 24 公升， 3/4瓶水有多少公

升？◎題意是整數乘以分數的問題，不 會整數乘以分數也能夠解決問題 只要瞭解 3/4瓶的意義，就可以用　整數乘除法當做工具解決問題

◎第一階段：　 24÷4 ＝ 6， 6×3＝ 18 。◎需要引入整數乘以分數的摘要記 錄「 24×3/4 ＝ 18 」嗎？◎如果這類問題不是經常出現，只 要能夠成功解題即可，不需要將 整數乘以分數發展成解題的工具

◎ 如果這類問題經常出現 ,或是某些

重要數學概念的先備經驗，才需 要引入摘要記錄「 24×3/4 ＝ 18 」

◎第二階段：　 24×3/4 ＝ 18(只是單純的記錄 )

◎第三階段： 24×3/4 ＝ 18( 是解題的工具，也

是解題的記錄 )

◎將問題中的兩個數字直接運算， 是最有效率的解題策略。

38 38 467 467 +25 +25 x 3 x 3 63 13 1401 21 +5 18 63 +12

1401

◎你喜歡比較摘要的記法嗎 ? 為什麼你喜歡簡單省略的記法 ?

◎ 解題活動的步驟可以省略嗎？ 記錄活動的步驟可以省略嗎？ 1 38 　　 38 +25 　　 +25 63 　　 13 　　 +5 　 　　 63

◎78698668+98657699=? 7869866+9865769=? 786986+986576=? 78698+98657=? 7869+9865=? 786+986=?

◎ 您可以在心中掌握幾個步驟 ?

◎ 78698668 ＋ 98657699

◎ 為什麼心算很困難，但是筆算變 成很簡單 ?

◎47×69＝ ( ) 47 × 69 423 　＋ 282 有那些能力後，就可　

3243 　　以摘要地記成一行 ?◎ 有需要記成一行嗎 ?

◎人們透過背一些東西 (或在心中運 算 )，或同時在心中掌控幾個步驟 運算的方式，省略記錄的格式。

◎解題活動的過程是不可能省略的 　，將重要過程記錄下來對師生的　溝通有幫助，當能掌握數個細步 過程時，才可以開始省略記法。

◎ 數學學習態度與數學學習成就

都很重要，如何幫助學童建立良

好的「數學學習態度」？

◎剛開始要解決一個新數學問題 時，我常不知道怎麼辦

因為 ( )

◎先選（是）（不是）（不確定）

◎我喜歡困難的數學問題　　　　　 因為 ( )

◎問題真的很困難，我就放棄　　　 因為 ( )

◎數學在生活中是有用的

因為 ( )　

◎ 我以前比較喜歡數學　　　　　（現在比較不喜歡）　　　　　　因為 ( )

◎ 我比較喜歡每一次作業都是同一 種類型，不喜歡很多種類型混在 一起 因為 ( )

◎ 我在看完數學題目之後，通常可　以立刻找出重點。

◎ 我會把過去學到的數學知識和現　在所學的連貫起來。

◎ 當我在算數學問題時，我會回想　老師或同學所提過類似的例子。

◎解決數學問題時，我常會試用各　種不同的方法來解答。

◎學完一個數學單元後，我會把這　個單元的重點找出來。

◎上完數學課後，我會把同學和老　師的做法再想一遍，以確定自己　是否學會。

◎ 我在解決數學問題時，會問自己　是否瞭解題意。 ◎在做數學習題時，我會多練習自　己比較不會做的題目。 ◎ 當我發現數學作業中有不懂的地　方，我會請教別人。 ◎ 我會針對我經常犯錯的數學題　目，重複學習到正確為止。

◎ 數學一定要教過才會嗎？◎ 如果數學一定要家長或老師教過才會，有多少比例的學生會青出於藍？如果多數學生無法青出於藍而勝於藍，臺灣學生的數學能力，會一代比一代強嗎？

◎ 如果學生只是用力地模仿成人的　解題活動，而無法掌握數學的意　義，國小階段數學成績好的學生　是數學能力強？還是體察上意（老師、家長）的能力強？

◎ 國際性的數學比賽，臺灣的學生　常名列前茅，除了數學競賽以　外，臺灣學生是年齡愈大，數學　成積愈好，還是年齡愈大，數學　成積愈差？