李师傅在一家玻璃厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料（如图）进行加工，裁下一块半径尽可能大的圆形用料做圆桌的桌面。你能帮他画出裁剪图吗？

画画想想1. 任意画一个⊙ O ，过⊙ O 外一点 P 画⊙ O 的切线，有几条？标上切点字母 A 、 B 。2. 与切线有关的辅助线是什么？

3. 点 O 与∠ APB 有何特殊的位置关系？4.PA 与 PB 的大小关系如何？

5. 在线段 PA 的延长线上取一点 Q ，过点 Q 画⊙ O 的切线与PB 交于点 M ，切点为 C 。6. 点 O 与∠ PQM 和∠ PMQ 有何特殊的位置关系？7.QA 和 QC ， MB 和 MC 的大小关系如何？

8. ⊙O 与△ PQM 的三边的位置关系如何？

3.2 三角形的内切圆

1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

想一想： 已知一个三角形，你会画出它的内切圆吗？

A

B C

M

已知： △ ABC （如图）

求作：△ ABC 的内切圆

N O

D

⊙O 就是所求的圆 .

画三角形的内切圆 :

画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论

完成课内练习 3

1. 如图 1 ，△ ABC 是⊙ O 的 三角形。 ⊙ O 是△ ABC 的 圆， 点 O 叫△ ABC 的 ， 它是三角形 的交点 ,

三角形的外心到 的距离相等。

外接内接

外心三边中垂线

2. 如图 2 ，△ DEF 是⊙ I 的 三角形， ⊙I 是△ DEF 的 圆， 点 I 是 △ DEF 的 心， 它是三角形 的交点 ,

三角形的内心到 的距离相等。

A

B C

O．

图 1

外切内切内

三个角平分线D

E F

G.O3. 如上图，四边形 DEFG 是⊙ O 的

四边形，⊙ O 是四边形 DEFG 的 圆 .内切外切

I

D

E F

．

图 2

三角形各边

三角形各个顶点

（ 2 ）若∠ A=80 ° ，则∠ BOC = 度。

（ 3 ）若∠ BOC=100 ° ，则∠ A = 度。

解 :

130

20

（ 1 ）∵点 O 是△ ABC 的内心，

∴ ∠BOC=180 ° － ( 1∠ ∠＋ 3)

= 180 ° － (25° ＋ 35 °)

例 1 如图，在△ ABC 中，点 O 是内心， （ 1 ）若∠ ABC=50° ∠， ACB=70° ，求∠ BOC 的度数

A

B C

O

=120 °

)1 (32) 4(

同理 ∠ 3= 4= ACB= ∠ ∠ 70° =35 °2

1

2

1

∴∠1= 2= ABC= ∠ ∠ 50°= 25°2

1

2

1

答： ∠ BOC =90 ° + A∠2

1

（ 4 ）试探索： ∠ A 与∠ BOC 之间存在怎样的数量关系？请说明理由。

A

B C

O

)1 (32) 4(

CC

AA

BB

OODD

例例 22 、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面圆是直三面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３底面等边三角形边长为３ cmcm ，求圆柱底面的半，求圆柱底面的半径。径。

课内练习课内练习 11 ：：

　　已知正三角形的边长为６ｃｍ，已知正三角形的边长为６ｃｍ，

求它的内切圆半径求它的内切圆半径 rr 与外接圆半径与外接圆半径 RR 。。

CC

AA

BB

RRrr

OO

DD

变式：正三角形的内切圆半径正三角形的内切圆半径 rr 与外接圆半径与外接圆半径 RR 的比的比 。。正三角形的内切圆半径与高的比为 。

1:2

1:3

3r 32R

例 3 ：如图，已知⊙ O 是△ ABC 的内切圆，切点分别点 D 、 E 、 F ，设△ ABC 周长为Ｌ。

求证：ＡＥ＋ＢＣ＝　　Ｌ1

2A

B

CO

D

E

F

课内练习 2 ：

设△ＡＢＣ的面积为Ｓ，周长为Ｌ， △ＡＢＣ内切圆的半径为ｒ，你能

得到Ｓ＝　　Ｌｒ吗？1

2

A

B

CO

D

E

F

A

B

C

D

E

F

O

若△ＡＢＣ的面积为 12cm2 ，周长为 24cm ，则△ＡＢＣ内切圆的半径为 cm1

A

BC

O

a

bc

D

E

r

如：直角三角形的两直角边分别是 5cm ，12cm ，则其内切圆的半径为 ______ 。

例 4 ：如图，直角三角形的两直角边分别是 a ， b, 斜边为 c 则其内切圆的半径ｒ为 : 。

2cm

r = a+b-c2

已知：在△ ABC中， BC=14 ， AC=9 ， AB=13 ，它的内切圆分别和 BC 、 AC 、 AB 切于点 D 、 E 、 F ，求 AF 、 BD 和CE 的长。

A

B C

F

D

Ex x

13-x

13-x

9-x

9-x

∴ (13-x)+(9-x)=14 解得 x=4

答： AF=4

BD=9

CE=5

∴ AF=4 ， BD=9 ， CE=5

1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 .

2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出

三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的

内切圆、圆的外切多边形的概念。

3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与

“ 外心”的区别，

4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运

用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。

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