ЦОР по теме: «Треугольники»

23
ЦОР по теме: «Треугольни ки» Разработала: Маланко Е.Г. учитель математики МОУ «Гимназия № 1» I квалификационная категория

Upload: nichole-oliver

Post on 03-Jan-2016

47 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

ЦОР по теме: «Треугольники». Разработала: Маланко Е.Г. учитель математики МОУ «Гимназия № 1» I квалификационная категория. Треугольник. В. A,B,C – вершины АВ , ВС , АС – стороны ∆ АВС , ∆ ВСА , ∆ САВ  САВ ,  АВС ,  ВСА – углы треугольника Р ∆ АВС = АВ+ВС+АС. С. А. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: ЦОР  по теме: «Треугольники»

ЦОР по теме:

«Треугольники»

Разработала: Маланко Е.Г.учитель математикиМОУ «Гимназия № 1»I квалификационная категория

Page 2: ЦОР  по теме: «Треугольники»

С

В

Треугольник

A,B,C – вершины

АВ, ВС, АС – стороны

∆ АВС, ∆ ВСА, ∆ САВСАВ, АВС, ВСА –

углы треугольника

Р ∆ АВС = АВ+ВС+АС А

Page 3: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Две фигуры, в частности, два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением

∆ ABC = ∆ A1B1C1

A C

B

A1 C1

B1

Page 4: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника В равных

треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

C

B

A1 C1

B1

A

Page 5: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:1. Так как А = A1, то ∆ АВС можно наложить на ∆ A1B1C1 так, что вершина А совместится с вершиной А1.

A

C

B

A1B1

С1Дано: ∆ АВС и ∆ A1B1C1

АВ = A1B1, AC = A1С1, А = A1

Доказать: ∆ АВС = ∆ A1B1C1

2. Стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1.

3. Так как АВ = A1B1, то сторона АВ совместится со стороной A1B1.

4. Так как АС = A1С1, то сторона АС совместится со стороной A1С1.

5. Следовательно, совместились точки В и В1, С и С1, а значит и стороны ВС и В1С1.

6. Итак, ∆ АВС и ∆ A1B1C1 совместились полностью, а значит они равны

Page 6: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Дано: ∆ АВС и ∆ EDC AC = EC BC = DC

Доказать: ∆ АВС = ∆ EDC

A

B E

D

C Доказательство: 1) BC = DC по условию2) AC = EC по условию3) ВСА = DCE как

вертикальные∆ АВС = ∆ EDC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

Page 7: ЦОР  по теме: «Треугольники»

D

E C

K

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

∆ EDС = ∆ KDC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

Дано: ∆ EDС и ∆ KDC ED = KD EDC = KDC

Доказать: ∆ EDС = ∆ KDC

Доказательство: 1) ED = KD по условию2) EDC = KDC по

условию3) CD - общая

S

Page 8: ЦОР  по теме: «Треугольники»

∆ EDС = ∆ CFE по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенствоC

D

F

E

Дано: ∆ EDС и ∆ CFE ED = CF DEC = FCE

Доказать: ∆ EDС = ∆ CFE

Доказательство: 1) ED = CF по условию2) DEC = FCE по

условию3) CE - общая

S

Page 9: ЦОР  по теме: «Треугольники»

А

В

С

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой медианой

треугольникатреугольника.

В любом

треугольнике

медианымедианы пересекаются

в одной точке

Page 10: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется

В любом

треугольнике

биссектрисыбиссектрисы пересекаются

в одной точке

биссектрисой биссектрисой треугольникатреугольника.

А

В

С

Page 11: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется

А

В

С

высотой высотой треугольникатреугольника.В любом

треугольнике

высоты или высоты или их их

продолженияпродолжения пересекаются

в одной точке

Page 12: ЦОР  по теме: «Треугольники»

А

В

С

В любом

треугольнике

высоты или высоты или их их

продолженияпродолжения пересекаются

в одной точке

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой высотой

треугольникатреугольника.

Page 13: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется

равнобедренным, если его две

стороны равны

Основание

Бок

овая

сто

рона

Боковая сторона

Page 14: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Равносторонний треугольник

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

Page 15: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Свойство равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

2. ∆ АВD = ∆ АСD по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, АD – общая, 1 = = 2 , т.к. АD – биссектриса)

3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому В = С.

1 2

Дано: ∆ АВС - равнобедренный

АВ = AC

Доказать: В = С

А

В С

Доказательство:1. Пусть АD – биссектриса ∆ АВС.

D

S

Page 16: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Свойство равнобедренного треугольника:В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

1) Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и 3 = 4.

2) Т.к. BD = DC, значит D – середина BC => АD – медиана

3) Т.к. 3 = 4, а они смежные, значит они прямые => AD - высота

3 4

Дано: ∆ АВС - равнобедренный BC – основаниеАD – биссектриса

Доказать: 1) АD – медиана 2) AD - высота

А

В СДоказательство:

D

Page 17: ЦОР  по теме: «Треугольники»

ВысотаВысота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является

медианоймедианой и

биссектрисойбиссектрисой.

МедианаМедиана равнобедренного треугольника, проведённая к

основанию, является высотойвысотой

и биссектрисойбиссектрисой.

А

В СD

Page 18: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:1. Наложим ∆ АВС на ∆ A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1,сторона АВ – с A1B1, а вершины С и C1оказались по одну сторону от прямой A1B1.

AB

A1B1

Дано: ∆ АВС и ∆ A1B1C1

АВ = A1B1, А = A1, В = B1

Доказать: ∆ АВС = ∆ A1B1C1

2. Т.к. А = A1,то сторона АС наложится на луч A1C1.

3. Т.к. В = B1, то сторона ВС наложится на луч B1C1.

4. Вершина С окажется лежащей как на луче A1С1, так и на луче В1С1=> совместится с вершиной С1.

5. Значит, совместятся стороны АС и А1С1, ВС и В1С1.

6. Итак, ∆ АВС и ∆ A1B1C1 совместились полностью, а значит они равны

С1

C

Page 19: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:1 случай: луч СС1 проходит внутри A1C1B1.

Дано: ∆ АВС и ∆ A1B1C1 АВ = A1B1, ВС = В1С1, СА = С1А1,

Доказать: ∆ АВС = ∆ A1B1C1

2. Т.к. ВС = В1С1, АС = А1 С1 по условию, то ∆ A1C1С и ∆ B1C1С - равнобедренные 3. Т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то 1 = 2, 3 = 4, поэтому A1СВ1 = A1C1В1

4. Итак, АС = А1 С1, ВС = В1С1, С = C1 = > ∆ АВС = ∆ A1B1C1 по первому признаку равенства треугольников.

B1

(В)

А1

(А)С С1

21

3 4

Page 20: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Дано: ∆ MNP и ∆ RQP NP = QP MNP = RQP

Доказать: ∆MNP = ∆RQP

Доказательство: 1) NP = QP по условию2) MNP = RQPпо условию

3) NPM = QPR как вертикальные

4) ∆MNP = ∆RQP по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)

Q

N

MP

R

Page 21: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Дано: ∆ АВС и ∆ DBE AB = DB BAC = BDE

Доказать: ∆ АВС = ∆ DBE

Доказательство: 1) AB = DB по условию2) BAC = BDE по

условию3) ABC = DBE как вертикальные4) ∆ АВС = ∆ DBЕ по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)

A C

B

E D

Page 22: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Дано: ∆ АВС и ∆ DBC AB = DB AC = DC

Доказать: ∆ АВС = ∆ DBC

Доказательство: 1) AB = DB по условию2) AC = DC по условию3) BC - общая

4) ∆ АВС = ∆ DBC по трём сторонам (третий признак равенства треугольников)

A

CD

B

S

Page 23: ЦОР  по теме: «Треугольники»

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Дано: ∆ KLN и ∆ MNL KL = MN KN = ML

Доказать: ∆ KLN = ∆ MNL

Доказательство: 1) KL = MN по условию2) KN = ML по условию3) LN - общая

4) ∆ KLN = ∆ MNL по трём сторонам (третий признак равенства треугольников)

K N

L M

S