第三章 保险的数理基础

第三章 保险的数理基础

一、保险费率的构成与厘定原则 一、保险费率的构成与厘定原则

二、财产保险费率的厘定二、财产保险费率的厘定

三、人寿保险费率的厘定三、人寿保险费率的厘定

四、保险责任准备金的提存 四、保险责任准备金的提存

一、保险费率的构成与厘定原则

保险费保险费

纯保费

附加保费附加保费

赔付保险金赔付保险金

营业费用营业费用

营业利润营业利润

营业税营业税

被保险人或受益人

保险人

一、保险费率的构成与厘定原则

毛费率

纯费率

附加费率

营业费用率

营业利润率

营业税率

＝

＝

附加保费

保险金额

纯保费

保险金额

保险费率的厘定原则保险费率的厘定原则

充分性 充分性 公平性 公平性 合理性 合理性 稳定灵活 稳定灵活 促进防损 促进防损

二、保险费率的厘订方法

( 一 ) 观察法( 二 ) 分类法( 三 ) 增减法

观察法 根据业务的风险和业务员个人的经验，

可以根据具体情况单独制定，可反映个别危险的特性

但手续繁琐，承保人员的业务水平与被保险人的信用状况是决定因素

适合特别情况，如风险不稳定时——海上运输保险、航空保险，或卫星或核电站等缺少统计资料的情况下

分类法 根据风险特征，将性质一致的风险进行

归类，制定出分类费率（如美国以所在区域的消防级别来确定火灾保险的费率）

具有广泛适用性，但其精确度受风险分类是否适当和风险单位数量的多少的影响

一般在人寿险、火灾保险和意外险中应用

修正法 兼具判断法的灵活性与分类法的广泛适用性的双

重优点 在基本费率的基础上，或加或减个别危险状况 其实质是，在分类法的基础上，根据实际经验将

较粗的分类变细来确定 可根据同一分类的不同投保人使用变动费率 作用

一方面鼓励防灾防损 一方面保持公平，不会有超过或少于被保人应负担的

部分

表定法 客观标准，与实际比较后再调整 主要适用于性质较复杂的风险，如火灾保险 优点

适用于任何大小的风险和各类规模的投保单位 鼓励防灾防损

缺点 由于保险成本高，所以费率高 在实际中灵活性大，容易被业务员用以恶性竞争

经验法

据以往经验损失（过去三年的平均损失

）计算

主要用于主观因素较多，损失变动幅度

较大的风险，如公众责任险或汽车保险

追溯法

以保险期内保险标的的实际损失为基础

，即保费只有在保险期满时才真正知道

开始时以其他类型费率制定预缴保费，

待期满后调整

手续繁琐，只适用于规模极大的企业

第二节 财产保险费率的厘定

一、确定纯费率 二、确定附加费率 三、确定毛费率

一、确定纯费率 纯费率是纯保费占保险金

额的比率。它是用于补偿被保险人因保险事故造成保险标的损失的金额。其计算公式为：

纯费率＝保额损失率＋ ( － ) 均方差

1. 计算保额损失率2. 计算均方差3. 计算稳定系数4. 计算纯费率

确定纯费率

1. 计算保额损失率 保额损失率是赔偿金额占保

险金额的比率。其计算公式为： 保额损失率＝赔偿金额 / 保

险金额 ×1000‰ 但在许多情况下，若知各年

的保额损失率，则可计算平均保额损失率。

保险赔付率与保险（保额）损失率的区别

保险赔付率 ＝保险赔付／保费收入 针对保险公司而言

保险损失率 ＝保险赔款／保险金额 针对保险标的而言

年度（ 20×× ） 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

保额损失率 (xi) 6.1 5.7 5.4 6.4 5.8 6.3 6.0 6.2 5.9 6.2

设某保险公司过去 10 年保额损失率(‰) 统计资料如下：

若 以 x 表 示 平 均 保 额 损 失率， xi(i=1,2…,n) 表示不同时期的保额损失率， n 表示期限，则：

n xi

i=1

x ＝──＝ n 6.1‰+5.7‰+5.4‰+6.4‰+5.8‰+6.3‰+6.0‰

+6.2‰+5.9‰+6.2‰

───────────────────── 10 =6.0‰

2. 计算均方差（） 其计算公式为：

（ xi-x ） 2

＝──── n

年度 保额损失率xi

离差 (xi － x) 离差的平方（ xi － x ） 2

2001 6.1 ＋ 0.1 0.01

2002 5.7 － 0.3 0.09

2003 5.4 － 0.6 0.36

2004 6.4 ＋ 0.4 0.16

2005 5.8 － 0.2 0.04

2006 6.3 ＋ 0.3 0.09

2007 6.0 0 0

2008 6.2 ＋ 0.2 0.04

2009 5.9 － 0.1 0.01

2010 6.2 ＋ 0.2 0.04

6.0 ── 0.84

均方差计算表 （单位：‰ ）

则： 0.84 = ─── （‰ ） 10 =0.29‰

3. 计算稳定系数 V ＝─── X

纯费率与稳定系数 损失率 M· （ 1 ＋稳定系数 C ）， C=σ ／ μ ，

损失率由过去若干年数据计算出的算术平均数，但不稳定，可能与实际情况背离，因而需要稳定系数做相应调整。一般 C∈［ 10% ,20%］

即＝ M(1+C) ＝ M(1+σ ／ μ) ＝ M(1+σ ／ M)＝M＋ σ

σ 代表单个实际损失与其平均值的背离程度，即体现风险的大小，若不加 C ，则盈余与亏损的机率一致，加上，则可减少损失发生的机率。

3. 计算稳定系数

根据上述资料计算，计算结果为：

Vσ=0.29‰/6‰=4.833%

该结果为 4.833% ，远小于 10

％，说明保险经营稳定性很高。

4. 确定纯费率 计算公式为：纯费率＝保额损失率＋ ( － ) 均方

差

M±σ 置信度 68.27% 强制保险（保险的广泛性和连续性）

M±2σ 94.45% 自愿保险（防止逆选择）

M±3σ 99.73% 巨灾保险

4. 确定纯费率 对稳定系数低的，则稳定性高，附加的

上例中，由于稳定系数小于 10％，说明稳定性很高，是低风险的险种。所以：

纯费率＝ 6‰+0.29‰=6.29‰

二、确定附加费率 附加费率是附加保费与保险金额的比率。附加费率由费用率、营业税率和利润率构成。其计算公式为： 附加费率＝附加保费 / 保险金额 ×1000‰ 通常，附加费率可根据纯保费与附加保费的比例来确定，即： 附加费率＝纯费率 ×附加保费与纯保费的比例 其中，附加保费与纯保费的比例＝附加保费 / 纯保费 ×100％

确定附加费率

若根据上例，附加保费与纯保费的比例为 20％， 则附加费率＝ 6.29‰×20%=1.258‰

确定附加费率

附加费率由营业费率、营业税率、营业利润率构成。其中：营业费率＝营业费 / 保费收入营业税率＝营业税 / 保费收入营业利润率＝营业利润 / 保费收入

三、确定毛费率

毛费率＝纯费率＋附加费率

三、确定毛费率

若根据上例， 毛费率＝ 6.29‰+1.258‰=7.548‰

第三节 人寿保险费率的厘定第三节 人寿保险费率的厘定

一、人寿保险费的构成及性质

二、保险费计算的基本原则

三、寿险保费的分类

四、人寿保险费的计算依据

五、人寿保险纯保费的计算

六、人寿保险营业保费的计算

一、人寿保险费的构成

人寿保险费由两部分构成：纯保险费 (Net Premium) 和附加保费 (Loading) 。又称营业保费。•前者用于保险金的给付；•后者用于保险公司业务经营费用的开支，二者的总和就是营业保险费 (Office Premium ) ，亦称毛保费 (Gross Premium) 。其计算公式为：

毛保费 = 纯保费 + 附加保费

一、人寿保险费的构成

纯保费以预定死亡率和预定利率为基础所计算，是保险金给付的来源，纯保险费总额与保险金给付总额达到平衡； 附加保费用于保险经营过程中的一切费用开支。由于寿险期限较长，它的费用比较复杂，有些费用只在保单第一年存在，有些费用分摊于保险的整个期间；有些费用可表示为固定常数，而有些费用表示为保费或保额的一定比例。 营业保费是保险经营过程中实际收取的保险费。

二、保险费计算的基本原则

确定人身保险费的基本原则，就是保险双方当事人权利与义务对等的原则，即保险人在保险有效期内承担的各项给付义务与保险人在保险有效期内收取保险费的权利相对等。

寿险保费计算的基本原则是：收支平衡原则。

二、保险费计算的基本原则

•寿险保费收支平衡原则中： 从保险人看： “收”指保险人收取的保费总额， “ 支”指保险人的保险金给付和支出的各项经营费用。 收与支应平衡。 从投保人看： 其支出保费总额应与收到的保额或安全保障或获得的服务平衡。

二、保险费计算的基本原则

•收支平衡原则可描述 :

保险费的精算现值＝保险金额的精算现值 + 各项业务费用的精算现值

二、保险费计算的基本原则

进一步，保险费精算现值为纯保费精算现值与附加保费精算现值之和，从而可得： 纯保费精算现值 + 附加保费精算现值＝保险金的精算现值 + 各项业务费用精算现值 据此情形，可分别计算纯保费和附加保费。亦即 : 纯保费精算现值＝保险金精算现值； 附加保费精算现值＝各项业务费用精算现值

三、人寿保险费的分类

1. 自然纯保费与均衡纯保费 这是按费计算方法进行的分类2. 趸缴纯保费与年缴纯保费 这是按缴费方法进行的分类3. 纯保险费和附加保费 这是按保险费所含成份进行的分类

趸缴纯保费与年缴纯保费

• 趸缴纯保费是在投保之日一次性缴清的趸交毛保费中扣除附加保费后的剩余部分。• 年缴纯保费是自投保之日分若干次缴清的年交毛保费中扣除附加保费后的剩余部分。

自然纯保费与均衡纯保费自然纯保费与均衡纯保费

年龄年龄

均衡纯保费

自然纯保费保 保 费费

0

E

3.3. 纯保险费和附加保费纯保险费和附加保费 这是按保险费所含成份进行这是按保险费所含成份进行的分类的分类

四、人寿保险费的计算依据

•预定死亡率 •预定利息率 •预定费用率

寿险纯保费的计算依据

(( 一一 )) 生命表 生命表 (( 二二 )) 利息利息

(( 一一 )) 生命表生命表

1. 生命表的概念和种类 2. 生命表的选用 3. 生命表的结构 4. 生命表中各项生命函数的关系

1. 生命表的概念和种类

(1) 生命表的概念 (2) 生命表的分类

生命表的概念

生命表又称死亡表 ，或寿命表，是根据一定时期的特定国家( 或地区 ) 或特定人口群体 ( 如寿险公司的全体被保险人 ) 的有关生命统计资料，经整理、计算编制而成的统计表。

生命表的分类

• 国民生命表和经验生命表 • 完全生命表和简易生命表 • 选择表、终极表和综合表 • 寿险生命表与年金生命表

3. 生命表的结构 x ：年龄。生命表的年龄自 0 岁起每岁为一组。自出生时算起，一直到最高龄，即极限年龄，极限年龄一般用 w 表示。lx ： x 岁的人在年初的生存人数。在生命表中，在 0 岁年初的人数一般假定为 100000 人，即 l0=100000 人。 dx ： x 岁的人在年内死亡的人数，即 x 岁至 x+1 岁的年龄间死亡人数。如 d5 表示 5 岁至 6 岁的年龄间死亡人数。

px ： x 岁的人在一年间的生存率，即 x 岁的人生存至 x+1 岁的概率。 qx ： x 岁的人在一年间的死亡率 , 即 x 岁的人在一年内死亡( 即死于 x+1 岁间 ) 的概率。 平均余命。即 x 岁的全体人口平均计算可期望生存的“余年”，即仍可继续生存的岁数。对年龄 0 岁的平均余命为平均寿命。

4. 生命表中各项生命函数的关系 (1)x 岁的人年初生存人数 (lx) 与年内的死亡人数 (dx) 的差额为次年初 (x+1) 岁的生存人数 : lx-dx =lx+1 上式可以变换为： dx = lx-lx+1 即 x 岁的人年内死亡人数等于 x 岁的人年初生存人数与次年初尚存活的人数的差额。 (2)连续数年死亡人数之和等于第一年初生存人数和最后一年初生存人数的差额。计算公式如下： dx+dx+1+dx+2+…+dx+n-1=lx-lx+n

4. 生命表中各项生命函数的关系 (3)生存率是指次年初生存人数 (lx+1)与年初生存人数 (lx) 之比。计算公式：px=lx+1/lx

这是 x 岁的人存活到 x+1 岁的生存率，如果计算 x 岁的人存活到 x+n岁的生存率，计算

公式： npx=lx+n/lx

(4)死亡率是指年内死亡的人数 (dx)与年初生存人数 (l x) 之比。 qx=dx/lx=(lx-lx+1)/lx 这是 x 岁的人一年间的死亡率，如果计算 x 岁的人在 n 年间的死亡率，则计算公式如下： nqx =(lx - lx+n)/ lx

( 二 ) 利息 利息是货币的时间价值，即一定量的本金通过投资行为产生的收益。计算利息有三个基本要素 : 本金、利率和期间。利息率的计算方法 有 单 利 (Simple interest) 和 复 利(Compound interest) 两种计息方法。 1.单利和复利 2.终值和现值 3.确定年金

单利 单利就是仅用本金计算利息的方法。若以 P 表示本金， i 表示利率， n 表示计算期数， I 表示利息额，S 表示本利和 ( 即本金和利息之和 ) ，则它们之间有如下关系 : I=P×n×i S=P+I=P+P×n×i=P(l+n×i)

单利 例 1 ：本金 1000元，年利率 5%，时期 3 年 , 求利息。 代入公式 I=1000×5%×3=150(元 ) 例 2 ：本金 100 元，年利率 6% ，时期 5 年。求本利和。 代入公式 S=100(1+6%×5) =130(元 )

复利 复利的计算是对本金及其所生的利息一并计息，也就是利上有利。若以 P 表示本金，i 表示利率， n 表示计算期数， I 表示利息额， S 表示本金与利息之和，则以复利计算的本利和及利息为 :

S=P(1+i)n

I=P(1+i)n － P ＝ P×[(1+i)n

－ 1]

复利 例如，年初将本金 1000元存入银行，年利率 5%，存期 3 年，则用复利计算本利和 为 ： S=1000×(1+5%)3=1157.63( 元 ) 若 P=1，则得一般公式： S=(1+i)n 根据公式可以求出复利的利息额： I=(1+i)n-1 根据公式可以求出本金， P=S/(1+i)n 若 S=1，则： P=1/(1+i)n

终值终值 终值是本利和。 S=P(1+i)n

复利终值表 (1+i)n

年利率 i 年数 n

5% 6% 7% 8%

1 1.050000 1.060000 1.070000 1.080000  

2 1.102500 1.123600 1.449000 1.166400  

3 1.157625 1.191016 1.225043 1.259712  

4 1.215506 1.262477 1.310796 1.360489  

5 1.276281 1.338226 1.402552 1.469328  

6 1.340095 1.418519 1.500730 1.586874  

7 1.407100 1.503630 1.605781 1.713824  

8 1.477454 1.593848 1.718186 1.850930  

9 1.551327 1.689479 1.838459 1.999005  

10 1.628893 1.790848 1.967151 2.158925  

11 1.710338 1.898299 2.104852 2.331639  

现值 现值就是按某种利率及生息时间计算的，在未来某一时刻要积累终值一元而现在所需要的货币量。即现在需要多少本金，将来加上利息才能积累一元的终值。故现值即本金。 从： P=1/(1+i)n ，如果用v 代表现值 1/(1+i)，则得公式：

vn =1/(1+i)n

复利现值表 1/(1+i)n

年利率i年数 n

5% 6% 7% 8%

1 0.952381 0.943396 0.934579 0.925926

2 0.907030 0.889996 0.873439 0.857339

3 0.863838 0.839619 0.816298 0.793832

4 0.822703 0.792094 0.762895 0.735030

5 0.783527 0.747258 0.712986 0.680583

6 0.746216 0.704960 0.666342 0.630170

7 0.710682 0.665057 0.622750 0.583490

8 0.676840 0.627412 0.582009 0.540269

9 0.644610 0.591898 0.543934 0.500249

10 0.613914 0.558394 0.508349 0.463193

11 0.584680 0.526787 0.475093 0.428883

确定年金 年金是在一定时间内按照一定的时间间隔有规则地收或付的款项。年金按支付条件分为确定年金和生命年金。 确定年金是支付有确定起讫时期的年金，又称生存年金； 生命年金是年金的支付依死亡或生存事件是否发生的年金，即与收款人生命有关的年金。 年金还可按每期年金支付的时间划分，可分为期首付年金和期末付年金； 按年金的期数划分，可分为定期年金和终身年金； 按每期年金支付额有无变化划分，可分为定额年金和变额年金；

五、人寿保险纯保费的计算

(( 一一 )) 趸缴纯保险费的计趸缴纯保险费的计算算 (( 二二 )) 年缴纯保险费的计年缴纯保险费的计算算

( 一 ) 趸缴纯保险费的计算

趸缴纯保险费是在长期寿险合同签订时投保人将保险期间应缴付保险人的纯保险费一次全部缴清。

1.定期生存保险趸缴纯保险费的计算

2.定期死亡保险的趸缴纯保险的计算

3.定期两全保险的趸缴纯保费的计算

定期生存保险趸缴纯保费的计算

xnxn

nxllvA /.1

:

定期生存保险趸缴纯保费的计算举例

若 35 岁的 972396 人，投保 5 年期生存保险，保险金额 100000元。求投保人每人应趸缴纯保险费。 (1) 查《生命表》，领取保险金的人数l4090352 人。 （ 2) 按年利率 i=5% ，查现值表 v5 为0.783527 ，代入公式

定期死亡保险趸缴纯保费的计算

xn

nxxxnx lvdvdvdA /)......( 12

1:1

定期死亡保险趸缴纯保费的计算举例

若 35 岁的 972396 人，投保 5 年期死亡保险，保险金额 100000 元 ,预定利率为 5 ％。求投保人每人应趸缴纯保险费。

死亡保险趸缴纯保费的计算表 (i=5%）

x

(1)

dx vx-35+1 (2)×(3)/l35(4) ×100000

35 1028 0.952381 0.0010068 100.68

36 1113 0.907030 0.0010382 103.82

37 1212 0.863838 0.0010767 107.67

38 1324 0.822703 0.0011202 112.02

39 1449 0.783527 0.0011676 116.76

合计 － － 0.0054095 540.95

(2) (3) (4) (5)

两全保险趸缴纯保费的计算

（元）.12784000.0054095)(0.7785917100000100000

:

nxA

（二）年缴纯保费的计算

年缴纯保费＝趸缴纯保费 /保费缴付 1 元期首付年金的现值

六、营业保费的计算

1. 比例法2.常数法3. 比例常数法4. 三元素法

第四节 保险责任准备金的提存

一、保险责任准备金的含义与类型

二、非寿险责任准备金的提存

三、寿险责任准备金的提存

一、保险责任准备金的含义与类型

（一）保险责任准备金的含义 保险的责任准备金是保险公司按法律

规定为在保险合同有效期内履行赔付保险金义务而将保险费予以提存的各种金额。

保险责任准备金的类型 寿险责任 未到期责任 准备金 准备金 保险保障保险责任 基金准备金 未到期责任 准备金 非寿险 未决赔款 任准备金 准备金 保险保障 基金

二、非寿险责任准备金

（一）未到期责任准备金

（二）未决赔款准备金 （三）保险保障基金

（一）未到期责任准备金

1.未到期责任准备金的含义2.未到期责任准备金的提存

1.未到期责任准备金的含义

未到期责任准备金是会计年度决算时对未满期保单的保险费所提存的准备金。

（二）未到期责任准备金的提存方法

1. 年平均估算法 2.季平均估算法 3.月平均估算法 4. 日平均估算法

1. 年平均估算法。又称 50％估算法， 1/2法。 未到期责任准备金 = 当年自留保险费总额 ×50

％ 上式中， 自留保险费＝全年保费收入＋分入保费－分出保

费

2.季平均估算法。又称 8 分法。 若以 An表示某季度的自留保险费； Pn表示某季度的未到期责任准备金； n 表示某季度， n=1,2,3,4； (2n-1)/8表示未到期责任准备金时间系数； P 表示全年未到期责任准备金，则：

Pn＝ An×(2n-1)/8则 P ＝ P1 ＋ P2 ＋ P3 ＋P4

3.月平均估算法。又称 24 分法 若以 An表示某月的自留保险费； Pn表示某月度的未到

期责任准备金； n 表示某月度， n=1,2,3,4，…… 12； (2n-1)/24表示未到期责任准备金时间系数； P 表示全年未到期责任准备金，则：

Pn ＝ An×(2n-1)/24则 P ＝ P1 ＋ P2 ＋ P3 ＋…＋ P12

4. 日平均估算法 若以 An 表示某日的自留保险费； Pn 表

示某日的未到期责任准备金； n 表示某日，n=1,2,3,4 ，…… 365 ； (2n-1)/730表示未到期责任准备金时间系数； P 表示全年未到期责任准备金，则其计算公式为： Pn ＝ An×(2n-1)/730

则 P ＝ P1＋ P2＋ P3＋…＋

P365

4. 日平均估算法 该方法较月平均估算法更精确 , 但

计算工作量非常大。故常采用简化的近似计算公式： 未到期责任准备金＝有效保单保未到期责任准备金＝有效保单保

费费 ××未到期天数未到期天数 // 保险期天数保险期天数

（二）未决赔款准备金（二）未决赔款准备金

1.未决赔款准备金的含义2.未决赔款准备金的提存方法

1.未决赔款准备金的含义

也称赔款准备金，是在会计年度决

算以前发生保险事故但尚未决定赔付或应付而未付赔款，而从当年的保险费收入中提存的准备金。

2.2.未决赔款准备金的提存方法未决赔款准备金的提存方法

(1)逐案估计法 (2)平均值估计法 (3)赔付率法

( 三）保险保障基金

保险保障基金是指为防止保险金赔付危机而从保费中提留的，用于救助保单持有人、保单受让公司或者处置保险业风险的非政府性行业风险救助基金。

三、寿险责任准备金

(( 一 ) 寿险责任准备金的类型 ( 二 ) 提存责任准备金的方式 ( 三 ) 寿险责任准备金的计算

寿险责任准备金的类型寿险责任准备金的类型

未到期责任准备金

寿险责任 准备金 保险保障基金

( 二 ) 提存责任准备金的方式

理论责任准备金提取法

修正责任准备金提取法

(( 三三 )) 寿险责任准备金的计算寿险责任准备金的计算

1.理论责任准备金的计算 2.实际责任准备金的计算

1. 理论责任准备金的计算

(1)追溯法 (2)预期法

2.2. 实际责任准备金的计算实际责任准备金的计算

(1)修正法

(2)FPT法