ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО
DESCRIPTION
ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО. ШКОЛСКА 2011/12. ГОДИНА ПРОЛЕЋНИ СЕМЕСТАР НАСТАВНИ ПРЕДМЕТ: КВАНТИТАТИВНЕ МЕТОДЕ ТЕМА 3. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАЧУН ВАЉЕВО, 20.0 2 .2012. НАСТАВНА ТЕМА 3. ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ. ПРИМЕНА ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ: МОНОТОНОСТ И ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ И. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/1.jpg)
ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА
ВАЉЕВО
ШКОЛСКА 2011/12. ГОДИНАПРОЛЕЋНИ СЕМЕСТАР
НАСТАВНИ ПРЕДМЕТ:КВАНТИТАТИВНЕ МЕТОДЕ
ТЕМА 3.ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАЧУН
ВАЉЕВО, 20.02.2012.
![Page 2: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/2.jpg)
НАСТАВНА ТЕМА 3.
ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ.
ПРИМЕНА ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ:
МОНОТОНОСТ И ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ И
![Page 3: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/3.jpg)
1.1. ПРИРАШТАЈ ФУНКЦИЈЕ
х
у
y = f(x)
a а+ΔxΔx
f(a)
f(а+Δx)
y y
Δx
Прираштај аргумента (у ознаци х) је вредност за коју се повећа аргумент (независно променљива х).
Прираштај функције(у ознаци у) је вредност за коју се промени вредност функције док се аргумент повећа за х.
![Page 4: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/4.jpg)
1.2. ПОЈАМ ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ
Ако постоји (коначна) гранична вредност
онда кажемо да је функција f диференцијабилна у тачки хо, а добијену граничну вредност називао изводом функције f у тачки хо и означавамо
0x0x
oo
x)x(f)xx(f
limxy
lim
0x
oooo x
)x(f)xx(flim)x`(f)x`(y
![Page 5: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/5.jpg)
1.2. ПОЈАМ ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ
Пример 1: Одредити по дефиницији извод следећих функција:
xeyc
xyb
xya
)
)
) 2
![Page 6: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/6.jpg)
1.3. ТАБЛИЧНИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈА
f (x) f ’(x)
1. C 0
2. xn nxn-1
3. ln x 1/x
4. ex ex
5. sin x cos x
6. cos x - sin x
![Page 7: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/7.jpg)
f (x) f ’(x)
7. tgx
8. ctgx
9. log a x
10. ax ax lna
Oстали таблични изводи се могу наћи коришћењем следећег линка
x2cos
1
x2sin
1
ax ln
1
![Page 8: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/8.jpg)
1.6. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦИРАЊА
Ако су f (х) и g(х) диференцијабилне функције у тачки х и ако су f ’(х) и g’(х) изводи датих функција, онда је:
)0)x(g())x(g(
)x('g)x(f)x(g)x('f)x(g)x(f
)e
)x('g)x(f)x(g)x('f))'x(g)x(f()d
y)x('g)x('f))'x(g)x(f()c
)x('g)x('f))'x(g)x(f()b
)0c()x('fc)')x(fc()a
2
'
![Page 9: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/9.jpg)
1.6. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦИРАЊА
Пример 2: Одредити изводе следећих функција:
1x1x
y)d
exy)c
xlnxy)b
e15xy)a
x2
3 4
x10
![Page 10: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/10.jpg)
1.7. ИЗВОД СЛОЖЕНЕ ФУНКЦИЈЕ
Ако је у сложена функција, тј. у = f(g(x)), тада је y’x = f ’g · g’x .
Пример 3: Одредити изводе следећих
функција:
6x5x
1xlny)d
x1x
y)c
ey)b)1xx(y)a
2
32
x5x20052 3
![Page 11: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/11.jpg)
1.8. ДОМАЋИ ЗАДАТАК
Одредити изводе следећих функција:
x
xxyh
e
xyg
x
xyfexye
xxydxxyc
xxybexya
x
x
x
sin
ln))
1
1))
cos)sin6)
ln43)15)
2
2
3 4
710
![Page 12: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/12.jpg)
1.8. ДОМАЋИ ЗАДАТАК
Одредити изводе следећих функција:
23
32ln))
)43sin())154()
234 567
41023
x
xydeyc
xxybxxya
xxx
![Page 13: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/13.jpg)
1.9. ПОЈАМ ДИФЕРЕНЦИЈАЛА ФУНКЦИЈЕ
Ако је функција у = f(x) диференцијабилна у тачки а, онда се линерана функција f ’(а)·(х – а) = f ’(a)x назива диференцијалом функције f(x) у тачки а и обележава
dy = df(x) = f ’(a)x, тј.
dy = df(x) = f ’(a)dx, или
)(xfdx
dy
![Page 14: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/14.jpg)
1.10. ГЕОМЕТРИЈСКО ТУМАЧЕЊЕ ИЗВОДА И ДИФЕРЕНЦИЈАЛА
х
у
y = f(x)
a а+ΔxΔx
f(a)
f(а+Δx)
yy
Δxdy
![Page 15: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/15.jpg)
Пример 4: Одредити диференцијал следећих функција:
1
1)
)
sin)
735)
2
2
3
56
x
xyd
exyc
xxyb
xxxya
x
![Page 16: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/16.jpg)
ПРИМЕНА ДИФЕРЕНЦИЈАЛА
Како је
то је .
Пример 5.
Користећи чињеницу да је f(x) = f ’(x) = ex, као
и једнакост eo = 1, израчунати е0,2.
)()()(
000 xf
xΔ
xfxΔxf
xΔxfxfxΔxf )()()( 000
![Page 17: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/17.jpg)
1.11. ИЗВОДИ ВИШЕГ РЕДА
Нека је дата функција у = f(x) која има извод y’= f ’(x).
Извод дате функције је такође функција y’= f ’(x). Извод дате функције може имати свој извод који
се назива други извод функције и симболички означава са
Други извод функције се може написати и помоћу диференцијала функције другог реда, тј.
)(2
2xf
dx
dyd
dx
yd
)()( xfxfy
![Page 18: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/18.jpg)
Пример 6: Одредити други извод следећих функција:
)5(sin)
1
1)
cos)
ln)
765)
2
34
xye
x
xyd
xxeyc
xxyb
xxxya
x
![Page 19: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/19.jpg)
1.12. ИЗВОДИ ВИШЕГ РЕДА
Ако се поступак ’’извођења’’ настави, тј. ако се израчуна извод другог извода функције у = f(x) која има први извод y’= f ’(x) и други извод y’’= f ’’(x), онда се добија трећи извод функције
Изложени поступак се може наставити до добијања п – тог извода функције при чему је
')()()( xfxfxfy
')()()( xfxfxfy
)()( )1()()( xfxfy nnn
![Page 20: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/20.jpg)
Пример 7: Одредити трећи и четврти извод следећих функција:
Пример 8: Одредити п-ти извод следећих функција:
xxyc
exyb
xxxxyax
cossin)
)
432)8
234
xyc
eyb
xyax
n
sin)
)
)
![Page 21: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/21.jpg)
1.13. МОНОТОНОСТ ФУНКЦИЈЕ
Нека је у = f(х) реална функција која на интервалу (а, b) има коначан или бесконачан први извод. Да би функција у = f(х) на интервалу (а, b) била
* растућа довољно да у свакој тачки интервала (а, b) буде f `(х) >0 ;
* опадајућа довољно да у свакој тачки интервала (а, b) буде f `(х) < 0 ;
Пример 1: Функције у = 5х + 7 и у = х3 + 8 су монотоно растуће.
Пример 2: Функције у = - 3х + 5 и у = 1/х су монотоно опадајуће.
![Page 22: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/22.jpg)
1.14. ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА
Тачка х = а се назива стационарном тачком функције f (х) ако је f `(а) = 0.
Потребан услов да функција f (х) у тачки а има локални екстремум (минимум или максимим) је да је f `(а) = 0.
Тачка х = а је тачка локалног максимума функције f (х) ако је f `(а) = 0 и ако је функција f (х) лево од тачке а монотоно растућа, а десно од тачке а монотоно опдајућа.
Тачка х = а је тачка локалног минимума функције f (х) ако је f `(а) = 0 и ако је функција f (х) лево од тачке а монотоно опадајућа, а десно од тачке а монотоно растућа.
![Page 23: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/23.jpg)
Пример 9. Одредити монотоност и екстремне вредности функција:
а) у = 17
b) y = 4x - 12
c) y = -15x + 6
d) y = x2 - 5
e) y = - x2 + 6x - 8
f) y = x3 – 3х
![Page 24: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/24.jpg)
ПРИМЕНА
Пример 10.
Добит фабрике аутомобила моделирана је функцијом у = – 0,8х2 + 128х - 100, где је х број произведених аутомобила (у хиљадама комада), а у добит у милионима динара. Када је добит највећа?
Пример 11.
Функција укупних трошкова фабрике хемијских оловки моделирана је функцијом у = ех(х – 4) + 84, где је х број произведених контејнера хемијских оловки, а у укупни трошкови у милионима динара. Када су укупни трошкови најмањи?
![Page 25: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/25.jpg)
1.15. КОНВЕКСНОСТ ФУНКЦИЈЕ
Нека је у = f(х) реална функција која је на интервалу (а, b) два пута диференцијабилна
Ако је за свако х из интервала (а, b) f ``(х) > 0, онда је функција f(х) је на интервалу (а, b) конвексна
Ако је за свако х из интервала (а, b) f ``(х) < 0, онда је функција f(х) је на интервалу (а, b) конкавна
Ако је у тачки а f ``(а) = 0 и ако у тачки а f```(х) мења знак, онда је (а, f(a)) превојна тачка функције f (х).
![Page 26: ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813637550346895d9db1e1/html5/thumbnails/26.jpg)
Пример 11: Одредити конвексност и превојне тачке следећих функција:
a) у = 2005 b) y = x + 2 c) y = x2 – 8x + 12 d) y = x3 - 3x e) y = x4 + 1
e)2x1x
y