Пифагоровы Пифагоровы тройкитройки

Работу выполнили Работу выполнили ученики 8 «А» классаученики 8 «А» классаПетросян Арнольд,Петросян Арнольд,

Романец АнтонРоманец Антон

NEXT→

Немного из историиНемного из истории

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

NEXT→

Пифагоровы тройки

NEXT→

По открытой еще древними математиками истине, данные По открытой еще древними математиками истине, данные числа удовлетворяют диофантову уравнению. числа удовлетворяют диофантову уравнению. x2 + y2 = z2x2 + y2 = z2 Таковы, например: x = 3 , y = 4 , z = 5 или x = 5, y = 12 , z = 13 Таковы, например: x = 3 , y = 4 , z = 5 или x = 5, y = 12 , z = 13 . Все тройки взаимно простых Пифагоровых чисел можно . Все тройки взаимно простых Пифагоровых чисел можно получить изполучить из аналитических формул: x = u2 – v2 , y = 2uv , аналитических формул: x = u2 – v2 , y = 2uv , z = u2 + v2 , z = u2 + v2 , где u и v принадлежат натуральному ряду, u > v > 0где u и v принадлежат натуральному ряду, u > v > 0 Если u и v взаимно простые, то сумма их квадратов Если u и v взаимно простые, то сумма их квадратов образует особую группу целых положительных чисел z . образует особую группу целых положительных чисел z . Например, 22 + 12 = 5 , 32 + 12 = 10 , 32 + 22 = 13 и так далее. Например, 22 + 12 = 5 , 32 + 12 = 10 , 32 + 22 = 13 и так далее. Предположительная особенность такова. Если n = 1, 2, 3, …,Предположительная особенность такова. Если n = 1, 2, 3, …,

Пифагоровы тройки

Однозначно существует только при упомянутых выше значениях Однозначно существует только при упомянутых выше значениях z . Если это действительно так, то Пифагоровы тройки являются z . Если это действительно так, то Пифагоровы тройки являются частными решениями соотношения (3). Из сказанного следует, что частными решениями соотношения (3). Из сказанного следует, что скорее всего нет ни одного целочисленного тождества для x2 + y2 скорее всего нет ни одного целочисленного тождества для x2 + y2 = 6n , но зато существует хотя бы один набор x , y , n при котором = 6n , но зато существует хотя бы один набор x , y , n при котором реализуется уравнение x2 + y2 = 5n Например: 72 + 242 = 54 ; реализуется уравнение x2 + y2 = 5n Например: 72 + 242 = 54 ; 26422 + 64692=511.26422 + 64692=511. Подчеркнутый вариант – это первая Пифагорова тройка. Подчеркнутый вариант – это первая Пифагорова тройка. Наверное, достаточно лишь понять законы изменения Наверное, достаточно лишь понять законы изменения последовательностей чисел x и y , чтобы найти общий метод последовательностей чисел x и y , чтобы найти общий метод поиска остальных троек чисел.поиска остальных троек чисел. Приведем еще несколько результатов:Приведем еще несколько результатов: 12+ 32 = 101 ; 12+ 32 = 101 ; 62+ 82 = 10262+ 82 = 102 ; 182 + 262 = 103; ; 182 + 262 = 103; 282 + 962 = 104 ; 122 + 3162 = 105 ; 3522 + 9362 = 106.282 + 962 = 104 ; 122 + 3162 = 105 ; 3522 + 9362 = 106. Выражение (3) перепишем в виде:x2 + y2 = (u2 + v2)n , ( 4 )Выражение (3) перепишем в виде:x2 + y2 = (u2 + v2)n , ( 4 )где значения u и v - такие же, как и в (2).где значения u и v - такие же, как и в (2).

NEXT→

Таблица Паскаля

Сначала построим своеобразную Таблицу Паскаля, позволяющую не Сначала построим своеобразную Таблицу Паскаля, позволяющую не только получать биноминальные коэффициенты, но и определять только получать биноминальные коэффициенты, но и определять знаки перед ними:знаки перед ними:

NEXT→

1. Если показатель степени n - число нечетное, то достаточно 1. Если показатель степени n - число нечетное, то достаточно получить выражение только для x , а уж y формируется путем получить выражение только для x , а уж y формируется путем формальной замены u на v и v на u .Итак, пусть n = 7. формальной замены u на v и v на u .Итак, пусть n = 7. Находим по таблице нужную строку. Биноминальные коэффициенты: Находим по таблице нужную строку. Биноминальные коэффициенты: 1 , - 7 , - 21 , 35 , 35 , - 21 , - 7 , 1 . Знаки перед числами зависят 1 , - 7 , - 21 , 35 , 35 , - 21 , - 7 , 1 . Знаки перед числами зависят от цвета поля, где они находятся. Если цвет малиновый, то ставится от цвета поля, где они находятся. Если цвет малиновый, то ставится плюс, если же голубой, то минус. Для формирования x и y плюс, если же голубой, то минус. Для формирования x и y потребуется лишь половина этих цифр:потребуется лишь половина этих цифр: x = | u7 – 7 v6 u – 21 u5 v2 + 35 v4 u3 |x = | u7 – 7 v6 u – 21 u5 v2 + 35 v4 u3 | Если отказаться от модуля, то может получиться отрицательное Если отказаться от модуля, то может получиться отрицательное значение x , что тоже, однако, является решением. Здесь многочлен значение x , что тоже, однако, является решением. Здесь многочлен всегда начинается с un . Затем во втором слагаемом появляется всегда начинается с un . Затем во втором слагаемом появляется vn-1 , в третьем un-2 и так далее. Начиная со второго члена vn-1 , в третьем un-2 и так далее. Начиная со второго члена приписывается сомножитель-дополнение. Сумма их показателей приписывается сомножитель-дополнение. Сумма их показателей степени всегда равна n .степени всегда равна n . ( например, 6 + 1 = 7, 5 + 2 = 7 и так далее).( например, 6 + 1 = 7, 5 + 2 = 7 и так далее). Параметр y по структуре такой же, как (5) :Параметр y по структуре такой же, как (5) : y = | v7 – 7 u6 v – 21 v5 u2 + 35 u4 v3 |y = | v7 – 7 u6 v – 21 v5 u2 + 35 u4 v3 |

Таблица Паскаля

NEXT→

Свойство

Поскольку уравнение xПоскольку уравнение x2 2 + y+ y22 = z = z22 однородно, при домножении x, однородно, при домножении x, y и z на одно и то же y и z на одно и то же x, y, zx, y, z число получится другая число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть — взаимно простые числа.способом, то есть — взаимно простые числа.

Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть таким, у которого все треугольник является героновым, то есть таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (3из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (322 + 4 + 42 2

= 5= 522).).

NEXT→

Примеры Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):максимального числа, выделены примитивные): (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9,40,41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9,40,41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)……

NEXT→

КонецКонец