第二章 单相正弦交流电路

2.1 正弦交流电路的基本概念

2.3 单一参数的正弦交流电路2.4 RLC 串联交流电路

正弦交流量的相量表示2.2

2. 5 RLC 并联交流电路

正弦交流电基本概念正弦交流电基本概念•教学目的：了解正弦交流电的概念，掌握正弦交流电的三要素、有效值。

•教学安排：(1) 旧课复习（ 5分钟）(2) 新课讲解（ 80 分钟）(3) 新课小结（ 5分钟）•作业：课本习题

交流电的概念 如果电流或电压每经过一定时间 （ T ）就重复变化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。 记做： u(t) = u(t + T )

T

u

t

u

T

t

2.1 正弦交流电的基本概念

如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。

正弦交流电路

正弦交流电的优越性：

便于传输、分配和使用；

有利于电器设备的运行和维护；

. . . . .

正弦交流电也有正方向 , 一般按正半周的方向假设。

交流电路进行计算时，首先也要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。

实际方向和假设方向一致

实际方向和假设方向相反

t

i

正弦交流电的方向

i

u R

正弦波的特征量

tIi m sin

t

i

t mI

： 电流幅值（最大值）

： 角频率（弧度 / 秒）

： 初相角

mI

特征量 :

tIi m sin

为正弦电流的最大值mI

正弦波特征量之一 -- 幅度

在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表

指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值

。标准电压 220V ，也是指供电电压的有效值。

最大值

电量名称必须大

写 , 下标加 m 。如： Um 、 Im

则有 Tdti

TI

0

21 （均方根值）

可得 2mII 当 时， tIi m sin

dtRiT 2

0交流 直流

RTI 2

热效应相当

电量必须大写如： U 、 I

有效值有效值概

念

问题与讨论

电器~ 220V最高耐压 =300V

若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上 ?

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。

2

有效值 U = 220V

最大值 Um = 220V = 311V

电源电压

描述变化周期的几种方法

1. 周期 T ： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒 ..

Tf

1 f

T 2

2

正弦波特征量之二 -- 角频率

3. 角频率 ω ： 每秒变化的弧度 单位：弧度 / 秒

2. 频率 f ： 每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹 ...

i

t T

* 电网频率： 中国 50 Hz

美国 、日本 60 Hz

小常识

* 有线通讯频率： 300 - 5000 Hz

* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz

tIi sin2正弦波特征量之三 -- 初相位

： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。

说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。

i

t

）（ t ：正弦波的相位角或相位

例

幅度： A707.02

1A 1 IIm

301000sin ti已知：

Hz1592

1000

2

rad/s 1000

f

频率：

30 初相位：

1212 tt

两个同频率正弦量间的相位差 ( 初相差 )

222

111

sin

sin

tIi

tIi

m

m

12

2i1i

t

两种正弦信号的相位关系

同相位 1i

12 21

t

2i

021

落后于 2i1i2i t1

相位落后

2

1i

2i相位领先

1i

12

021

领先于1i 2it

三相交流电路：三种电压初相位各差 120

。

Bu CuAu

t

可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。

222

111

sin2

sin2

tUu

tUu如：

结论 : 因角频率（）不变，所以以下讨论同频率正弦波时， 可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。

tU

tUtU

uuu

sin2

sin2 sin2 2211

21

幅度、相位变化频率不变

2.2 2.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法•教学目的：让学生掌握正弦量的相量表示法和相量运算；纯电感电路的电压和电流及功率关系。

•教学安排：(1) 旧课复习（ 5分钟）(2) 新课讲解（ 80 分钟）(3) 新课小结（ 5分钟）•作业：课本习题

正弦波的相量表示方法

瞬时值表达式 301000sin ti 相量 必须

小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

波形图i

t

正弦波的表示方法：

重点

IU 、 3. 相量符号 包含幅度与相位信息。

有效值

1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor ) 。若其

幅度用最大值表示 ，则用符号： mm IU 、

mU

U

最大值相量的书写方式

2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：

IU 、

222

111

sin2

sin2

tUu

tUu

1U1

2U

2

2U 落后于1U 1U2U领先 落后

？

正弦波的相量表示法举例例 1 ：将 u1 、 u2 用相量表示

相位：

幅度：相量大小 12 UU

12 设：

21 UUU

U

222

111

sin2

sin2

tUu

tUu

同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。

例 2 ：同频率正弦波相加 --平行四边形法则

2

2U

1U1

注意 ： 1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上， 不同频率的正弦量不能画在一张相量图上。

新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。

相量 复数表示法 复数运算

sincos jUUjbaU

复数

a

b

U

U

j

+1

将复数 U 放到复平面上，可表示为

a

btg

baU

1

22

j

ee

ee

jj

jj

2sin

2cos

欧

拉公式

U

eU

jU

jbaU

j

)sin(cos

代数式

指数式 极坐标形式

a

b

U

U

jeUjbaU 在第一象限

设 a 、 b 为正实数

jeUjbaU 在第二象限jeUjbaU 在第三象限

在第四象限jeUjbaU

复数运算1. 加 、减运算

222

111

jbaU

jbaU

设 jUe

bbjaa

UUU

)()( 2121

21则

2. 乘法运算

2

1

22

11

j

j

eUU

eUU

设 )(

21

21

21

jeUU

UUU 则

3. 除法运算

2

1

22

11

j

j

eUU

eUU

设 21

2

1

2

1 jeU

U

U

U则

说明： 设任一相量 A

90eA jA)( j

90° 旋转因子。 +j逆时针转 90° ， -j顺时针转 90°

应用举例

解：

A506.8630100302

4.141jI

V5.19011060220602

1.311jU

例 1:已知瞬时值，求相量。

已知 V

3314sin1.311

A6

314sin4.141

tu

ti求： i 、u 的相量

506.8630100302

4.141jI

5.19011060220602

1.311jU

220

3/

U

I100 6/

A

V

求：21 ii、

例2 ：

已知相量，求瞬时值。 已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为：

A10

A6010030

2

1

jeI

I

A )306280sin(210

A )606280sin(2100

2

1

ti

ti

解： 6280100022 f srad

波形图

瞬时值

相量图

复数

符号法

UI

UeUjbaU j

小结：正弦波的四种表示法

tUu m sin

T

mI

t

i

提示 计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：

43 jU

43 jU )153sin(25 tu

43 jU )153sin(25 tu

)9126sin(25 tu

43 jU )9126sin(25 tu

符号说明瞬时值 --- 小写 u、

i有效值 --- 大写 U 、 I

复数、相量 --- 大写 + “.”U

最大值 --- 大写 + 下标mU

正误判断

Utu sin100 ？瞬时值 复数

正误判断)15sin(25050 15 teU j ？

瞬时值复数

452

10I

已知： )45sin(10 ti 正误判断

？ 4510 eIm ？有效值

j45

则：

已知： )15(sin102 tu

10U

正误判断

1510 jeU ？

？15

则： )50(sin100 ti

已知： 50100I

？

正误判断

最大值21002 IIm