Теория пластин

Теория гибких пластин Основные гипотезы Геометрические соотношения Определение обобщенных внутренних усилий.

Основные гипотезы Пластинки, прогиб которых превышает 1/4 толщины, называют гибкими

(рис.1).

Перед рассмотрением построения теории гибких пластин, проанализируем выполняемость основных гипотез теории пластин:

гипотеза о прямых не деформируемых нормалях (+), гипотеза о недеформируемой срединной поверхности ((-), так как

U0 ≠0,Vo≠0),

гипотеза о ненадавливании слоев друг на друга ((+), так как σz=0).

Рис.1 Тонкая гибкая пластина

Геометрические соотношения

Следуя 1-й гипотезе (εz =0) и используя соотношения Коши

получим, что функция прогиба пластины w = w(x,y) не зависит от

координаты z. Также следуя 1-й гипотезе о сдвигах (yxz = yyz =0), запишем

(1)

откуда находим производные перемещений

(2)

0

z

wz

0

x

w

z

uxz

0

y

w

z

vyz

x

w

z

u

y

w

z

v

Геометрические соотношения интегрируя уравнения по z, получим

(3)

и для определения функций f1 и f2 используем условие на срединной поверхности 2-й гипотезы:

(4)

Следовательно, f1 = U0, а f2 = V0 и окончательно получим

(5)

),(1 yxfx

wzu

),(2 yxfy

wzv

),(00| yxuu z

),(00| yxvv z

x

wzyxuu

),(0

y

wzyxvv

),(0

Геометрические соотношения

Найдём компоненты тензора деформации произвольной точки пластины

(6)

где εx°, εy° и γxy° - компоненты тензора деформации срединной поверхности (тензор мембранной деформации).

Для установления связи между тензором мембранных деформаций и вектором перемещений нельзя использовать тензор малых деформаций - тензор Коши и соответствующие геометрические соотношения. Необходимо использовать нелинейные геометрические соотношения - тензор деформаций Грина:

(7)

2

20

x

wz

x

uxx

2

20

y

wz

y

vyy

yx

wz

x

v

y

uxyxy

2

0 2

kjkijiijij uuuu 2

1

Геометрические соотношения

Определение обобщенных внутренних усилий Для определения компонент тензора напряжений воспользуемся

обобщенным законом Гука:

(10)

и, подставляя компоненты тензора деформаций, получим:

(11)

yxx CC 1211

yxy CC 2212

xyxy C 66

2

2

122

2

110

120

11 y

wC

x

wCzCC yxx

2

2

222

2

120

220

12 y

wC

x

wCzCC yxy

yx

wxCC xyxy

2

660

66 2

Определение обобщенных внутренних усилий

По аналогии с тензором мембранных деформаций εij°, удобно ввести тензор

мембранных напряжений σij°, тогда соотношения примут вид

(12)

Исследуем внутренние усилия, возникающие в гибкой пластине. Рассмотрим элемент dxdy (рис.2.).

Усилие

(13)

2

2

122

2

110

y

wC

x

wCzхx

2

2

222

2

120

y

wC

x

wCzуy

yx

wxCхуxy

2

660 2

hzdzy

wC

x

wCzdzN x

h

h

hhx

h

h xx0

2/

2/2

2

122

2

112/

2/02/

2/|

Определение обобщенных внутренних усилий создается мембранными напряжениями, поэтому его называют

мембранным усилием; аналогично мембранное усилие

(14)

Рис.2. Внутренние усилия в гибкой пластине

hdzN у

h

h уу02/

2/

Определение обобщенных внутренних усилийМембранное сдвиговое усилие:

(15)

Изгибающий момент:

(16)

(17)

Где

, (18)

Аналогично (19)

Крутящий момент (20)

hdzS xy

h

h

xyxy0

2/

2/

2/

2/

2/

2/

22

2

122

2

11

2/

2/

0h

h

h

h

h

hxxx dzzy

wC

x

wCzdzzdzM

2

2

122

2

11 y

w

x

wM x

12

3

1111

hC

12

3

1212

hC

2

2

222

2

12 y

w

x

wM y

yx

wM xy

2

662