數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝  堅

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數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝  堅. 為什麼 學校考試的試題,絕大多數都是我們 ( 或學童 ) 熟悉的題目 ? 為什麼 老師們不喜歡出沒有見過 ( 或不常見到 ) 的題目 ? 沒有見過的題目,漂亮的題目, 是怎麼冒出來的?. 那些是學童無法得分的題目 ? 困難,但是算過的題目 。 簡單 ,但是沒有看過的題目 。 簡單 ,但是文字描述很長的題目 。 為什麼學童害怕這些簡單的題目 ?. 如果要您命一份紙筆測驗 ,您會注意那些事項 ? 您如何命一份紙筆測驗 ?. 方式甲: - PowerPoint PPT Presentation

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•  數學評量• 國立臺南大學數學教育系•    謝  堅

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•為什麼學校考試的試題,絕大多數都是我們 (或學童 )熟悉的題目?•為什麼老師們不喜歡出沒有見過(或不常見到 )的題目 ?• 沒有見過的題目,漂亮的題目, 是怎麼冒出來的?

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•那些是學童無法得分的題目 ?•困難,但是算過的題目。• 簡單,但是沒有看過的題目。• 簡單,但是文字描述很長的題目。•為什麼學童害怕這些簡單的題目 ?

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• 如果要您命一份紙筆測驗,您會注意那些事項 ?•您如何命一份紙筆測驗 ?

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• 方式甲:• 參考課本、 習作、參考書的例題及習題,或參考書局的題庫光碟、 考古題等題目,再透過改數字,改情境, 轉化題型(填充題 改成選擇題)等方式命題。

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• 方式乙:•不參考任何試題 (或者只是純參考, 但是不使用 ),依據考試範圍的教學目標、重要的數學概念、上課時學童容易混淆的教材等,在日常生活中尋找相關的情境轉化成題目,或將基本概念轉化成題目。

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• 為什麼以前高中(大學)聯考數學科考題,部份大學數學系老師在規定的時間內無法答完所有的考題?•為什麼現在升高中 (大學 )的基本學力測驗數學科的考題,所有大學數學系的老師都能在規定的時間內答完所有的考題,而且多數問題不必計算就能夠直接看出答案 ?

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•基本學力測驗的命題方式,和以前聯考的命題方式,有那些改變 ?•為了讓學童在學測時能得到高分,教師們如何因應?

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• 課本給一些例子,幫助學童抽象 • 數學概念。 課本給一些例題,幫助學童澄清• 數學概念。   課本給一些習題,檢查學童是否• 掌握該數學概念。

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參考書給一些例題,延伸課本的• 數學概念。   參考書給一些習題,檢查學童是• 否掌握延伸的數學概念。•您心中的難題是怎麼出現的?

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•以前聯考數學試題:•常以課本或參考書的例題或習題•為出發點命題。• 現在基本學測數學科的試題:• 直接由數學概念或生活情境為出發點命題。• 只要題目和參考書的題目雷同,一定不會變成學測的試題。

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• 以參考書例題或習題為出發點命題: 經常算習作或參考書的學生:• 很容易抓到命題的脈動,不必回溯至原始的數學概念,就可以成功解題。 不算參考書的大學數學老師:• 必須由原始的概念出發,思考如何解題,因此必須花較多的思考時間,才能夠解題成功。

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• 以基本概念或生活情境命題: 數學概念清楚的數學老師:•很容易掌握試題的重點,可以快速算出答案。相當大比例的題目,不必動手計算就可以得到答案。 數學概念不清楚的學童們:• 面對不熟悉,沒有算過的試題,不知道如何解題。

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•命題方式改變後,如何因應數學基本學力測驗?•學童讀書的方式是否要改變 ?•教師教學的方式是否要改變 ?•學校命題的方式是否要改變?

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• 算很多題目,對考試是否有幫助?• 小範圍的考試 (例如月考 )        • vs • 大範圍的考試 (例如基本學測 )

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• 算很多題目,對考試是否有幫助?• 由日常生活或概念出發的考題 • vs • 由課本或參考書轉化的考題

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• 算很多題目,對考試是否有幫助?•   全國統一的教科書• vs • 一綱多本的教科書

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• 如何命一個沒有見過的新題目?• 由數學概念開始思考:• 由日常生活情境開始尋找:

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• 由數學概念開始思考:• 嘗試創造與生活情境無關,但是可以澄清或延伸數學概念的考題。• 嘗試尋找生活情境中有那些現象或問題,可以澄清數學概念。

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•47×147 +( 247 +□)×47= 23500,•□=(  )?•考什麼概念?•如果太難,如何修改試題?

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已知:『 518.49×73.206 = 37956.57894』。•甲= 508.49×73.206、•乙= 518.49×63.206,•請問:甲-乙=? •考什麼概念?•如果太難,如何修改試題?

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•518.49×73.206 = 37956.57894•  508.49×73.206•= (518.49 - 10) ×73.206•= 37956.57894 - 732.06• 518.49×63.206•= 518.49×(73.206 - 10)•= 37956.57894 - 5184.9

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•15 顆紅球和 12 顆藍球合起來重 60公斤(每顆紅球都一樣重,每顆藍球都一樣重),請問 40 顆紅球和32 顆藍球合起來重多少公斤?•考什麼概念?•如果太難,如何修改試題?

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•累積:•15 顆紅球、 12 顆藍球 60 公斤•15 顆紅球、 12 顆藍球 60 公斤•     •30 顆紅球、 24 顆藍球 120 公斤• •45 顆紅球、 36 顆藍球 180 公斤

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•分割:•15 顆紅球、 12 顆藍球 60 公斤•     •5 顆紅球、 4 顆藍球 20 公斤• •5/7 顆紅球、 4/7 顆藍球 60/7 公斤

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•先累積再分割:•15 顆紅球、 12 顆藍球 60 公斤•     •5 顆紅球、 4 顆藍球 20 公斤• •40 顆紅球、 32 顆藍球 160 公斤

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•甲= 1/3 - 0.3333333333,•乙= 2/3 - 0.6666666666,•丙= 1- 0.9999999999•請問下列敘述何者成立? 甲=乙=丙 甲:乙:丙= 1: 2: 3 甲:乙:丙= 3: 2: 1 甲:乙:丙= 3: 6: 1

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•甲:乙=乙:丙=丙:丁=丁:戊=戊:己=己:庚=庚:辛=辛:任=任:葵= 10: 1。•「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、任、葵」的「平均數」大約是「甲」的多少倍?(請選一個最接近的答案) 100 倍 10 倍 0.1 倍 0.01 倍

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•面對問題「一瓶水 4/5 公升, 3/11 •瓶水有多少公升?」時,我們可•以透過「分子乘以分子,分母乘•以分母」的方式算出答案。• 請問下列說法何者正確?

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分母乘以分母,是將 1 瓶水平分• 成 55等份的意思。 分母乘以分母,是將 1公升平分• 成 55等份的意思。 分子乘以分子,是算有 12 個 1/55• 瓶水的意思。 分子乘以分子,是算有 12 個 1/55• 公升的水的意思。

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•假設: 9000×9000 = a,•    18 + 17 = b, 18×17 = c。•請問「 9018×9017 」=? a + c a + b×9000 + c a + b×2000 + c a + b×18000 + c

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•9018×9017 =?•(9000 + 18)×(9000 + 17)=?• 9018• × 9017

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•甲÷37= 46857……17。•甲÷37= ( ) ( 使用四捨五入法,商數算到小數第二位 ) 。

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•5 %是 5: 100的比值;•5ppm是 5: 1000000的比值,•5ppb是 5: 1000000000的比值。•如果 100 公克的水中,甲物質佔了5ppm,乙物質佔了 200ppb,請問甲物質的重量是乙物質重量的幾倍?

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•「7253564×3.625×25=?」。•那些算式能算出正確的答案: 7253564×300÷4+ 7253564÷8×125 7253000 + 564÷8×125 + 564×3×75 7253564×75+ 7253564÷8×75 7253564×2900÷32

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•347×5= 3470÷2•347×25 = 34700÷4•347×125 = 347000÷8•1/8 = 0.125 ; 3/8 = 0.375•5/8 = 0.375 ; 7/8 = 0.875

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•7253564×3.625×25•= 7253564×(3+ 0.625)×25•= 7253564×3×25+7253564×0.625×25

•= 7253564×300÷4+7253564×5÷8×25

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• 由日常生活情境開始尋找:• 嘗試在日常生活中尋找有趣或有規律的現象,判斷這些現象可以評量那些數學概念,並將這些現象轉換成考題。

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• 某特製腳踏車前輪半徑是 20 公分,在腳踏車前輪上(半徑外緣)加裝一個燈泡,讓腳踏車往前行走時燈泡會發光,請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。• 也可以改成選擇題。• 此題是日常生活中存在的情境。

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• • •

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•一個邊長是 10 公分的正方體黏土,將這個正方體黏土揉成一個球, 請問下列敘述何者正確?

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球的直徑比 10 公分長,球的體積• 是 1000立方公分。 球的直徑比 10 公分長,但是球的• 體積不是 1000立方公分。 球的直徑比 10 公分短,球的體積• 是 1000立方公分。 球的直徑比 10 公分短,但是球的• 體積不是 1000立方公分。

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•知道球體積公式是先備知識嗎?•可以評量高年級學童嗎 ?

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• 有一棵神木,二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈,請問神木的直徑大約是幾公分? 100 公分    500 公分。 1000 公分   2000 公分。

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•兩個長方形(任兩邊都不重疊)最多有 a 個交點,兩個圓(不同圓心)最多有 b 個交點, a + b=? 6 8 10   12

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•甲、乙、丙、丁四個人站在正方形的四個頂點。甲說:「乙在我的東北方」,丙說:「乙在我的北方」。請問下列敘述何者正確? 丁一定在甲的北方 丁一定在乙的東南方  丁一定在丙的東方 條件不足,無法確定丁的位置

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•   丁     乙

•   甲     丙

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•       乙•    甲     丁•       丙

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•鐵鍊 7公尺長重 3 公斤,甲、乙、丙三家商店都有賣這種鐵鍊。•甲商店3台尺賣 100 元,乙商店 12英吋賣 50元,丙店 1公斤賣 200元。•請問那一間商店賣的最便宜?•1 台尺= 30公分, 1 英吋 =2.54公分

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• 上體育課或休閒時,你在籃球場打過籃球嗎?估算看看,籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍?• 也可以考教室的面積或書桌的面積是這張考卷的多少倍(學童可以同時看到教室與考卷 ) 。

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•國小階段:雞兔同籠問題、水流問題、追趕問題、植樹問題等。 這些問題是否為國小教學重點? 這些問題是否為國小評量重點?

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•雞兔同籠問題適合評量的對象: 國小中年級 國小高年級 國中一年級 國中二年級

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•嘗試錯誤法 vs 學童法 vs 算則•嘗試錯誤法:面對新問題時最有效率的解題策略•算則:某個時代,多數人解決問題時所使用最有效率的解題策略 • 學童法:學童自己發展出來,不是最有效率的解題策略

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•雞兔同籠問題的算則: 嘗試錯誤 假設都是雞 ( 或兔 )策略 一元一次方程式策略 二元一次方程式策略•只有算則才需要精熟

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• 基本學力的界定:• 基本:• 就層次而言,指的是基礎、核心、重要的,而非高深、外圍或細微末節的。• 就範圍而言, 指的是完整、周延的,而非偏狹或殘缺的。

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• 學力:• 指學習者經由一段時間的系統化教育所獲得的能力,而非學習者天生或自然成長而來的能力。• 指學習者學後的成就,及其展現為學、待人、處事之個種能力。

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• 成就測驗:• 檢驗學生學習的成果。• 性向測驗:• 檢驗學生未來的學習能力(預測學生未來的表現) 。• 基本學測是一種成就測驗。

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• 基本學力測驗數學科試題:• 以認知能力層次為橫軸•以國民中學數學學習內容為縱軸•形成雙向細目分析表,作為數學 科試題編製的依據。

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•雙向細目表 :•雙向細目表是測驗編製的藍圖和 命題的依據,它是以認知能力和 學習內容為兩個軸,分別說明各 項評量目標。

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•建立雙向細目表可以幫助命題者釐清認知能力和學習內容的關係,以確保測驗能反映教材的內容,並能夠真正評量到預期之學習結果。

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• 應該在命題之前做好雙向細目分析表,不要在命題之後再創造雙向細目分析表,不要為有一個好看的雙向細目表而分類。

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•基本學力測驗將學習內容分為四類(與能力指標的分類一致 ) :• 數與量• 幾何• 機率與統計• 代數

Page 65: 數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝  堅

• 布魯姆等將教育目標分類:認知領域、情意領域、動作技能領域。• 認知領域:知識、理解、應用、分析、綜合、評鑑六個由簡單到複雜的層次,每一個層次的目標包含較低層次的目標。

Page 66: 數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝  堅

• 在國中、小階段,分析、綜合、評鑑三層次不易細分及命題,一般將它們合稱為批判性思考。• 以前將認知能力區分為: 知識、理解、應用、批判性思考

Page 67: 數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝  堅

•2001 年修訂版:•認知歷程向度:•記憶、了解、應用、分析、評鑑、創造 • 知識向度:• 事實知識、概念知識、程序知識、後設認知知識

Page 68: 數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝  堅

• 基本學力測驗數學科試題將學生的認知能力分成概念理解、程序執行、問題解決三大類。•一般大型測驗數學科試題也將學生的認知能力分成這三大類。

Page 69: 數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝  堅

• 概念理解: 能辨識、指認和舉出實例或反例。 能使用糢型、圖表及各種概念的表• 徵,並了解相互的關連。 能指認並應用有關原理。

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能知道事實與定義以說明概念 能比較、對照並統整相關概念與原  理來延伸概念與原理的性質。 能指認、說明及應用抽象化符• 號或術語來表示概念。 在數學情境中,能解釋有關數• 學概念的假設與關係。

Page 71: 數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝  堅

•程序知識: 能判別或判斷具體糢型或符號運用• 方法過程的正確性或適切性。 能正確計算。 能運用不同的數學邏輯以有效 的解• 決數學問題。

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能讀、能設計圖表以表現過程。 能執行幾何構圖。 能操作非計算題的技能,如:四捨 五入、排序等。

Page 73: 數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝  堅

•解題與思考: 推理與分析的能力。 能認清問題並能用數學式表示。 能判辯資料的充份性和均質性。 能使用策略、數據、糢型。

Page 74: 數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝  堅

能產生、訂正、充實過程。 能判斷問題答案或方法的正確性。 能空間推理、歸納推理、演繹• 推理、統計推理、比例推理。