• 方程式 (未知數 )

• 國立臺南大學數學教育系•　　　 謝　　堅

•7x ＋ 3＝ 5x＋ 9 f(x) ＝ 5x＋ 9•2x ＝ 6 f(1) ＝ 5＋ 9＝14

•x ＝ 3 f(6) ＝ 30＋ 9＝ 39

•這兩組數學式子的意義是否相同 ?•數學式子中「 x」的意義是否相同 ?

•何謂未知數 ?•何謂變數 ?•未知數和變數有何異同 ?

•何謂方程式 ?•何謂函數 ?•方程式和函數有何異同 ?

•小明帶 100 元出門，買了 5枝一樣的原子筆後，還剩下 40元，請問一枝原子筆賣多少錢 ?

•「算式填充題： 5x＋ 40 ＝ 100 」 比較接近變數或未知數概念 ?

•一枝原子筆賣 5元，一塊橡皮擦賣8元。買 x枝原子筆， y塊橡皮擦，一共要付多少錢 ?

•要付「 5x＋ 8y 」元，•「 5x＋ 8y 」是變數或未知數概念 ?

• ( ) ＋ 7826 ＝ 13504• ｘ＋ 7826 ＝ 13504• 甲＋ 7826 ＝ 13504

•這三個問題的難度相同嗎 ?•為什麼國小學童認為最上面的那個問題比較簡單 ?

• ( ) ＋ 7826 ＝ 13504• ｘ＋ 7826 ＝ 13504• 甲＋ 7826 ＝ 13504

•( ) 像一個位置，不像一個數字。•甲或 x比較像一個數字。•( ) 中代入一個數字後，會讓等號兩邊的數值相等。

• ( ) ＋ 7826 ＝ 13504• ｘ＋ 7826 ＝ 13504• 甲＋ 7826 ＝ 13504

•甲或 x比較像一個數字：•它們是一個不知道的未知數 ?•或是一個確定的已知數 ?

•「不知道」＋「不知道」＝ ?•「∞」＋「∞」＝ ?•「全部」＋「全部」＝ ?

•「 x」＋「 x」＝ ?•為什麼「 x＋ x＝ 2x 」 ?

•「 2個青蘋果， 6個紅蘋果」

•青蘋果是全部的幾分之幾 ?•2 個紅蘋果是全部的幾分之幾 ?

•未知數並非真正的未知，只是在尚未算出答案之前暫時的未知，算出答案之後就是一個確定的已知數。

•「暫時未知的已知數」或「定量未知數」一詞更適合未知數。

•未知數定理：

•ｘ雖然是一個未知數，一個目前不知道等於多少的數，但是，只要它是一個數，它就能與其它的數一起做運算，而且順從運算所有的性質。

•在數學上，有那些運算性質 （加減乘除及其混合運算） 在全數系或有理數系一定成立？

•有那些運算性質在整數系或 實數系（或複數系）一定成立？

•為什麼在代數學中，也要討論這些性質？

•自然數：｛ 1， 2，3， ...... ｝。

•自然數是點數的結果，描述一個給定的集合有多少個元素。

•全數：自然數∪｛０｝。 •全數是國小階段教學的重點， 全數的０表示沒有的意思。

•整數：｛ ..., － 1,0,1,2,... ｝•整數中的「 2」是「＋ 2」的簡記法，表示比基準量 0多 2。

•0 不一定表示沒有， 0 只是設定的基準量，例如溫度是攝氏 0度， 0度並不表示沒有溫度， 0度是水結冰時的溫度。

•自然數可以視為整數的特例。

•全數、整數、有理數、實數都滿足那些運算性質？

•三一律： ａ，ｂ兩數恰滿足下列一種關係

•ａ＞ｂ•ａ＝ｂ•ａ＜ｂ。

•等價關係：•ａ，ｂ，ｃ三個數滿足•反身性：ａ＝ａ。•對稱性：ａ＝ｂ，則ｂ＝ａ。•遞移性：ａ＝ｂ，且ｂ＝ｃ，• 則ａ＝ｃ。

•數的運算關係：

•ａ，ｂ，ｃ三個數滿足•加法交換律：•ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ。•加法結合律：•（ａ +ｂ） +ｃ＝ａ +（ｂ +ｃ）。

•乘法交換律：•ａ×ｂ＝ｂ×ａ。

•乘法結合律：•（ａ×ｂ）×ｃ＝ ａ×（ｂ×ｃ）。

•乘法對加法的分配律：

•（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 （乘法對加法的右分配律）

•ａ×（ｂ＋ｃ）＝ａ×ｂ＋ａ×ｃ。 （乘法對加法的左分配律）

•在數學中只討論加法和乘法二元運算。

•3 － 5＝ 3＋ (－ 5)•3÷5 ＝ 3×(1/5)

•那些運算關係在減法或除法運算中也成立？

•　（ａ＋ｂ）－ｃ•＝（ａ－ｃ）＋ｂ •＝ａ＋（ｂ－ｃ） •＝ａ－（ｃ－ｂ）。 • （ａ－ｂ）－ｃ•＝（ａ－ｃ）－ｂ•＝ａ－（ｂ＋ｃ）。

• （ａ×ｂ）÷ｃ•＝（ａ÷ｃ）×ｂ。

• （ａ÷ｂ）÷ｃ•＝（ａ÷ｃ）÷ｂ •＝ａ÷（ｂ×ｃ）。

•ａ、ｂ、ｃ是任意正整數，下列算式中那些恆成立？

ａ÷ｂ×ｃ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。

ａ÷ｂ÷ｃ＝ａ÷（ｂ÷ｃ）。

ａ×ｂ÷ｃ＝ａ×（ｂ÷ｃ）。

ａ×ｂ÷ｃ＝ａ÷ｂ×ｃ。

•乘法對減法也滿足分配律。

•（ａ－ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ－ｂ×ｃ。 (乘法對減法的右分配律 )

•ａ×（ｂ－ｃ）＝ａ×ｂ－ａ×ｃ。 (乘法對減法的左分配律 )

•除法對加（減）法：•滿足右分配律：•（ａ＋ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ＋ｂ÷ｃ。 •（ａ－ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ－ｂ÷ｃ。•不滿足左分配律：•ａ÷（ｂ＋ｃ）≠ａ÷ｂ＋ａ÷ｃ。•ａ÷（ｂ－ｃ）≠ａ÷ｂ－ａ÷ｃ。

•等量公理：•a， b， c三個數，若 a＝ b 則滿足

•ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ。•ａ－ｃ＝ｂ－ｃ。•ａ×ｃ＝ｂ×ｃ。•ａ÷ｃ＝ｂ÷ｃ（ｃ≠ 0 ）。

•a， b， c三個數，若 a＞ b 則滿足•ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ。•ａ－ｃ＞ｂ－ｃ。•ａ×ｃ＞ｂ×ｃ（ｃ＞ 0）。•ａ÷ｃ＞ｂ÷ｃ（ｃ＞ 0）。•ａ×ｃ＜ｂ×ｃ（ｃ＜ 0）。•ａ÷ｃ＜ｂ÷ｃ（ｃ＜ 0）。•ａ×ｃ＝ｂ×ｃ（ｃ＝ 0）。

•5 ＋ 5＝ 10•5 ＋ 5＝ 5×2

•x ＋ x＝？•為什麼 x＋ x＝ 2x?•為什麼 x＋ x要記成 2x，不記成(x×2)?

•(3 ＋ 4)×5 ＝ 7×5 ＝ 35•(3 ＋ 4)×5 ＝ 3×5 ＋ 4×5 ＝ 15＋ 20 ＝ 35

•(3 ＋ 4) × x ＝ ?•(x ＋ y) × 5 ＝ ?

•2 ｘ＋ 5＝ ?•ｘ＋ｙ＝ ?

•「 2ｘ」和「 5」是否可以相加減 ?•「ｘ」和「ｙ」是否可以相加減 ?

•「 5公斤」和「 5英磅」，合起來有多重 ?

•「 2ｘ」和「 5」為何可以相加減 ?•「 2ｘ＋ 5」和「 5－ y」為什麼可以相加減 ?

•有那些能力才能將「 2ｘ＋ 5」視為可以被運算的已知數 ?

•「ｘ」是一個數字嗎？•「 2ｘ＋ 5」是一個數字嗎？•「 (2ｘ＋ 5)×6 」是一個數字嗎？•「 (2ｘ＋ 5)×6÷7 」是一個數字嗎？

•它們都可以再和其它的數字進行加減乘除運算嗎？

• 未知數發展可以區分成三個層次：

• 層次一：一個位置的概念。• 層次二：傳統的未知數概念。• 層次三：一個可以運算的數（理解•　　　　未知數定理的意義）。

•5746 ＋ ( ) ＝ 10832

•未知數的角色只是一個位置的概念， 該位置填入某些數字後，就可以讓算式成立，但是目前不知道可以填入的數字是什麼。

•5746 ＋ x ＝ 10832•5746 ＋甲＝ 10832

•傳統的未知數概念， x或甲代表某一個確定的數字，只是該數字目前未知。

•如果未知數只是位置的概念或傳統的未知數概念，學童的想法只能算是算術，如果未知數的角色是代表一個可以運算的數，所進行的活動才是代數。

•算術中的未知數，可能只是一個位置，也可能代表傳統的未知數角色，它們都等待數值的發現。

•代數中的未知數，代表一個符號，它擁有其本身數學物件的本值，可以和其它的數進行運算。

•由未知數是否能像已知數一樣被運作，可以判斷是算術概念還是代數概念。

•當一個一元一次方程式等號兩邊都有未知數時，才能算是真正的代數問題。

•小明有一些錢，他買了 3枝 5元的鉛筆， 4塊 8元的橡皮擦後，身上還剩下 40元，請問小明原有多少錢 ?

• 中年級學童有能力解決問題嗎？•中年級、高年級、國中教材都出現這類問題，他們的解題策略或記錄格式有何不同 ?

•5×3 ＝ 15……鉛筆的錢•8×4 ＝ 32……橡皮擦的錢•15+32 ＝ 47……鉛筆和橡皮擦的錢

•47+40 ＝ 87……原有的錢

•中年級學童應該有能力解題，並且使用多個算式記錄解題活動。

•( ) － 5×3 － 8×4 ＝ 40•5×3 ＋ 8×4 ＋ 40 ＝ ( )

•高年級學童是先列式 (將問題記成算式填充題 )再解題。

•教學的重點是列式以及逐次減項或解方程式的記法。

•小明有一些錢，他買了 3枝 5元的鉛筆， 4塊 8元的橡皮擦後，身上還剩下 40元，請問小明原有多少錢 ?

•( ) － 5×3 － 8×4 ＝ 40•5×3 ＋ 8×4 ＋ 60 ＝ ( )•那一種記法比較簡單 ?

•( )-5×3-8×4 ＝ 40•5×3+8×4+60 ＝ ( )

•就問題記錄而言（將問題記成算式填充題），前者比較簡單。

•就解題活動而言（算出算式填充題的答案），後者比較簡單。

•5×3 ＋ 8×4 ＋ 40 ＝ ( )•( ) － 5×3 － 8×4 ＝ 40•5×3 ＋ 3x ＝ 21 － x• 這三個問題的難度差不多嗎 ?•記成 ( ) 與記成 x難度差不多嗎 ?

•第 1 題是國小現在的教材。•第 2 、 3題是 94年版出現的教材。

• 引入等量公理前：• 學童有能力解決等號右邊只有括號的算式填充題嗎？

• 學童有能力解決等號左邊有未知數的算式填充題嗎 ?

• 有能力解決等號兩邊都有未知數的算式填充題嗎？

•5×(3 ＋ 8) ＋ 40 ＝ ( )

•如何記錄解題過程 ?

•使用多個算式記錄：•使用逐次減項的記法：

•　 5×(3 ＋ 8) ＋ 40 ＝ 5×11 ＋ 40 ＝ 55 ＋ 40 ＝ 95

•國小稱為逐次減項的記法。•95 是誰的答案 ?

•5 ＋ 3＝ 8－ 2＝ 6 5 • ＋ 3•　　　　　　　　　　　　 8•　　　　　　　　　　　 － 2 •你接受上面橫式的記法嗎 ? 6•你接受上面直式的記法嗎 ?•為什麼學童會出現上面橫式記法 ?

•因為： 5×(3 ＋ 8)＋ 40＝ 5×11＋ 40

•　　　 5×11 ＋ 40＝ 55 ＋ 40 •　　　 55＋ 40＝ 95 　　　

•所以： 5×(3 ＋ 8)＋ 40＝ 95

•這是比較詳細的記法，主要的概念是等號的遞移性。

•將前面的記法摘要記成：•　 5×(3 ＋ 8) ＋ 40 ＝ 5×11 ＋ 40 ＝ 55 ＋ 40 ＝ 95

•逐次減項是摘要的記法。•教師應檢查答案 95的意義。

•因為： a=b， b=c， c=d•所以： a=d

•摘要記成： a＝ b＝ c＝ d

•教學的重點是什麼 ?

•5×(3 ＋ 8) ＋ 40 ＝ ( )•3 ＋ 8＝ 11•5×11 ＋ 40 ＝ ( )•5×11 ＝ 55•55 ＋ 40 ＝ ( )•55 ＋ 40 ＝ 95•95 ＝ ( )

•5×(3 ＋ 8) ＋ 40 ＝ ( ) •5×11 ＋ 40 ＝ ( )•55 ＋ 40 ＝ ( )•95 ＝ ( )• 用連等號的算式，把它們連起來，讓別人知道你是怎樣一步一步算出答案 ?

•( ) － 5×3 － 8×4＝ 40• x － 5×3 － 8×4＝ 40•引入等量公理前，學童有能力解決上述問題嗎 ?

• 透過線段圖重新表徵問題的方式，將原問題改記成等號右邊只有括號的算式填充題。

•x ＋ 5×3 ＋ 8×4＝ 40•引入等量公理後，學童有能力解決上述問題嗎 ?

•解決問題很簡單，因為未涉及未知數的運算。

•比較困難的是記錄，因為和國小逐次減項的記法不相同。

•x ＋ 15 ＋ 32 ＝ 100•x ＋ 15 ＝ 100 － 32( ＝ 68)•x ＝ 68 － 15•x ＝ 53

•可以利用天平說明記錄格式（已知數使用法碼，未知數使用沙包）的意義。

•5×3 ＋ 3x ＝ 21 － x

•引入等量公理前，學童有能力解決上述問題嗎 ?

•引入等量公理後，學童有能力解決上述問題嗎 ?

•學童必須理解等量公理及未知數定理的意義，才能解決上述問題。

• 多步驟問題的運算次序

•先乘除後加減•由左往右算•括號先算•上述口訣是處理多步驟問題運算次序的依據，這些口訣是怎樣發展出來的 ?

•先乘除後加減 是可溝通的語句嗎 ? 是清楚明白的語句嗎 ?

•48÷3×4 ＝ 48÷12 ＝ 4 •這樣算的學童，符合先乘除後加減的語意嗎 ?

•先乘除後加減。•由左往右算。•括號先算。

•它們是三個獨立的口訣嗎 ?•它們是一個分割以幫助記憶的口訣嗎 ?

•29 － 48÷3×4 ＋ (3×4 － 7)=?

•如果它們是三個獨立的口訣，沒有人知道上述問題的運算次序。

•它們的優先順序為何 ?

•括號先算是數學上區分運算次序的約定。

•先乘除後加減，由左往右算，是數學上省略括號的約定。

•只省略了記錄（數學式子）的括號，心中的括號是不可能省略的。

•說說看，先算什麼？後算什麼？

•48÷3×4 ＝？ •29 － 48÷3×4 ＋ (3×4 － 7)=?•13 ＋ 14 － 5－ 9＝？

•你心中是否有括號區分運算次序 ?

•何謂先乘除後加減 ?•為什麼不是先加減後乘除 ?

•何謂由左往右算 ?•為什麼不是由右往左算 ?

•29 － 48÷3×4 ＋ (3×4 － 7)=?•請用一段話 ( 不要提到數字 )，告訴學童運算的先後順序。

•將你的話錄音起來，再放給自己或別人聽聽看 !

•懂得人，可能猜出你說的意思， 不懂的人，應該還是不懂。

•括號的部份要先算。•沒有括號的時候：•算式中加減乘除都有時，要先算乘和除的部份。

•都是乘除時，要由左往右算， •都是加減時，也要由左往右算。

•如何幫助學童將未知數ｘ視為一個和已知數一樣的單位 ?

•如何幫助學童將未知數視為一個與全數或分數一樣的數，可以和其它的數 (包括未知數）進行前面所描述的運算？

•在有未知數問題中，已知數的單位「 1」和未知數ｘ的單位「壹」，都是可以被計數的單位，只是已知數的單位「 1」，和未知數ｘ的單位「壹」，是不同的兩個單位，無法同時計數。

•3 和 2可以計數 (合起來是 5)，3x 和 2x 也可以計數 (合起來是 5x) ，但是 3和 2ｘ無法合併計數(單位不相同）。

•在未知數問題中，未知的是 　「 1」和「壹」兩個單位間的關係。

• 5 ｘ＋ 7＝ 3ｘ＋ 11 5 ｘ－ 3ｘ＝ 11 － 7 2 ｘ＝ 4 ｘ＝ 2

•先分別確定兩個不同單位的值， 最後再描述「 1」和 「壹」兩個不同單位之間的關係。

•未引入等量公理時： • 12 ＋ 3×5 － 4 •＝ 12＋ 15 － 4 •＝ 27－ 4 •＝ 23 •透過等號的遞移性，一步一步的化簡並得到答案。

•引入等量公理時：•5 ｘ＋ 1＝ 3ｘ＋ 11•5 ｘ－ 3ｘ＝ 11 － 1•2 ｘ＝ 10•ｘ＝ 5•將一個等價關係變成另一個等價關係。

•何謂等量公理 ?•何謂移項法則 ?•如何幫助學童澄清並理解等量公理的意義 ?

•如何幫助學童熟練的使用移項法則解方程式 ?

•等量公理：•a， b， c三個數，若 a＝ b 則滿足

•ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ。•ａ－ｃ＝ｂ－ｃ。•ａ×ｃ＝ｂ×ｃ。•ａ÷ｃ＝ｂ÷ｃ（ｃ≠ 0 ）。

•若 a＋ b×c＝ d＋ e×f•則 a＋ b×c＋ K＝ d＋ e×f ＋ K•則 (a＋ b×c) ＋ K＝ (d＋ e×f)＋ K

•兩邊同加一數時需要加 ( ) 嗎 ?

•若 a＋ b×c＝ d＋ e×f•則 a＋ b×c ×K＝ d＋ e×f ×K•則 (a+b×c)×K＝ (d+e×f)×K•兩邊同乘一數時需要加 ( ) 嗎 ?•等量公理中ａ＝ｂ，指的是 a， b都是一項。

•等量公理 vs 移項法則•3 ｘ＋ 5＝ 17

•等量公理：•(3 ｘ＋ 5) － 5＝ 17 － 5•移項法則•3 ｘ＝ 17 － 5( ＋ 5移過去變成－5)