مفتاح اول مقاله از پنجم مفتاح باب اول مقاله از پنجم بابالحسابالحساب

ریشه استخراج به مختص الحساب مفتاح از باب ریشه این استخراج به مختص الحساب مفتاح از باب اینnn است صحیح اعداد است ام صحیح اعداد ام

می کعب ونیز مکعب را سوم قوه که گوید می می کاشانی کعب ونیز مکعب را سوم قوه که گوید می کاشانی ) تا ) خواند باید ضلع ناچار به را کعبش وآنگاه ( گویند تا ) خواند باید ضلع ناچار به را کعبش وآنگاه گویند

نشود نشود مشتبه مشتبه ) نامیدن ) برای است نامیده کعب کعب را ششم ( قوه نامیدن ) برای است نامیده کعب کعب را ششم قوه

) را ) کعب لفظ نخستین که است آن قاعده بعدی ( قوای را ) کعب لفظ نخستین که است آن قاعده بعدی قوای ) وسپس ) آید بدست بعدی قوه تا کنند تبدیل مال مال ( به وسپس ) آید بدست بعدی قوه تا کنند تبدیل مال مال به ) ( ) ( ) دیگر ) مال وبعد کعب به را ها مال از یکی ترتیب ( به ( ) ( ) دیگر ) مال وبعد کعب به را ها مال از یکی ترتیب بهلفظ بر را مال لفظ وهمواره کنند تبدیل کعب به نیز لفظ را بر را مال لفظ وهمواره کنند تبدیل کعب به نیز را

بنابراین دارند مقدم بنابراین کعب دارند مقدم هفتم کعب هفتم قوه شود قوه شود می مال) می مال) مال مالشود هشتمهشتم قوهقوهو و کعب(کعب( شود می (می کعب) کعب (مال کعب) کعب قوه قوه و و مال

شود دهمدهم شود می کعب) می مال کعب) مال مال وغیره وغیره کعب(کعب( مال

معادل معادل کنونیکنونی

آن آن مفهوم قدیمی مفهوم قدیمی اصطالح اصطالح

ریشه= ریشه=پایه پایه

دوم= ریشه دوم= جذر ریشه جذر

ریشه= ریشه= کعب کعبسومسوم

a²a²

a³a³

11//aa

11//a²a²

11 / /a³a³

با aaعدد عدد مقایسه با درمقام مقایسه aª,…,a²aª,…,a²درمقام

با aaعدد عدد مقایسه با درمقام مقایسه a²a² درمقام

با aaعدد عدد مقایسه با درمقام مقایسه a³a³ درمقام

عدد دوم عدد قوه دوم قوه

عدد سوم عدد قوه سوم قوه

عدد چهارم عدد قوه چهارم قوه

عدد پنجم عدد قوه پنجم قوه

عدد ششم عدد قوه ششم قوه

قوهقوه

قوه قوه نمای نمای

باید که عددی اعم وجه به یا عدد یک باید قوه که عددی اعم وجه به یا عدد یک قوهریشه آن ریشه از آن کرد nnاز استخراج کرد ام استخراج ام

ریشه که ریشه عددی که باشد nnعددی داشته درست باشد ام داشته درست ام

ریشه که ریشه عددی که باشد nnعددی نداشته درست باشد ام نداشته درست ام

اول اول ضلع ضلع

جذرجذر

کعبکعب

= مربع= مال =مجذور مربع= مال مجذور

) کعب) (مکعب کعب) مکعب

مال مال مال مال

کعب کعب مال مال

کعب کعب کعب کعب

الجذر الجذر جز جز

المال المال جز جز

الکعب الکعب جز جز

منزلمنزل

منزل منزل عدد عدد

) مضلعات) جمع در (مضلع مضلعات) جمع در مضلع

منطق منطق مضلع مضلع

اصم اصم مضلع مضلع

وکعب دوم منزل در ومال اول منزل در جذر نویسد می وکعب کاشانی دوم منزل در ومال اول منزل در جذر نویسد می کاشانی ) یک ) نما عددمنزل بخواهیم واگر است سوم منزل ( در یک ) نما عددمنزل بخواهیم واگر است سوم منزل در

) ( ) عدد) مال هر برای باید بدانیم را قوه ( مضلع ( ) عدد) مال هر برای باید بدانیم را قوه ( 22مضلع ( کعب هر برای ( و ( کعب هر برای وکنیم .33عدد عدد جمع هم با را حاصل اعداد همه و بگیریم کنیم .را جمع هم با را حاصل اعداد همه و بگیریم : :مثالمثالرا

منزل منزل عدد (عدد کعب) مال (مال کعب) مال مال منزل منزل وعدد (وعدد کعب) کعب مال (مال کعب) کعب مال مال بیابیم را مضلع اسم بخواهیم و باشیم داشته را منزل عدد بیابیم هرگاه را مضلع اسم بخواهیم و باشیم داشته را منزل عدد هرگاه

بر عدد آن بر اگر عدد آن بر 33اگر را آن باشد پذیر بر قسمت را آن باشد پذیر و 33قسمت کنیم می و تقسیم کنیم می تقسیملفظ قسمت خارج آحاد عده لفظ به قسمت خارج آحاد عده . کعبکعببه کنیم می تکرار . را کنیم می تکرار ::مثالمثالرا

منزل عدد منزل اگر عدد باشد باشد 99اگر بر منزل عدد اگر بر اما منزل عدد اگر عدد 33اما قدر آن نباشد پذیر عدد قسمت قدر آن نباشد پذیر از 22قسمت از را را

بر تا کنیم می کم بر آن تا کنیم می کم هر 33آن ازای وبه شود پذیر هر قسمت ازای وبه شود پذیر یک یک 22قسمتبر( مالماللفظ )لفظ ) باقیمانده تقسیم قسمت خارج آحاد عده بر( وبه باقیمانده تقسیم قسمت خارج آحاد عده 33وبهمی( کعبکعبلفظ )لفظ ) مقدم ها کعب بر را ها مال و گوئیم می می( را مقدم ها کعب بر را ها مال و گوئیم می را

::مثالمثالداریم .داریم . منزل عدد منزل اگر عدد باشد باشد 88اگر منزل عدد منزل اگر عدد باشد باشد 77اگر

77عددعدد

1010عدد عدد

مضلع مضلع اسم کعب اسم کعب کعب کعبکعبکعب

مضلع مضلع اسم کعب اسم کعب مال مالمضلع کعبکعب مضلع اسم مال اسم مال مال مالکعبکعب

) قوای ) برای عام اسم عنوان قبالبه که را مضلع اصطالح ( کاشانی قوای ) برای عام اسم عنوان قبالبه که را مضلع اصطالح کاشانیریشه که برد می کار به عددی برای بود برده کار به ریشه اعداد که برد می کار به عددی برای بود برده کار به آن nnاعداد آن ام ام

ریشه :) که عدد هر نویسد ومی نظراست ریشه :) مورد که عدد هر نویسد ومی نظراست داشته nnمورد درست داشته ام درست ام ) ریشه ) واگر نامند می منطق مضلع را آن ( باشد ریشه ) واگر نامند می منطق مضلع را آن نداشته nnباشد درست نداشته ام درست ام

). ) گویند ) می اصم مضلع را آن .( باشد ) گویند ) می اصم مضلع را آن : : مثالمثالباشد 8181عدد عدد ) جذر )= دوم ریشه زیرا است منطق مضلع جذر حیث ( از جذر )= دوم ریشه زیرا است منطق مضلع جذر حیث از

عدد آن عدد درست آن منطق 99درست چهارم ریشه ازحیث باز عدد همین باشد منطق می چهارم ریشه ازحیث باز عدد همین باشد میعدد آن درست چهارم ریشه زیرا عدد است آن درست چهارم ریشه زیرا اما 33است اما است حیث 8181است از حیث مثال از مثال

نیست منطق مضلع دیگر پنجم ریشه و سوم نیست ریشه منطق مضلع دیگر پنجم ریشه و سوم ریشه و شوند می واقع آحاد مرتبه در همه منطق های و مضلع شوند می واقع آحاد مرتبه در همه منطق های منطق منطق اموالاموالمضلع

مرتبه در بلکه گیرد نمی قرار هزارگان ومرتبه دهگان مرتبه مرتبه در در بلکه گیرد نمی قرار هزارگان ومرتبه دهگان مرتبه دراما شود می واقع هزارگان وده اما صدگان شود می واقع هزارگان وده هزارگان مکعبمکعبصدگان مرتبه هزارگان در مرتبه در

آن شناسائی وطریقه گیرد می قرار هزارهزارگان مرتبه در آن وسپس شناسائی وطریقه گیرد می قرار هزارهزارگان مرتبه در وسپسهر های منزل عده به را ومراتب کنیم شروع آحاد مرتبه از که هر است های منزل عده به را ومراتب کنیم شروع آحاد مرتبه از که است

) منطق )= دور وآنرا بگیریم خواهیم می که قوه هر نمای ( مضلعی منطق )= دور وآنرا بگیریم خواهیم می که قوه هر نمای مضلعیادامه را وعمل بگیریم عده همان به دیگری دور وسپس بنامیم ادامه واصم را وعمل بگیریم عده همان به دیگری دور وسپس بنامیم واصم

اصم . مراتب باقی ودر منطق دور هر اول درمرتبه مضلع آن اصم . دهیم مراتب باقی ودر منطق دور هر اول درمرتبه مضلع آن دهیمکه شود می معلوم رو این از که است شود می معلوم رو این از می مجذورمجذوراست واقع مرتبه یک می در واقع مرتبه یک در

و شود نمی واقع آن بعدی مرتبه ودر و شود شود نمی واقع آن بعدی مرتبه ودر واقع مکعبمکعبشود مرتبه یک واقع در مرتبه یک درشودو نمی واقع بعدی مرتبه دو ودر شود شودو می نمی واقع بعدی مرتبه دو ودر شود مال می مال مال مرتبه مال یک مرتبه در یک در

شود نمی واقع آن از بعد مرتبه سه ودر شود می شود واقع نمی واقع آن از بعد مرتبه سه ودر شود می واقع

دوردور ) بخواهیم) . مثال عددی اگراز که است مفهوم این به ادوار ج ( دور بخواهیم) . مثال عددی اگراز که است مفهوم این به ادوار ج دور

جدا سه به سه راست سمت از را عدد آن ارقام بگیریم سوم جدا ریشه سه به سه راست سمت از را عدد آن ارقام بگیریم سوم ریشهعدد همان از واگر مینامیم دور را رقمی سه دسته وهر عدد میکنیم همان از واگر مینامیم دور را رقمی سه دسته وهر میکنیم

راست ازسمت را آن ارقام کنیم استخراج چهارم ریشه راست بخواهیم ازسمت را آن ارقام کنیم استخراج چهارم ریشه بخواهیماست رقم چهار دارای دور هر بار این میکنیم جدا چهار به است چهار رقم چهار دارای دور هر بار این میکنیم جدا چهار به چهار

دور هر اول مرتبه در بگیریم ریشه ازآن خواهیم می که دور عددی هر اول مرتبه در بگیریم ریشه ازآن خواهیم می که عددیاست اصم دور آن دیگر های مرتبه ودر است منطق اصم دور آن دیگر های مرتبه ودر منطق

: مثال :مثال عدد از بخواهیم عدد اگر از بخواهیم کنیم 79302845617930284561اگر استخراج چهارم کنیم ریشه استخراج چهارم ریشه

میکنیم جدا چهار به چهار راست سمت از آنرا میکنیم ارقام جدا چهار به چهار راست سمت از آنرا ارقام7799.302.30288.456.45611

45614561 ورقم اول ورقم دور اول عدد 11دور است واقع آن اول مرتبه عدد در است واقع آن اول مرتبه دور دور 30283028درورقم است ورقم دوم است دارد 88دوم قرار آن اول مرتبه دارد در قرار آن اول مرتبه در

های مرتبه در چهارم ریشه برای کاشانی گفته به رنگ قرمز های ارقام مرتبه در چهارم ریشه برای کاشانی گفته به رنگ قرمز ارقاماصم های مرتبه در ریشه همان برای ارقام وبقیه اند واقع اصم منطق های مرتبه در ریشه همان برای ارقام وبقیه اند واقع منطق

دارند دارند قرار قرار

جذر جذر استخراج استخراج333311778811

2255

88

774499

6688

66887766

55

11114466

110077

55

جذر استخراج مثالی با جذر ابتدا استخراج مثالی با ابتداساده 331781331781عدد عدد روش با ساده را روش با را

کنیم می نقل کاشانی کنیم شده می نقل کاشانی شده عدد این عدد جذر این باقیمانده 576576جذر باقیمانده و و

است است 55آن آن سمت 331781331781عدد عدد از سمت را از را

رقمی دو دورهای به رقمی راست دو دورهای به راستتشریح برای کنیم می تشریح جدا برای کنیم می جدا

عده جذر استخراج عده عمل جذر استخراج عملیعنی ) جذر یعنی ) صدگان جذر ( ( 55 ]]0000[ [ صدگان

حرف حرف رابا آن aaرابا دهگان آن وعده دهگان وعدهحرف( 77 ]]00[[یعنی) یعنی) با حرف( را با bbرا

حرف با را آن یکان حرف ورقم با را آن یکان ccورقمدهیم می دهیم نشان می نشان

ردیردیف ف

جذرجذرa5 7 6b c

333311778811 صحیح عدد بزرگترین صحیح ابتدا عدد بزرگترین می aaابتدا بقسمی می را بقسمی را

باشیم داشته که باشیم یابیم داشته که >>q q a² a² = =3333 ]]17811781[ [ یابیم عدد ترتیب این عدد به ترتیب این می = = 55aa ]]0000[ [ به می حاصل حاصل

مرتبه در جذر ردیف در را عدد این مرتبه شود در جذر ردیف در را عدد این شودبه همچنین و نویسیم می سوم دور به اول همچنین و نویسیم می سوم دور اول

فاصله در جدول پائین در آن فاصله محاذات در جدول پائین در آن محاذاتکنیم می ثبت کنیم مناسب می ثبت مناسب

2525 ]]00000000[ [ سپس سپس= = a²a² از از را = = 3333qq ]]17811781[ [ رایعنی حاصل کرده یعنی کم حاصل کرده زیر 88 ]]00000000 [ [ کم در زیر را در را

نویسیم 3333 ]]17811781[ [ نویسیم می می رقم باالی در رقم بعد باالی در جدول 55بعد پائین در جدول که پائین در که

حوزه از را وآن رسم افقی خطی حوزه نوشتیم از را وآن رسم افقی خطی نوشتیمعدد آن جای به و کنیم می خارج عدد عمل آن جای به و کنیم می خارج ]]0000[ [ عمل

1010a= a= 22 درباالی راست طرف به رقم یک درباالی را راست طرف به رقم یک را . عدد آنگاه نویسیم می . خط عدد آنگاه نویسیم می قسمی bbخط قسمی رابه رابه

که : کنیم که :جستجومی کنیم جستجومی a²a² )2a+b(b<=q)2a+b(b<=q--

[[0000]]1010 یعنییعنیb+b²<=817]81[b+b²<=817]81[عددعددb=7b=7 رقم یابیم رقم رامی یابیم اول 77رامی اول رادرمرتبه رادرمرتبه

رادرپایین آن وهمچنین نویسیم می رادرپایین ودوردوم آن وهمچنین نویسیم می ودوردومراست سمت راست جدول سمت این 1010جدول به کنیم می این ثبت به کنیم می ثبت

: آید می :نحوعددزیربدست آید می نحوعددزیربدست2a+b=107]0[2a+b=107]0[

جذر جذر ردیف 5ردیف

5

2 5

8

1 0

7

7

7

333311778811

2255

88

77

110077

55

((2a+b2a+b))b=107]0[×7]0[b=107]0[×7]0[ شود می کنیم می شود راحساب می کنیم می این این [[0000]]749749راحساب

یعنی اول یعنی عددراازباقیمانده اول کم کم 817817عددراازباقیماندهشود می شود میکنیم می درباالی [[0000]]6868میکنیم درباالی سپس سپس

کنیم [[00]]107107 می رسم افقی خط کنیم یک می رسم افقی خط یکمینماییم خارج عمل راازحوزه مینماییم وآن خارج عمل راازحوزه وآن

عدد عدد ودرعوض رقم ]2a+2b=114]0[2a+2b=114]0ودرعوض رقم رایک رایکمذکورمی خط درباالی راست طرف مذکورمی به خط درباالی راست طرف به

نوسیم نوسیم رقم رقم وباالخره می ccوباالخره جستجو می راقسمی جستجو راقسمی

باشیم داشته که باشیم کنیم داشته که کنیم((2a+2b+c2a+2b+c))c<=q-a²-)2a+b(bc<=q-a²-)2a+b(bیعنییعنی1140c+c²<=68811140c+c²<=6881 ورقمورقمc=6c=6 و یابیم و رامی یابیم یکان 66رامی رقم یکان راکه رقم راکه

می دوراول یکان درمرتبه می جذراست دوراول یکان درمرتبه جذراسترقم ومانندقبل رقم نوسیم ومانندقبل رانیزدرپایین رانیزدرپایین 66نوسیم

راست راست ودرسمت نوسیم [[00]]11401140ودرسمت نوسیم می می c=6876c=6876((2a+2b+c2a+2b+c))وو

باقیمانده 68816881راازعددراازعدد کنیم می باقیمانده کم کنیم می کمیعنی یعنی جذر آید 55جذر می آید بدست می بدست

ردیف ردیف 5577جذرجذر

4 9

6 8

1 1 4

6

6

6 8 7 6

55

5 7 6 جذر نتیجه

بر مبنی جذر استخراج گذشت که آنچه بر بر بنا مبنی جذر استخراج گذشت که آنچه بر بناباشد می زیر باشد اتحاد می زیر اتحاد((a+b+ca+b+c )…+ )…+²= ²=

=a²+)2a+b(^b+)2a+2b+c(^c=a²+)2a+b(^b+)2a+2b+c(^c…+…+

نتیجه:نتیجه:

اصطالحی اصطالحی کسر کسر

مانند مانند اگرعددی باشدکاشانی +…+…T=a+b+cT=a+b+cاگرعددی نداشته باشدکاشانی جذردرست نداشته جذردرستراکسراصطالحی کندوآن می جذراضافه باقیمانده به راکسراصطالحی کسری کندوآن می جذراضافه باقیمانده به کسری

نامد نامد می می جذرعدد کاشانی قبل جذرعدد درمثال کاشانی قبل با 331781331781درمثال با رامساوی رامساوی576576 5/11535/1153 اصطالحی راجذرتقریبی داردوآن می اصطالحی محسوب راجذرتقریبی داردوآن می محسوب

. نامد .می نامد می کسر کسر صورت عدد v=5/1153v=5/1153صورت جذریعنی باقیمانده عدد همان جذریعنی باقیمانده است است 55همان

آن آن ومخرج جدول 2a+2b+c=11462a+2b+c=1146ومخرج عددپایین آخرین جدول که عددپایین آخرین کهدرواقع c=6c=6رابارابا کندیعنی می اضافه آن واحدبه ویک کرده درواقع جمع کندیعنی می اضافه آن واحدبه ویک کرده جمع

((576576 ) )²²=)=)55(/(/22**576+1576+1))- - v=5/))577( ²v=5/))577( ² صورت اگرجذربه طورکلی صورت به اگرجذربه طورکلی آن +…+…T=a+b+cT=a+b+cبه آن وباقیمانده وباقیمانده

rr باشدداریم باشدداریمv=r/)T+1( ²-)T( ²=r/2T+1v=r/)T+1( ²-)T( ²=r/2T+1 ودستوراستخراج ودستوراستخراجاست است جذراین ½½)T+r/)2T+1(T+r/)2T+1(==)T²+r()T²+rجذراین

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط ام ازعدد مثال عنوان ازعدد به مثال عنوان می 4424089950619744240899506197به استخراج پنجم می ریشه استخراج پنجم ریشه

کنیم کنیم

های- الفالف بدسته راست راازسمت عددمفروض های- ارقام بدسته راست راازسمت عددمفروض رقمی رقمی 55ارقامازیکدیگرجدامی مضاعف قائم خطوط هارابا وآن کنیم می ازیکدیگرجدامی تفکیک مضاعف قائم خطوط هارابا وآن کنیم می تفکیک

می ازیکدیگرمجزا ساده قائم عددراباخطوط ارقام ونیزهمه می نمائیم ازیکدیگرمجزا ساده قائم عددراباخطوط ارقام ونیزهمه نمائیمبه عددمفروض به کنیم عددمفروض ازسمت 33کنیم آن اول دور که شود می ازسمت دورتقسیم آن اول دور که شود می دورتقسیم

عدد عدد راست دارد 0619706197راست چهاررقم فقط آن آخر ودور دارد است چهاررقم فقط آن آخر ودور 44244424است44244424||||0899508995|| || 0619706197

تشکیل عددمفروض زیر در شکل مستطیل افقی صف پنج تشکیل سپس عددمفروض زیر در شکل مستطیل افقی صف پنج سپسچهارم قوه عددوصف صف آنهارا ترتیب به پائین وازباالبه دهیم چهارم می قوه عددوصف صف آنهارا ترتیب به پائین وازباالبه دهیم میعدد ودرباالی نامیم می پائین وصف دوم قوه صف سوم قوه عدد وصف ودرباالی نامیم می پائین وصف دوم قوه صف سوم قوه وصف

وآن دهیم می تشکیل ریشه نوشتن برای ای خانه نیز وآن مفروض دهیم می تشکیل ریشه نوشتن برای ای خانه نیز مفروضنامیم می خارج نامیم راسطر می خارج راسطر

خارج سطر

به عدد صففرض

پنجم قوه آنکه

باشدقوه قوه صف صف

چهارمچهارم

قوه قوه صف صفسومسوم

دوم قوه دوم صف قوه صف

پایه پایه صف صف

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط امچپ- بب سمت رقم نخستین تعیین چپ- برای سمت رقم نخستین تعیین برای

دور نخستین پنجم ریشه مطلوب دور ریشه نخستین پنجم ریشه مطلوب ریشهعدد ) یعنی چپ عدد ) سمت یعنی چپ یک( 44244424سمت که یک( را که را

ارقام کردن امتحان با است ارقام رقمی کردن امتحان با است رقمیمی حاصل عددپنج یابیم می می مختلف حاصل عددپنج یابیم می مختلف

دور 55شوداین شوداین منطق مرتبه دور رادرباالی منطق مرتبه رادرباالیرقم درباالی یعنی رقم سوم درباالی یعنی نویسیم نویسیم میمی44سوم

محاذات به پایه صف پایین رادر آن محاذات ونیز به پایه صف پایین رادر آن ونیزقوای 55 سپس کنیم می ثبت قوای فوقانی سپس کنیم می ثبت فوقانی

عدد عدد متوالی همنام 55متوالی صفهای همنام رادرپایین صفهای رادرپایینمربع که ترتیب این به نویسم می مربع خود که ترتیب این به نویسم می خود

یعنی یعنی آن دوم 2525آن قوه صف دوم رادرپایین قوه صف رادرپایینیعنی آن یعنی ومکعب آن صف 125125ومکعب پایین صف رادر پایین رادر

پنجم قوه تا ترتیب همین وبه سوم پنجم قوه قوه تا ترتیب همین وبه سوم قوهبه نویسیم می مفروض عدد به رادرصف نویسیم می مفروض عدد رادرصف

ازاین هریک یکان که ازاین قسمی هریک یکان که قسمیمنطق مرتبه محاذات به منطق اعداددرست مرتبه محاذات به اعداددرست

قرارگیردوزیر مربوط قرارگیردوزیر دور مربوط خط خط 31253125دوراول ازدور را وآن کنیم می رسم اول افقی ازدور را وآن کنیم می رسم افقی

خط زیر را وباقیمانده کنیم می خط کم زیر را وباقیمانده کنیم می کمنویسیم می نویسیم افقی می افقی

قوه قوه امام55

قوه قوه امام44

قوه قوه امام33

قوه قوه امام22

قوه قوه پایهپایه

5

4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7

5

25

125

625

3 1 2 51 2 9 9

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط امریشه- :جج رقم دومین تعیین ریشه- :برای رقم دومین تعیین برای11(.(. چهارم قوه صف چهارم برای قوه صف راکه 55( ( برای راکه هایی هایی

بودیم عددنوشته ودرصف پایه بودیم درصف عددنوشته ودرصف پایه درصفیعنی وحاصل کنیم می جمع یعنی باهم وحاصل کنیم می جمع باهم

درباالی 1010 پایه درباالی رادرصف پایه نویسیم 55رادرصف نویسیم می می یعنی 1010سپس سپس یعنی رادرعددسطرخارج رادرعددسطرخارج

حاصل 55 کرده حاصل ضرب کرده قوه 5050ضرب قوه رادرصف رادرصفآن یکان رقم بطوریکه نوسیم می آن دوم یکان رقم بطوریکه نوسیم می دوم

دوراخیرواقع منطق مرتبه دوراخیرواقع درستون منطق مرتبه درستونو و شود وحاصل 2525رابا رابا 5050شود کنیم می وحاصل جمع کنیم می جمع

مینویسیم.مینویسیم.5050رادرباالی( رادرباالی( 7575))7575وحاصل )55رادررادر کنیم می وحاصل )ضرب کنیم می ( ( 375375ضرب

عدد وبا نوشته سوم قوه صف در عدد را وبا نوشته سوم قوه صف در راکنیم می جمع صف آن در کنیم قبلی می جمع صف آن در قبلی

باالی( 500500وحاصل )وحاصل ) در باالی( را در می می 375375رانویسیمنویسیم

در 500500حال حال در را میکنیم 55را میکنیم ضرب ضربرا ) را )وحاصل چهارم( 25002500وحاصل قوه صف چهارم( در قوه صف در

وبا وبا نوشته میکنیم 625625نوشته میکنیم جمع جمعمی( 31253125وحاصل)وحاصل) آن باالی در می( را آن باالی در رانویسیمنویسیم

قوه قوه امام55

قوه قوه امام44

قوه قوه امام33

قوه قوه امام22

قوه قوه پایهپایه

5

4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7

5

25

125

625

1 2 9 9

10

5075

375500

25003125

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط ام22 ( . ( . سوم قوه صف سوم برای قوه صف را را 55( ( برای

نوشته 1010با با پایه صف در نوشته که پایه صف در کهوحاصل کنیم می جمع وحاصل بودیم کنیم می جمع بودیم

باالی( 1515را)را) باالی( در می می 1010درنویسیم نویسیم

در 1515باز باز در را کنیم 55را می کنیم ضرب می ضربرا ) را )وحاصل قوه( 7575وحاصل صف قوه( در صف در

باالی در باالی دوم در آن 7575دوم وبا آن نوشته وبا نوشتهوحاصل ) کنیم می وحاصل )جمع کنیم می ( ( 150150جمع

باالی در باالی را در نویسیم 7575را نویسیم می می در 150150باز باز در را می 55را می ضرب ضرب

حاصل ) و حاصل )کنیم و قوه( 750750کنیم در قوه( را در راباالی در باالی سوم در می 500500سوم می قبلی قبلی

می جمع هم با را وآنها می نویسیم جمع هم با را وآنها نویسیمیعنی وحاصل یعنی کنیم وحاصل در 12501250کنیم در را را

نویسیم 750750باالی باالی نویسیم می می

قوه قوه امام55

قوه قوه امام44

قوه قوه امام33

قوه قوه امام22

قوه قوه 10پایهپایه

0 6 1 9 70 8 9 9 54 4 2 4

5

1 2 9 9

75

500

3125

15

75150

7501250

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط ام

33(.(. دوم قوه صف دوم برای قوه صف را را 55( ( براینوشته 1515با با پایه صف در نوشته که پایه صف در که

وحاصل کنیم می جمع وحاصل بودیم کنیم می جمع بودیمباالی( 2020را)را) باالی( در می می 1515در

نویسیمنویسیم در 2020باز باز در را می 55را می ضرب ضرب

را ) وحاصل را )کنیم وحاصل در( در( 100100کنیمباالی در دوم قوه باالی صف در دوم قوه 150150صف

کنیم می جمع آن وبا کنیم نوشته می جمع آن وبا نوشتهباالی( 250250وحاصل )وحاصل ) در باالی( را در را

نویسیم 100100 نویسیم می می

قوه قوه امام55

قوه قوه امام44

قوه قوه امام33

قوه قوه امام22

قوه قوه پایهپایه

5

150

1250

3125

4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 71 2 9 9

1520

100250

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط ام

44(.(. پایه صف پایه برای صف با 55 ( ( برای با را رانوشته 2020 پایه صف در نوشته که پایه صف در که

وحاصل کنیم می جمع وحاصل بودیم کنیم می جمع بودیمباالی( 2525را)را) باالی( در می می 2020در

نویسیم نویسیم عدد پایه صف در عدد اکنون پایه صف در 2525اکنون

عدد قوه صف عدد ودر قوه صف در در 250250ودرعدد سوم قوه عدد صف سوم قوه 12501250صف

عدد چهارم قوه صف عدد ودر چهارم قوه صف ودراست 31523152 شده است نوشته شده نوشته

قوه قوه امام55

قوه قوه امام44

قوه قوه امام33

قوه قوه امام22

قوه قوه پایهپایه

54 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 71 2 9 9

3125

1250

250

2025

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط ام -انتقال را فوق اعداد باید اینک انتقال- د را فوق اعداد باید اینک د

قوه صف در که را عددی قوه دهیم صف در که را عددی دهیمیعنی ) شده نوشته یعنی )چهارم شده نوشته 31253125چهارم

راست( سمت به رقم یک راست( را سمت به رقم یک راسطر یک ودر دهیم می سطر انتقال یک ودر دهیم می انتقال

در که را وعددی نویسیم می در باالتر که را وعددی نویسیم می باالترشده نوشته سوم قوه شده صف نوشته سوم قوه صف

سمت( 12501250یعنی)یعنی) به رقم دو سمت( را به رقم دو رایک ودر دهیم می انتقال یک راست ودر دهیم می انتقال راست

را وعددی نویسیم می باالتر را سطر وعددی نویسیم می باالتر سطرشده نوشته دوم قوه صف در شده که نوشته دوم قوه صف در که

سمت( 250250یعنی)یعنی) به رقم سه سمت( را به رقم سه رایک ودر دهیم می انتقال یک راست ودر دهیم می انتقال راست

بالخره و نویسیم می باالتر بالخره سطر و نویسیم می باالتر سطرنوشته پایه صف در که را نوشته وعددی پایه صف در که را وعددی

یعنی ) یعنی )شده به( 2525شده رقم چهار به( را رقم چهار راودر دهیم می انتقال راست ودر سمت دهیم می انتقال راست سمت

. به نویسیم می باالتر سطر . یک به نویسیم می باالتر سطر یکپایه صف در که عددی ترتیب پایه این صف در که عددی ترتیب این

یعنی ) ایم نوشته انتقال از یعنی )پس ایم نوشته انتقال از ( ( 2525پسمرتبه محاذات به یکانش مرتبه مرتبه محاذات به یکانش مرتبهگیرد می قرار دوم دور گیرد دهگان می قرار دوم دور دهگان

قوه قوه امام55

قوه قوه امام44

قوه قوه امام33

قوه قوه امام22

قوه قوه پایهپایه

0 6 1 9 70 8 9 9 554 4 2 41 2 9 9

3125

1250

250

25

312 5

12 50

250

25

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط ام -یک عدد جستجوی در باید اکنون یک- ه عدد جستجوی در باید اکنون ه

مانند مانند رقمی که mmرقمی طوری به که برآئیم طوری به برآئیمراست درسمت پایه درصف راست اگرآنرا درسمت پایه درصف 2525اگرآنرا

تا تا بنویسیم حاصل حاصل mm+25*10 +25*10 m =m =2525بنویسیمشود شود

در را عدد این در وسپس را عدد این کرده mmوسپس کرده ضرب ضربداده انتقال دوم قوه صف در آنچه داده با انتقال دوم قوه صف در آنچه باجمع مراتب گرفتن نظر در با جمع بودیم مراتب گرفتن نظر در با بودیم

کنیم کنیم می می در را در وحاصل را آنچه mmوحاصل با و کنیم آنچه ضرب با و کنیم ضرب

در با بودیم نوشته سوم قوه صف در در با بودیم نوشته سوم قوه صف درکنیم می جمع مراتب گرفتن کنیم نظر می جمع مراتب گرفتن نظر

در را حاصل در وباز را حاصل کرده mmوباز کرده ضرب ضربچهارم قوه صف در آنچه با را چهارم ونتیجه قوه صف در آنچه با را ونتیجه

را اخیر حاصل کنیم می جمع را بود اخیر حاصل کنیم می جمع بودعدد صف در چپ سمت دور در عدد ازآنچه صف در چپ سمت دور در ازآنچه

کنیم می کم است شده کنیم نوشته می کم است شده نوشته

قوه قوه امام55

قوه قوه امام44

قوه قوه امام33

قوه قوه امام22

قوه قوه پایهپایه

0 6 1 9 70 8 9 9 54 4 2 41 2 9 9

312 5

12 50

2 5 0

25m

M = 3

3

7592 5 7 5 9

7 7 2 7 71 3 2 7 2 7 7

39 8 1 8 3 1352 3 1 8 3 1

5 3

1 0 5 6 9 5 4 9 3 2 4 2 1 3 5 0 2

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط ام که را اعمالی تمام باید که اینک را اعمالی تمام باید اینک

رقم رقم درباره در 55درباره دادیم در انجام دادیم انجامعدد عدد مورد از 33مورد پس دهیم از انجام پس دهیم انجام

اعمال این اعمال انجام این انجام پایه پایه درصف 265265درصف دوم قوه دوم درصف قوه 2809028090درصف سوم قوه سوم درصف قوه 14887701488770درصف چهارم قوه چهارم درصف قوه درصف

3945240539452405 عدد پنجم ریشه نتیجه عدد ودر پنجم ریشه نتیجه 536536ودر

ریشه این ریشه وباقیمانده این می می 2121وباقیماندهباشدباشد

قوه قوه امام55

قوه قوه امام44

قوه قوه امام33

قوه قوه امام22

قوه قوه پایهپایه

2 6 5

2 8 0 9 0

1 4 8 8 7 7 0

3 9 4 5 2 4 0 5

5 34 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7

5 3 6

21

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط ام

ریشه اینکه برای ریشه کاشانی اینکه برای باشد 536536کاشانی باشد دقیقتر دقیقترافزاید می آن به افزاید کسری می آن به کسری

536 +21

([537^)5([-]536^)5]

= 536 21414 237 740 281

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط ام

ریشه ریشه اگر را nnاگر را ام را TTام آن را وباقیمانده آن بنامیم بنامیم rrوباقیماندهریشه به باید اصالح برای که ریشه کسری به باید اصالح برای که افزود nnکسری افزود ام ام

: از است : عبارت از است عبارت

کلی طور کلی به طور به

r

([T+1^)n(-]T^)n

ریشه ریشه استخراج کاشانی nnاستخراج توسط کاشانی ام توسط ام

که را اعدادی اصطالحی مخرج محاسبه که برای را اعدادی اصطالحی مخرج محاسبه برایاست آمده بدست چهارگانه صفهای فوق است در آمده بدست چهارگانه صفهای فوق در

تا افزائیم می آنها به واحد ویک کرده جمع تا باهم افزائیم می آنها به واحد ویک کرده جمع باهمشود حاصل اصطالحی شود مخرج حاصل اصطالحی 0 8 0 8 5 9 4 9 6 2 1 4مخرج

1 5 3 9 9 0 6 5 6 0

2 8 7 2 9 6 0

2 6 8 0

4 1 4 2 3 7 7 4 0 2 8 1

+ قوه صفچهارم

سوم قوه صف

دوم قوه صف

پایه صف

اضافه به فوق اعداد مجموعیک

محاسبه محاسبه دستور xª-yªxª-yªدستور

:خواهیم )مثال: مثال خواهیم )می کنیم( 55̂^55 (-) (-)44̂^55می حساب کنیم( را حساب را می تشکیل کوچکترند پنجم قوه از که قوای برای می صفوفی تشکیل کوچکترند پنجم قوه از که قوای برای صفوفی

می ستون یک در را پنجم به مربوط اصول آنها ودر می دهیم ستون یک در را پنجم به مربوط اصول آنها ودر دهیمیعنی کوچکتر عدد دیگر ودرستون یعنی نویسیم کوچکتر عدد دیگر ودرستون پایه 44نویسیم صف در پایه را صف در را

سوم قوه صف در آنرا ومکعب دوم قوه صف در آنرا سوم ومربع قوه صف در آنرا ومکعب دوم قوه صف در آنرا ومربعسپس نویسیم می چهارم قوه صف در را آن چهارم قوه سپس و نویسیم می چهارم قوه صف در را آن چهارم قوه واز خود نظیر عدد در شده واقع صف هر در که را از اعدادی خود نظیر عدد در شده واقع صف هر در که را اعدادی

ستون در را ها حاصل و کنیم می ضرب ها قوه ستون ستون در را ها حاصل و کنیم می ضرب ها قوه ستونحاصل ستون در که را اعدادی وبعد نویسیم می حاصل دیگری ستون در که را اعدادی وبعد نویسیم می دیگری

به واحد یک و کنیم می جمع هم با شده نوشته به ضربها واحد یک و کنیم می جمع هم با شده نوشته ضربهاعدد افزائیم می جمع عدد حاصل افزائیم می جمع آید 21012101حاصل می آید بدست می بدست

محاسبه محاسبه دستور xª-yªxª-yªدستور

عدد حاصلضربهاحاصلضربها عدد قوای قوه 44قوای قوه اصول اصولپنجمپنجم

صفوفصفوف

قوه 1280128025625655 قوه صف صفچهارمچهارم

قوه 64064064641010 قوه صف صفسومسوم

قوه 16016016161010 قوه صف صفدومدوم

پایه 20204455 پایه صف صف2100

1

2101

حاصلجمع

محاسبه محاسبه دستور xª-yªxª-yªدستور

مثل متوالی غیر عدد دو از قوه یک تفاضل بخواهیم گاه مثل هر متوالی غیر عدد دو از قوه یک تفاضل بخواهیم گاه هرجدول( 77̂^55(-)(-)44̂^55 ) ) به دیگری ستون آوریم بدست جدول( را به دیگری ستون آوریم بدست را

عدد دو تفاضل متوالی قوای آن ودر کنیم می اضافه عدد قبلی دو تفاضل متوالی قوای آن ودر کنیم می اضافه قبلیصف 77--44==33یعنی یعنی در تفاضل که قسمی به نویسیم می صف را در تفاضل که قسمی به نویسیم می را

در آن ومکعب سوم قوه صف در آن ومربع چهارم در قوه آن ومکعب سوم قوه صف در آن ومربع چهارم قوهگیرد قرار پایه صف در آن چهارم وقوه دوم قوه گیرد صف قرار پایه صف در آن چهارم وقوه دوم قوه صف

اند شده واقع ها ضرب حاصل ستون در را اعدادی اند سپس شده واقع ها ضرب حاصل ستون در را اعدادی سپسکنیم می ضرب تفاضل قوای ستون از آنها نظیر اعداد کنیم در می ضرب تفاضل قوای ستون از آنها نظیر اعداد درپنجم قوه و کنیم می جمع هم با را اخیر ضربهای پنجم وحاصل قوه و کنیم می جمع هم با را اخیر ضربهای وحاصل

یعنی یعنی تفاضل حاصل( 33̂^55=)=)243243تفاضل عدد افزائیم می آن به حاصل( را عدد افزائیم می آن به را. است مطلوب قوای تفاضل .همان است مطلوب قوای تفاضل همان

محاسبه محاسبه دستور xª-yªxª-yªدستورحاصل حاصل ضربها ضربها

دومدوم

قوای قوای 33عدد عدد

حاصل حاصل ضربهاضربها

قوای قوای 44عدد عدد

اصول اصول قوه قوه پنجمپنجم

صفوفصفوف

صف صف 3840312802565قوه قوه

چهارمچهارم

صف صف 576096406410قوه قوه سومسوم

صف صف 4320271601610دوم دوم قوه قوه

صف صف 1620812045پایهپایه

15540243

15783