第十七章 分式

相应的公式

22))(()5(

)())(4(

)())(3(

)()(2

(

)(1

bababa

ma

b

a

b

mbaab

nmaa

nmaaa

nmaaa

m

mm

mmm

mnnm

nmnm

nmnm

平方差公式：

是整数

是整数

是整数、）（

是整数）、

是整数、）（

3322

3322

222

222

))(()8(

))(()7(

2)(

2)()6(

babababa

babababa

bababa

bababa

立方差公式：

立方和公式：

完全平方公式：

abxbaxbxax

acbcabcbacba

babbaaba

babbaaba

)())()(12(

222))(11(

33))(10(

33))(9(

2

2222

32233

32233

下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

5x-7, 3x2-1, 123ab

7)( pnm

-5, 12

22

xyxyx

7m

cb54

试着自己举出分式的例子

（ 1 ）当 a=1 ， 2 时，分别求分式 的值。 a

a2

1

（ 2 ）当 a 取何值时，分式 无意义？aa2

1

（ 4 ）当 a 取何值时，分式 值为零？aa2

1

(3 ）当 a 取何值时，分式 有意义？aa2

1

当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （ ）

（ A）

22x

（ B） 2

12 x

( C) 21x

（ D） x1

1

在分式 中，当 x 为何值时，分式有意义？分式的值为零？

3

3

x

x

B

5312

xx　　例１　对于分式

（１）当 x 取什么数时，分式有意义？

（２）当 x 取什么数时，分式的值是零？

（３）当 x ＝１时，分式的值是多少？

最简公分母的确定• 如果分母是单项式时，最简公分母是：①系数取最

小公倍数；②字母取所有字母；③字母的次数取所有字母的最高次幂。

• 如果分母是多项式时，应该先考虑分解因式，再确定最简公分母。

44

1

2

2)2(

3

2

2

31)1(

22

32

xx

x

xx

xcxbxax

与通分：

、与通分：例：

分式的意义• 分式有意义：分母不等于零• 分式的值等于零：分子等于零，分母不等于零

23

2)3(

2

6)2(

11

5.0)1(

.1

2

xx

x

x

x

x

x

x ？为何值时，分式有意义

16

)1)(4()2(

34

11

.2

22

x

xx

xx

x

x

）（

零？为何值时，分式的值为当

分式的符号• 分式的值为正：分子、分母同号；（ A>0 ， B>0

或 A<0,B<0 ）• 分式的值为负：分子、分母异号；（ A>0,B<0 或 A

<0,B>0)

B

A

的值为整数？为何值时，分式：当例

值时为负？

为何的值为正，为何值时，分式：当例

2

62

2

31

xx

xx

xx

分式的性质

分式的性质用于符号的改变；分式的化简（约分）；把异分母分式化成同分母分式（通分）。

是不等于零的整式）（其中MBM

AM

B

A

分式运算的技巧

11

1

1

1

1

1

1

1

1

44

4

2

4

2

42

2

2

2

2

aa

a

xxxx

xx

x

xx

xx

例：

三、用整体思想解题：

例：

二、分步通分的方法：

例：

一、先约分再计算：

巧求分式的值

的值。求

，都不等于、且：已知例

ba

ba

bababa

0,0231 22

求分式的值，只要由条件求出字母的值代入便可求出。本题右边为 0 ，左边可以分解因式，这样可以求出 a 、 b 的关系代入即可。

的值。求：已知例22

22

736

243,32

yxyx

yxyx

y

x

代入即可。可得由的形式；

把结论中的分式化成这个条件。本题可以灵活运用

,33)2(

)1(3

yxy

x

y

x

y

x

注意利用分式的性质

111

,13cac

c

bbc

b

aab

aabc 则：已知例

11

1

11

11

abaaba

ab

aba

aabccac

c

aababc

ab

aba

aabc 原式解：

注意去倒数的技巧

的值是多少。那么

均为实数，且、、：已知例

acbcab

abc

ca

accb

bc

ba

abcba

,5

14

1,

3

14

6

11

6111

511

),2(411

),1(311

,3

abcacbcab

cba

accb

baab

ba

原式

同理得：

即解：由已知可得

例题讲解

473

2

2076

4

2

156.4

23

8)1(

1

3)1(.3

)()().(2

)()().(1

2

2

2

2

2

2

234

32

3222

32

42

xx

xx

xx

x

xx

xx

aaa

aa

a

a

yx

xyx

xy

yx

a

b

a

b

b

a

计算下列各式：

计算下列各式：

11

1

43

2.4

2.3

11

.2

2333.1

2

2

2

x

x

xx

xba

bba

aa

a

ab

ba

ba

ba

ba

a

计算下列各式：

)1

11(]

1

11)

1

2.[(4

)]11

()(

2)

11(

)(

1[.3

3

42)2

2

5.(2

34

12

1

3

1

1.1

3

2

232

322233

2

2

2

xx

x

xxxx

xx

babaabbaba

a

aa

a

xx

xx

x

x

x

• 概念：分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程。

• 解分式方程的步骤： • 将分式方程转化为整式方程（方程两边同

时乘以最简公分母；换元）• 解整式方程• 检验（验根）• 写出方程的解

分 式 方 程

解分式方程易错点分析

3

23

4

233

01

3

1

52

23

1

3

21

2

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

、解方程：例

可能为零的整式三、方程两边同时除以

、解方程：例

多项式不加括号二、去分母时，分子是

、解方程：例

最简公分母一、去分母时常数漏乘

分式方程巧解四法

12

2)

2

1

2

1(2

2

1

12

2

4

4

2

1

87

1

7

8

2

xxxx

xx

x

x

xx

x

解：原方程可化为

例：解方程

分成两个分式）二、巧分（把一个分式

例、解方程：

式合并）一、巧并（把同分母分

是原方程的解。经检验，

则解：设

例：解方程

四、巧设参

例：解方程

三、巧用分子相等

例：解方程

55

1725

72,52

75

6

6090

3

3

)3)(2(

1

)2)(1(

1

xx

kkk

kxkxxx

xx

xxxxx

解下列分式方程

7

8

5

6

3

4

1

2)4

23

3

23

23)3

1

6

1

3

1

2)2

4

5

4

11)1

2

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

xxxx

x

x

x

增根的定义

增根 : 在去分母 , 将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根 .

产生的原因 : 分式方程两边同乘以一个零因式后 , 所得的根是整式方程的根 , 而不是分式方程的根 .····

····

使分母值为零的根······

···

的值。有增根，求

的方程例：若关于

ax

x

x

a

x

xx

2

2

42

22

1616

22

22

)2()2

422

2

aa

xx

xx

xax

x

或：分别代入整式方程可得和将

或若方程有增根，只能是（

得：解：方程两边都乘以

例 1 ：某两班学生利用双休日到距学校 12 千米的烈士陵园扫墓、植树，一部分人骑自行车，其余的人乘汽车。已知汽车的速度是自行车的速度的 3 倍。如果骑自行车的人先走，半小时后，乘汽车的人出发，结果他们同时到达，求两种车的速度。

速度( 千米 / 小

时 )

时间( 小时 )

路程( 千米 )

自行车

汽 车

自行车所行的时间 - 汽车所行的时间 =1/2

1212

x

3x

12/x

12/3X

例 2 ：甲乙两班学生进行植树活动，甲班单独完成任务比乙班单独完成任务少用 50 分钟，若甲、乙两班一起植树 1 小时可以完成，问甲、乙两班单独植树，各需几分钟完成？

工作效率 工作时间 工作量

甲

乙

1/x

1/(x+50)

60

60

60/x

60/(X+50)

甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 工作总量