斐波那契数列在初中数学竞赛中的应用

温州新星学校 易永彪 yyb173@126.com

“十秒钟加数”

请用十秒，计算出左边一条加数的答案。

12358

13213455

+ 89??

时间到！

数学活动：

答案是 231.

“十秒钟加数”

换一个试试！

345589

144233377610987

1597+ 2584

????

时间到！答案是 6710 。

数学活动：

细看这两个数列：12358

13213455

+ 89231

345589

144233377610987

1597+ 2584

6710

您有什么发现吗？

问题的提出• 在 1202 年，斐波那契在他的著作中，

提出以下的一个问题：• 假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大

兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子 ?

这就是著名的“兔子问题”

合作探究：

1 月 1 对

1 月 1 对2 月 1 对

合作探究：

1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对

合作探究：

1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对

合作探究：

1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对

合作探究：

1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对6 月 8 对

合作探究：

1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对6 月 8 对7 月 13 对

合作探究：

• 可以将结果以表格形式列出：1 月 2 月 3 月 5 月4 月 6 月

7 月 8 月 9 月 11 月10 月 12 月

1 1 2 3 5 8

13 21 34 55 89 144

• 因此，兔子问题的答案是 144 对。• 以上的数列，是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘全

书》中提出的，亦被称为“斐波那契数列”

归纳小结：

斐波那契数列

这个数列有着十分明显的特点，那是：

1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ，55 ，…数列中的每一个数都被称为斐波那契数。

1 2n n na a a 前面相邻两项之和，构成了后一项。

（ n 为正整数）

连续 10个斐波那契数之和，与第 7 个数有什么关系吗？

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10a a a a a a a a a a 即：

与 有什么关系吗？7a

我们发现：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 711a a a a a a a a a a a

现在你知道“十秒钟加数”的秘密了吗？

1 2n n na a a

“十秒钟加数”的秘密：

• 我们发现： 连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7 个数的 11倍！

12358

13213455

+ 89??

• 所以右式的答案是：21 11 = 231

• 又例如：

• 右式的答案是：

345589

144233377610987

1597+ 2584

????

610 11 = 6710

“十秒钟加数”的秘密：

下图是一个树形图的生长过程，依据图中

所示的生长规律，第 16 行的实心圆点的个

数是 ．（迎春杯赛题） 610

一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？分析： 1 级台阶，有 1 种；

2 级台阶，有1 、 1 ；2 ，共 2 种；3 级台阶，有1 、 1 、 1 ；1 、 2 ；2 、 1 ；共 3 种；4 级台阶，有1 、 1 、 1 、 1 ；1 、 1 、 2 ；1 、 2 、 1 ；

2 、 1 、 1 ；2 、 2 ；共 5 种；5 级台阶，若第一次迈 1 级台阶，还剩 4 级，有几种？

若第一次迈 2 级台阶，还剩 3 级，有几种？你有什么发现？ 2 1n n na a a

加法原理

一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶。从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？分析： 1 级台阶，有 1 种；

2 级台阶，有1 、 1 ；2 ，共 2 种；3 级台阶，有1 、 1 、 1 ；1 、 2 ；2 、 1 ；3 ；共 4 种；4 级台阶，有1 、 1 、 1 、 1 ；1 、 1 、 2 ；1 、 2 、 1 ；

2 、 1 、 1 ；2 、 2 ；1 、 3 ；3 、 1 ；共 7 种；

你又有什么发现呢？ 3 2 1n n n na a a a 那 5 级台阶呢？那 6 级台阶呢？那 7 级台阶呢？

2 、有一堆火柴共 12 根，如果规定每次取 1 ～ 3 根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

考考你：

1 、一只青蛙从宽 5 米的水田的一边要跳往另一边 , 它每次只能跳 0.5 米 , 或 1 米 ,

这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法 ?

共有 89种

共有 927 种

3 、如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从 A 跳到 B ，每次可跳 1 步或 2 步；小张从 C

跳到 D ，每次可跳 1 步、 2 步或 3 步。试比较：谁跳到目标处的不同跳法多？多几种？

A       C             B   D

 

小方要跳 11 步、小张要跳 9 步。

小方有 144 种，小张有 149 种，

小张的不同跳法多，多 5 种。

斐波那契数列是 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ，……，它的前两项都是 1 ，之后的每一项都等于前两项的和。问题 1 ：在斐波那契数列的前 2010 项中，

有多少个偶数？问题 2 ：在斐波那契数列的前 2010 项中，

有多少项的末位数等于 2 ？

问题 2 ：在斐波那契数列的前 2010 项中，

有多少项的末位数等于 2 ？分析：显然要尝试按模 10 计算，即只考察其个位数 且寻求其重复的循环规律。

1 1 2 3 5 8 3 1 4 5

9 4 3 7 0 7 7 4 1 5

6 1 7 8 5 3 8 1 9 0

9 9 8 7 5 2 7 ……

前一半部分

后一半部分

问题 3 ：根据刚才探索的经验，你能尝试提出一个 新的问题吗？让你的同伴进行解决。

本节课你学到什么？

有什么收获？

同学们再见！

谢

谢