第六部分 模糊数学方法

第十一章 模糊数学方法

模糊数学的起源 • 数学是关于物质世界的空间形式和数量关

系的科学。 • 数学发展的三个阶段• 1. 数学是数、量、几何图形的科学；• 2. 数学是研究量的变化和几何图形变换的科学；• 3. 数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量

形式和空间形式的科学• 精确数学的局限性 。

模糊集合论的基础知识• 定义 11.1 从论域 U 到闭区间 [0,1] 的任意

一个映射： ，对任意 u∈U ， ， ，那么 叫做 U 的一个模糊子集， 叫做 u 的隶属函数，也记做 。

: 0,1A U Au A u

0,1A u

A

A u A u

模糊集合论的基础知识

0AA x 1AA U x

A BA B x x

A BA B x x

1 AAA x x

max ,C A BA B C x x x

min ,D A BA B D x x x

模糊集合论的基础知识• 假设给定有限论域 U={a1,a2,…,an }, 它的模

糊子集表示为：

1 2

1 2

A A A i A n

i n

a a a aA

a a a a

模糊集合论的基础知识• 例

1 2 3 4, , ,E x x x x

1 2 3 4

0.5 0.3 0.4 0.2A

x x x x

1 2 3 4

0.2 0 0.6 1B

x x x x

模糊集合论的基础知识• 设以人的岁数作为论域 U ＝ [0,120] ，单位

是“岁”，那么“年轻”，“年老”，都是 U 上的模糊子集。隶属函数如下：

• “ 年轻”（ u ）＝

• “ 年老”（ u ）＝

12

1 0 25

251 25 120

5

u

uu

12

1 0 50

251 50 120

5

u

uu

模糊集合论的基础知识• 某医生今天给五个发烧病人看病，设为 {x1,

x2,x3,x4,x5} ，其体温分别为： 38.9 ， 37.2 ，37.8 ， 39.2 ， 38.1 。医生在统计表上就可以这样写：

• 37 度以上的五人，；• 38 度以上的三人，；• 39 度以上的一人，；• 如果规定 37.5 度以下的不算发烧，问有多

少发烧病人？

模糊集合论的基础知识• 一般地，用 Aλ 表示 的集合，这个集

合就叫 λ 截集或 λ 水平集 .

• 支集，即所有 λ>0 的 λ 截集的并集 .

A x

模糊集合论的基础知识• 假定有甲乙两个顾客

商场买衣服，他们主要考虑三个因素：

• 花色式样（ x1 ）；• 耐穿程度（ x2 ）；• 价格（ x3 ）；

花色式样x1

耐穿程度x2

价格x3

顾客甲确定的隶属度

0.8 0.4 0.7

顾客乙确定的隶属度 0.6 0.6 0.5

模糊集合论的基础知识• 定义 14.2 在有限论域 X 上有两个模糊子集

和 ，其汉明距离定义如下：• 绝对汉明距离： ；

• 相对汉明距离：

A

B

1

,n

A i B ii

d A B x x

1, ,A B d A B

n

模糊集合论的基础知识• 定义 14.3 在有限论域 X 上有两个模糊子集

和 ，其欧几里得距离定义如下：• 绝对欧几里得距离： ；

• 相对欧几里得距离：

A

B

2

1

,n

A i B ii

e A B x x

1, ,A B e A B

n

模糊集合论的基础知识• 定义 14.4 设 和 为论域 U 上的两个模糊

子集，记：• 内积： ，• 外积： ，其中∧为最大下界，

∨为最小上界。• 贴近度：

A

B

A Bu U

A B u u

A Bu UA B u u

1, 1

2A B A B A B

模糊数学应用 • 模糊相似选择• 例• 由 10 名专家组成评比小组对某一行业中的三家企业甲、

乙、丙的综合效益进行评比，企业的综合效益是一个复杂系统，包括经济效益，社会效益，环境效益等，而每个专家考虑问题的角度不同，观点不同，使得难以排出一个整体的优劣次序。如发生以下情况：

• 7 人认为甲比乙好， 3 人认为乙比甲好；• 6 人认为乙比丙好， 4 人认为丙比乙好；• 8 人认为丙比甲好， 2 人认为甲比丙好；• 则如何确定一个整体上的优劣呢？

模糊数学应用• 模糊聚类 • 例：用生产工人的劳动生产率，每万元固

定资产容纳职工人数和技术管理人员在职工中的比重三项指标作为衡量一个企业技术密集程度的指标体系。

• 现有 6 家企业构成论域： U ＝ {x1,x2,x3,x4,x

5 ， x 6}

• 评价这 6 个企业的技术密集程度。

模糊数学应用• 模糊综合评价 • 模糊综合评价的一般步骤如下：• （ 1 ） 确定评价对象的因素集；• （ 2 ） 确定评语集；• （ 3 ） 作出单因素评价；• （ 4 ） 综合评价。• 例：评价某种牌号的手表 U ＝ {x1,x2,x3,x4} ，其中

x1 表示外观式样， x2 表示走时准确， x3 表示价格，x4 表示质量。

• 评语集为 V ＝ {y1,y2,y3} ，其中 y1 表示很满意， y2

表示满意， y3 表示不满意。

模糊数学模型举例 • 为评价计算机辅助英语教学的效果，我们采用了

模糊综合评判法。模糊综合评判的数学模型可以分为以下几个步骤：

• 1．建立评判对象的因素集 U ＝ {u1 ， u2… ， un} 。因素就是对象的各种属性或性能，在不同场合，也称为参数指标或质量指标，它们综合地反映出对象的质量，人们就是根据这些因素给对象评价。

• 2．建立评判集 V ＝ {v1 ， v2 ，…， vm} 。 • 3．建立单因素评判 • 4．综合评判