給學生一個驚豔的經驗：以探索為核心的幾何臆測與論證活動

臺北市立教育大學數學資訊教育學系鄭英豪 [email protected]

給學生一個驚豔的經驗給學生一個驚豔的經驗：：

以探索為核心的幾何臆測與論證活動

鄭英豪臺北市立教育大學　數學資訊教育學系


先從 PISA(數學素養 )的考題說起• 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養

水準• 個人能在多樣不同的情境之下，將情境問題轉化成數學問

題、使用數學及詮釋數學的能力• 包括數學推理及使用數學概念、程序、事實、工具來解釋

、描述及預測現象

• 我們不知道為什麼第一，也不知道為什麼退步，因為我們完全不知道素養是什麼

我國 PISA 評量成績 ( 國際排名 )

閱讀科學數學2006 16 4 1

2009 23 12 5


PISA 幾何題：例 1

這是哪一種錐體？



需要的數學知識小學學過吧？



這是小學問題



直接比較？截補策略？



讀文辨圖？



圖形周長？



積木體積？


PISA 試題的意義幾何素養不是幾歲時學會什麼的問題

PISA 考驗的是• 學過的幾何知識，以及經驗過的幾何方法能不能用出來的問題

尤其是• 人在幾何情境中，有效解決問題的知識憶取與思維運作歷程


反思幾何教學的迷思• 我們習慣以「年級」當作指標來度量學生的數學「程度」– 幾年級學過什麼、幾年級要（該）學什麼

• 也就是…– 知識、能力被「序列化」、「年級化」

• 漸漸地…– 時間還沒到的不用教、還沒教的不用會

• 但是– 知識真的不是這樣形成與被實際運用的


我的關心

• 幾何思考究竟是什麼？包含哪些成分？

• 幾何思考如何教學？如何統整成分實施？

• 我不相信幾何思考是可以用層次編序教學培養出來的– 幾何的循序漸進與數與量的算術本質上不同


幾何教與學的內涵…有哪些說法 (1)

van Hielevan Hiele 說思維層次：• visual/recognition

– 分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。 • descriptive/analysis

– 以構成要素分析圖形，發現一群圖形共有的性質。 • relational/ordering

– 提出或理解非正式論證，以邏輯聯繫已發現的性質。 • formal/deduction

– 演繹證明定理，並且建立定理的網路結構。 • rigor/axiomatic

– 學生在不同的公設系統中建立定理並且分析比較這些系統。



DuvalDuval 說了解成分：• 知覺的 (perceptual)

– 看到幾何圖形時辨識到的構形與關係• 序列的 (sequential)

– 依次序逐次作出基本單元而組合成整個圖形的瞭解• 論說的 (discursive)

– 對一個幾何圖形基本的名稱、假設、已知條件的瞭解• 操作的 (operational)

– 對圖形進行分解組合、放大縮小、平移旋轉等操作以獲得解題或論證靈感的瞭解



DuvalDuval又說幾何歷程：• 視覺 (visualization)

– 對於圖形空間表徵的認知• 表象圖形 (線條與原型形狀的組構物 )

• 洞察幾何意義 (角、平行垂直、等距等積 )

• 根據文字敘述的圖形再現

• 構圖 (construction)– 根據作圖工具對圖形的再製過程

• 推理 (reasoning)– 進行論說的過程

5(B)5(A)

2

3

視覺

構圖推理

4 1



FischbeinFischbein區分幾何物件意識：• 知覺影像 (perceptual image)

– 看到形狀、線條組、資訊的直接指涉• 圖形概念 (figural concept)

– 看見幾何結構，線段、角、關係…



VinnerVinner & Tall& Tall區分幾何概念意識：• 概念心像 (concept image)

– 心念中的第一連結物件• 有名字的形狀、看起來像的形狀

• 概念定義 (concept definition)– 抽象意念對應的幾何結構

• 具有一定特性的形狀


從來沒有誰說幾何的教與學是先形狀、元素、關係然後才推理證明

幾何的學習歷程本質上就是一直在「運思」，只是

運思的對象 ( 形體、構形 )愈來愈廣雜運思的嚴密 ( 邏輯、演繹 )愈來愈凸顯


幾何運思活動的體驗與設計

大家來經驗一下一塊正方形的蜂蜜蛋糕，要均分給 4 個人• 可以怎麼分？• 還可以怎麼分？• 為什麼每一塊都一樣？


可能引發的漸次策略• 四等分

• 平分，再平分– 等形平分– 等積平分– 等積分割

• 正方形的4

1

16

14

8

12

2

1

2

1

4

1


推向推論與論證• XXX 這樣分可以嗎？為什麼？

• 等積的方法

• 等形的方法

＝＝

＝＝


孩子有哪些巧思


這樣做照顧了… van Hielevan Hiele 思維層次• visual/recognition

–分辨、稱呼、比較及操弄正方形與子圖 • descriptive/analysis

–描述子圖的構成，指出均分的意義 • relational/ordering

–提出各子圖為均分的原因 • formal/deduction• rigor/axiomatic


這樣做照顧了… DuvalDuval 了解成分• 知覺的 (perceptual)

– 看到正方形與各種四等分子圖• 序列的 (sequential)

– 依四等分的建構策略，逐步作出等分子圖• 論說的 (discursive)

– 論說與理解均分的原因• 操作的 (operational)

– 對正方形及已得子圖進行分解組合，獲得預期目標


這樣做照顧了… DuvalDuval 幾何歷程

• 視覺 (visualization)– 將四等分轉換成圖形影像–視覺化各種四等分圖形

• 構圖 (construction)– 作各種四等分的子圖

• 推理 (reasoning)–再分割的推論–判斷是否均分


這樣做照顧了… FischbeinFischbein 幾何物件意識• 知覺影像 (perceptual image)

– 看到正方形與分割線– 看到各自的子圖

• 圖形概念 (figural concept)– 看見子圖及其之間的幾何結構– 看見子圖與正方形的相對關係– 看見子圖等積截補的過程（動態心像）


這樣做照顧了… VinnerVinner & Tall& Tall 幾何概念意識• 概念心像 (concept image)

– 單一切截– 四等分– 平分再平分

• 概念定義 (concept definition)– 多樣切截– 等積的四分之一– 等形的四個部分


這樣的活動是在作什麼？

Boero ：數學家數學家的的數學活動數學活動內涵內涵

數學情境

形式證明

嘗試推論檢驗探究

形成命題形成臆測

組織論述


這是一種統整的幾何活動• 提供一個學生可以操作的開放式情境• 提出構圖與視覺活動

– 視覺式構圖、視覺推理– 以多樣的作品引發更進一步的操作– 挑戰所做是否滿足要求

• 提出推理與視覺活動– 判斷其他作品的正確性– 論述指定作品的正確性

• 量的取向• 形的取向


也可以設計成這樣… ( 程序性反駁 )

• 提出一個偽命題的似真特例– 直角三角形斜邊上的高＝斜邊長一半

• 要求學生構圖舉例，記錄資訊– 做出各種直角三角形，量出並記錄邊與角

• 區分正、反例• 找出正例的條件通性，修正原命題的前提

– 等腰直角三角形斜邊上的高＝斜邊長一半

• 找出所有例的共通結果，修正原命題結論– 直角三角形斜邊上的高＝兩股積 / 斜邊長

• 要求學生檢驗一般性或證明命題

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結語一：幾何的整合式學習活動成分• 觀察與辨識

– 已有的圖形與子圖、構形 ( 元素 ) 、相 ( 絕 ) 對關係

• 構圖的順序– 先決定什麼、依什麼條件、下一個是什麼

• 推理與猜想– 形變換的結果、怎樣可以達到目的

• 語彙與表達– 說到別人聽得懂、懂別人所說


中小學幾何教學的困境• 我們其實教了很多東西


• 我們也有很高階的幾何問題


學校課程中的幾何挑戰也很難

已知度量與關係，求度量 M//N ，∠ 1=30°, 2=45°∠ 。求 x

1

2

x

M

N

已知關係，求證 /檢驗關係四邊形 ABCD 中， AB//CD ， AB ＝ CD 。求證 ABCD 是平行四邊形

A

DC

B


但實際上…五年級學生記住的幾何性質

正方形長方形梯形四邊相等 85.7 四個直角 77.5 一對邊平行

77.1

四個直角 80 對邊平行 62.9

兩對邊平行 45.7

對邊等長 40

平行四邊形菱形鳶形對邊平行 80 四邊等長 60 0

對邊平行 40


…小學生的幾何知識調查• 橢圓、半圓歸類為圓形• 不會留意圖形是否具有封閉性• 受到整體視覺的影響• 正方形就一定要是水平的呈現• 有弧度的角也可算是正方形• 菱形與正方形相互混淆• 長方形就一定要長長的，• 長方形與平行四邊形上學生容易產生混淆• 兩邊短短底邊長長的銳角三角形才會是三角形• 面積、體積、周長三者混淆• 體積與重量的概念無法區辨清楚• 牛奶盒學生會說盒子是「高高的」不是「寬寬的」


而且…國中生眼力也差不多下列哪些是 ... G7 G8 G9

銳角三角形 4.9 7.9 32.7

正三角形 80.3 78.1 86.1

等腰三角形 4.1 6.6 15.5

正方形 68.0 69.7 77.1

矩形 (長方形 ) 12.7(41.8) 20.2(36.4) 31.8(38.0)

平行四邊形 20.5 25.5 38.4

菱形 17.2 22.7 38.0

圓 13.9 8.3 18.8


…國中生也沒多會算

G7 G8

正確 37.0 47.1

缺漏 20.3 12.6

空白 42.7 40.3

v

p

uu

v

wp


…學了證明也一樣

如圖，請證明：「設 A 為圓心， AB為半徑， AB 的垂直平分線交圓周於一點 C 。則△ ABC 為正三角形。」

可接受 24.6

不完備 35.0

不當的 0.3

直觀反應 2.8

空白或無推論 37.4


連背性質都背不準

國一 314人選正確再選 1 再選 2 再選 3 再選 4

選擇率 70.4 58.3 10.8 46.5 6.69

□ 平角是 180 度。　 ( ) 1∠ ＋∠ 2 ＋∠ 3 ＝

180° ( ) 2∠ ＋∠ 3 ＋∠ 4 ＝180° ( )∠3 ＋∠ 4 ＝ 180° ( ) 1∠ ＋∠ 2 ＋∠ 4 ＝180°

2 3 4

1


編織的問題：跳躍與斷裂• 少了那不起眼卻又關鍵的一步

–似乎聽得懂，但是–學生「會」（動機、能力）做嗎？

• 教材中會用色彩凸顯幾何資訊讓學生具焦在應注意的資訊上，這個動作，學生自己「會」做嗎？

• 忽略了語言、表徵與數學內涵的差異性–用文字與口語傳遞幾何資訊時，真正被理解的

幾何資訊是什麼？–對應在幾何脈絡中的樣貌是什麼？


結語二：回歸構形的教學焦點• 幾何單元真正的學習對象是構形而非圖形

– 幾何世界是由線段、角、點所構成的– 圖形是構形的組合介面而非思維目的

• 幾何性質是構形間的關係而非圖形的特性– 所有的構形關係都不是為圖形而開發的

• 構形應在複雜中被辨識而非典型呈現• 構形與其關係要讓學生看得見而非聽得到

– 老師愛講愛寫，學生只好聽聲音看文字


總結：數學教師的挑戰：編織學習脈絡• 「圖形」與「構形」

– 輪廓外觀 vs. 邊、角• 「描述」與「推論」

– 時鐘是圓形，所以是線對稱 vs. 鐘面數字不對稱

• 「命名」與「定義」– 角柱的側面是長方形（正方形）– 圓柱有沒有邊

• 「探索」與「解題」– 在開放性情境中 vs. 在限定問題中


謝謝各位的聆聽

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