解等差数列问题 的思想与方法
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解等差数列问题 的思想与方法. 忻州师院附中 梁培勤. a n. a m. -. 变式. d=. n-m. 如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即: 或. 一、知识要点. 1. 定义. 差. 2. 如果一个数列从第 ___ 项起,每一项与前一项的 ____ 等于 ______________ ,那么这个数列就叫做等差数列。. 同一个常数. a n -a n-1 =d ( d 为常数)( n≥2 ). 2. 通项公式. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
解等差数列问题解等差数列问题的思想与方法的思想与方法
忻州师院附中 梁培勤
一、知识要点一、知识要点1. 定义
如果一个数列从第 ___ 项起,每一项与前一项的 ____ 等于______________ ,那么这个数列就叫做等差数列。
an-an-1=d ( d 为常数)( n≥2)
2. 通项公式an=a1+(n-1)d
推广公式: an=am+ ( n-m ) ·d
[ 函数思想 ] 通项公式整理后是关于 n 的一次函数
如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a与 b 的等差中项。即: 或
2
baA
baA 2
3. 等差中项
同一个常数2 差
(d≠0)
变式d=
aman
n-m-
一、知识要点一、知识要点4.4. 性质性质
qpmn aaaa na qpmn ①对于等差数列 ,若 则:
8273 aaaa 比如:②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
成等差数列 . ③kkkkk SSSSS 232 ,,
5.5. 等差数列的前等差数列的前 nn 项和公式项和公式
2
)( 1 nn
aanS
d
nnnaSn 2
)1(1
1 、 2 、
1 4 7 10, , , ,a a a a (下标成等差数列)如:
[ 说明 ] 对于公式 2,若 d≠0 则整理后是关于 n 的没有常数项的 二次函数。
一、知识要点一、知识要点
6. a6. ann与与 SSnn 的关系的关系
)1(
)2(
n
n
1
1
S
SSa nn
n
例题 1 :在三位正整数的集合中有多少个数是 5的倍数?并求它们的和。解:在三位正整数的集合里,为 5 倍数的依此是
100 995、 105 、110 、115 … …
即组成一个以 100 为首项, 5 为公差的等差数列
设共有 n 项,
a1 an
则 a1 =100 , an =995 , 又 d = 5
由 dnaan )1(1 可以解得 n=180
985502
)995100(180180
S由求和公式得(2)
“知三求一”
例 2.{an}是等差数列,且 a1-a4-a8-a12+a15=2, 求 a3+a13的值. 法一:用基本量 a1、d来分析 由已知得 a1-(a1+3d)-(a1+7d)-(a1+11d)+a1+14d=2 ∴ a1+7d=-2 ∴ a3+ a13= a1+2d + a1+12d= 2(a1+7d)=-4
法二:巧用性质∵ 151124 aaaa ∴ 28 a
∴ 488133 aaaa
“土办法”
“巧办法”
例 3.已知等差数列{an}满足 5a3=13a7,且 a1>0, Sn是{an}的前 n项和,Sn取得最大值,则 n=___. 9
分析: “5a3=13a7” 给你什么感觉!
没什么感觉 ,
那就要回到最基本的地方去 , 用首项和公差来分析
有用吗 ?
由 5a3=13a7得 5(a1+2d)=13(a1+6d)∴ 8 a1+68d=0 ∴ a1=-17/2 d
尝试 !
“函数思想”或 “单调性应用”
例 4.数列 na 的前 n项和为2 *1
2 ( )2nS n n n N ,
数列 nb 满足*1
( )nn
n
ab n N
a
。
Ⅰ( )判断数列 na 是否为等差数列,并证明你的结论。
Ⅱ( )求数列 nb 中值最大的项和值最小的项的值。
(Ⅰ) 解:
通性通法一通性通法一::解数列问题的转化意识解数列问题的转化意识
思路: Sn → an → an-an-1= 常数 ?
)1(
)2(
n
n
1
1
S
SSa nn
n因为
*5( )
2na n n N 合并成
2
32
5n
an
)1( n
)2( n解得
例 4.数列 na 的前 n项和为2 *1
2 ( )2nS n n n N ,
数列 nb 满足*1
( )nn
n
ab n N
a
。
Ⅰ( )判断数列 na 是否为等差数列,并证明你的结论。
Ⅱ( )求数列 nb 中值最大的项和值最小的项的值。
(Ⅱ) ,2
5nan
.
2
51
11
1
na
bn
n 解:
函数25
11)(
xxf
,
通性通法二:通性通法二:解数列问题的函数解数列问题的函数意识意识
在区间(0, 2
5)及( 2
5, )上分别为减函数,
54321 bbbbb ; nb 中,值最大的项是 33 b ;值最小的项是 12 b 。
(1) B (2)A (3)B
速度训练: 1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若a3+a17=10,则S19的值( ) (A)是 55 (B) 是 95 (C) 是 100 (D)不能确定
2.设 Sn 是等差数列na
的前 n 项和,若
59355,9aSaS则
( )
(A)1 (B)-1 (C)2 (D)
12
3. 已知数列na
的通项公式112,nan 12,nnSaaa
则10S
=( )
(A)100 (B)50 (C)25 D)12
}{ na9
5
3
5 a
a , 则 5
9
S
S
2
1
}{ na ,211 nan |||||| 21 nn aaaS
10S(D)125
练 1 : 已知数列 {an} 的前 n 项和 求
an
32 ns n
练 2 :已知数列 { an } 是等差数列 ,bn= 3an + 4 ,证明数列 { bn } 是等差数列。
练 1 : 已知数列 {an} 的前 n 项和 求
an
32 ns n
解:当 时2n 123)1()3( 22
1 nnnssa nnn
当 时1n 而 41s11a
所以:
)2(12
)1(4
nn
na n
所以上面的通式不适合 时1n
练 2 :已知数列 { an } 是等差数列 ,bn= 3an + 4 ,证明数列 { bn } 是等差数列。
又因为又因为 bbnn= 3= 3aann + + 4 , 4 , bbnn++11= 3= 3aann+1+1 + 4 + 4
证明: 因为数列 证明: 因为数列 {{aann} } 是等差数列数列 是等差数列数列
设数列设数列 {{aann} } 的公差为的公差为 dd(( dd 为常数)即为常数)即 aann+1+1 - -
aann=d=d
所以所以 bbnn+1+1 – – bbnn = = (( 33aann+1+1 + 4 + 4)) --(( 33aann ++ 44 )) = 3= 3(( aann+1+1- - aann)) =3d=3d所以数列 所以数列 { { bbnn } } 是等差数列是等差数列