Системы счисления

2

Определения

Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.

Числа:123, 45678, 1010011, CXL

Цифры:0, 1, 2, … I, V, X, L, …

Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Типы систем счисления: непозиционные – значение цифры не зависит от ее

места (позиции) в записи числа; позиционные – зависит…

Древнеегипетская система счисления выглядела так:

Пример: - число 345.

5

Непозиционные системы

Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)

Римская:I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille)

6

Римская система счисления

Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей,

она вычитается из суммы (частично непозиционная!)

Примеры: MDCXLIV =

1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

2389 = M M C C C L X X X I X

M M CCC LXXX IX

= 1644

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000

1 5 10 50 100 500 1000

I V X L C D M

В римской системе счисления для обозначения чисел используются заглавные латинские буквы, являющиеся «цифрами» этой системы счисления:

Число в римской системе счисления обозначается набором стозначений ящих подряд «цифр». Значение числа равно:

•сумме идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);

•разности значений большей и меньшей «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая (группа второго вида);

•сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого и второго видов.

Примеры.

1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид:XXXII = (X+X+X)+(I+I) =30+2

2. Число 444 в римской системе счисления имеет вид:CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) (= 400 + 40 + 4

3. Число 1974:MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X++X)+(V-I)= 1000+900+50+20+4

4. Число 2005:MMV = (M+M) +V = 1000+1000+5

9

Примеры:

3768 =

2983 =

1452 =

1999 =

МММDCCLXVIII

MMCMLXXXIII

MCDLII

MCMXCIX

Задание (непозиционные системы счисления):1.А. С. Пушкин родился в MDCCXCIX году?

2. Вычислите и ответ запишите с помощью римских цифр: a) MCM - XC = б) LX + XXVIII = в) CXLVII - XXIII =г) IX +MC =

3. Запишите десятичные числа в римской системе счисления:a)145 = b) 473 = с)1948 =

4. Переведите числа из римской системы счисления в десятичную:a) MCMXCIX = б) CMLXXXVIII = в) MCXLVII =

11

Римская система счисления

Недостатки: для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые

знаки-цифры (V, X, L, C, D, M) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия:

CCCLIX + CLXXIV =?

Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: «Пираты XX века» циферблат часов

12

Славянская система счисленияалфавитная система счисления (непозиционная)

Часы Суздальского

Кремля

Часы Суздальского

Кремля

13

Позиционные системы

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.Десятичная система: первоначально – счет на пальцахизобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в ЕвропуАлфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Основание (количество цифр): 10

Алфавит – это набор цифр, используемых в системе счисления.Основание – это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).

Разряд – это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

сотни десятки единицы

2 1 0 разряды

3 7 8

300 70 8

= 3·102 + 7·101 + 8·100

14

Позиционные системы

Другие позиционные системы:•двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная

(информатика)•двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12

пенсов)•двадцатеричная (1 франк = 20 су)•шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

6375 = 6 10⋅ 3 + 3 10⋅ 2 + 7 10⋅ 1 + 5 10⋅ 0

Чтобы определить число, записанное в позиционной системе счисления, нужно значение каждой цифры умножить на

основание системы счисления в степени, равной разряду, и сложить полученные величины.

Число 6375 можно представить в другой форме (схема Горнера):

6375 = ((6 10 + 3) 10 + 7) 10 + 5⋅ ⋅ ⋅

Алфавит десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Система счисления Основание Алфавит цифр

Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Двоичная 2 0, 1

Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

p=10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

p=2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000

p=8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20

p=16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:

12310 — это число 123 в десятичной системе счисления;

11110112 — то же число, но в двоичной системе.

Двоичное число 1111011 можно расписать в виде: 11110112 = 1*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием p в десятичную, надо представить это число в виде суммы степеней p и произвести указанные вычисления в десятичной системе счисления.

Например, переведем число 10112 в десятичную систему счисления. Для этого

представим это число в виде степеней двойки и произведем вычисления в десятичной системе счисления.

10112 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110

Рассмотрим еще один пример. Переведем число 52,748 в десятичную систему

счисления.

52,748 = 5*81 + 2*80 + 3*8-1 + 4*8-2 = 5*8 + 2*1 + 7*1/8 +4*1/49 = 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 =

42,937510

Перевод целого числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Пример.1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 1*4 + 0 +1 = 510

Задание 1. Переведите число 1011012 в десятичную систему

счисления.Решение.1011012=1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20=32+8+4+1=4

510

Ответ: 1011012=4510

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p, а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке.

Переведем десятичное число 2010 в

двоичную систем счисления (основание системы счисления p=2). В итоге получили 2010 = 101002.

21

Перевод целых чиселДвоичная система: Алфавит: 0, 1Основание (количество цифр): 2

10 210 2

2 102 10

19 2918

1124 8

1122 4

0021 2

0020 0

11

19 = 100112

система счислениясистема

счисления

100112

4 3 2 1 0 разряды

= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20

= 16 + 2 + 1 = 19

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную.Алгоритм1. Последовательно выполнить деление исходного целого

десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя (т.е. меньшее 2).

2. Записать полученные остатки в обратной последовательности.

32510 = 1010001012 325 2

-324 162 21 -162 81 2

0 -80 40 21 -40 20 2

0 -20 10 20 -10 5 2

0 -4 2 21 -2 1

0

Пример. Решение.

1) 10012 2) 110012 3) 100112 4) 110102

25 224 12 2

1 -12 6 20 -6 3 2

0 -2 11

Задание 2. Как представляется число 2510 в двоичной системе

счисления?

Решение.

2510=100112, что соответствует ответу №2.

Ответ: 2.

?Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной,

восьмеричной и десятичной системах счисления.

Ответ:

102 28 210Двоичная Восьмеричная Десятичная



Ответ:


Задания:Прочитайте стихотворение. Переведите встречающиеся в нем числительные из

двоичной системы счисления в десятичную.

Необыкновенная девчонка (А. Н. Стариков)Ей было тысяча сто лет,Она в 101-ый класс ходила,В портфеле по сто книг носила –Все это правда, а не бред.Когда, пыля десятком ног,Она шагала по дороге,За ней всегда бежал щенокС одним хвостом, зато стоногий.Она ловила каждый звукСвоими десятью ушами, И десять загорелых рукПортфель и поводок держали.И десять темно-синих глазРассматривали мир привычно,… Но станет все совсем обычным,Когда поймете наш рассказ.

Вопросы:

• У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли быть такое?

• Когда дважды два равно 100?

32

Перевод дробных чисел

10 210 2

2 102 10

0,375 = 2

101,0112

2 1 0 -1 -2 -3 разряды

= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3

= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375

,75000 0,75 2 ,5011 0,5 2 ,011

0,7 = ? 0,7 = 0,101100110… = 0,1(0110)2

Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей.Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей.

Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.

Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой.Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой.

2-2 = = 0,25221

0,0112

2

14

1

Перевод дробного числа из двоичной системы

счисления в десятичную.Пример.111,012 = 1*22 + 1*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = 1*4 + 1*2 +1+ 0* +1*

= = 4+2+1+0,5+0,25 = 7,7510

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Алгоритм.•Последовательно умножать (в исходной системе счисления) данное

число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы (на 2) до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления данного числа.

•Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами в числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системе счисления.

•Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

0, 7х 2

1 4х 2

0 8х 2

1 6х 2

1 2х 2

0 4

Пример.0,710 ≈ х 2

Решение.…

Очевидно, что этот процесс может продолжаться до бесконечности. Обрывают процесс на шаге, когда получена требуемая точность вычисления (количество знаков после запятой) .

0,710 ≈ 0,10110 2

Пример.

0,562510 =

0,10012.

Решение.

0,

5625

х 21 1250

х 20 2500

х 20 5000

х 21 0000

35

Примеры:

0,625 = 3,875 =

36

Плюсы и минусы двоичной системы

• нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);

• надежность и помехоустойчивость двоичных кодов;

• выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными.

• простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей;

• двоичные числа имеют много разрядов;• запись числа в двоичной системе однородна, то

есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

37

Восьмеричная система

Основание (количество цифр): 8

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

10 810 8

8 108 10

100 8

1296

448

1 8

448

0 0

11

100 = 1448


счисления

1448


= 1·82 + 4·81 + 4·80

= 64 + 32 + 4 = 100

38

Перевод в двоичную и обратно

88

1010

22

• трудоемко• 2 действия• трудоемко• 2 действия

8 = 238 = 23

Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)!

!

17258 =

1 7 2 5

001 111 010 1012{ { { {

Из Таблицы видно, что в двоичной системе запись чисел второй восьмерки (от 8 до 15) отличается от записи первой восьмерки (от 0 до 7) наличием единицы в четвертом (справа) разряде. На этом основан алгоритм перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру:

101011012 → 10 101 101 → 2558.

2 5 5Крайняя левая тройка может быть неполной (как в примере), для

получения полных троек можно приписать слева недостающие нули.Убедимся в правильности алгоритма:101011012 → 1*27+1*25+1*23+2*21+1*20=17310;

2558 →2*26+5*23+5*20=17310.

Для перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную используется обратный алгоритм: восьмеричные цифры заменяются на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются недостающие нули):

3258 → 3 2 5 → 11 010 101 →

110101012. 011 010 101

40

Перевод из двоичной системы

10010111011112

Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:

000011 001 001 011011 101 101 11111122

Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:

11 33 55 77

Ответ: 10010111011112 = 113578

000011 001 001 011011 101 101 11111122

11

41

Примеры:

34678 =

21488 =

73528 =

12318 =

42

Примеры:

1011010100102 =55228

111111010112 =37538

11010110102 =15328

43

Шестнадцатеричная система

Основание (количество цифр): 16

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10 1610 16

16 1016 10

107 16

696

111116

0 0

66

107 = 6B16


счисления

1C516


= 1·162 + 12·161 + 5·160

= 256 + 192 + 5 = 453

A,10

B,11

C,12

D,13

E,14

F 15

BB

CC

44

Перевод в двоичную систему

1616

1010

22

• трудоемко• 2 действия• трудоемко• 2 действия

16 = 2416 = 24

Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)!

!

7F1A16 =

7 F 1 A

0111{ { 1111 0001 10102{ {

45

Примеры:

C73B16 = 11000111001110112

2FE116 =101111111000012

46

Перевод из двоичной системы

10010111011112

Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:

0000001 1 00100010 1110 1110 1111111122

Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:

0000001 1 00100010 1110 1110 1111111122

11 22 EE FF

Ответ: 10010111011112 = 12EF16

Для перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную используется алгоритм «по тетрадам». Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры:

101011012 → 1010 1101 → AD16.

А DАналогично работает и обратный алгоритм: вместо

шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр.

48

Примеры:

10101011010101102 =АВ5616

1111001101111101012 =3CDF516

1101101101011111102 =36D7E16

49

Перевод в восьмеричную и обратно

трудоемкотрудоемко

3DEA16 = 11 1101 1110 10102

16161010

88

22

Шаг 1. Перевести в двоичную систему:

Шаг 2. Разбить на триады:

Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:

001111 110110 111111 101101 01001022

3DEA16 = 367528

Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно проще переводить через двоичную систему:

D516→ D 5 →1101 0101 → 110101012 → 11010101 → 3258.

D 5 3 2 5

51

Примеры:

A3516 =

7658 =

50658

1F516

Пример 1. Зная десятичное число и его запись в некоторой позиционной системе счисления,можно найти основание этой системы. Пусть, например, число 71 в некоторой системе соснованием x записывается как 56x. Представим это число в развернутой форме:71 = 56x = 5⋅x1 + 6⋅x0 = 5⋅x + 6.Решая уравнение 71 = 5⋅x + 6 относительно неизвестного x, получаем x = 13. Значит, искомоеоснование системы – 13.

Пример 2. В более сложных случаях может получиться алгебраическое уравнение второй(или еще более высокой) степени. Например, то же число 71 в в некоторой системе с основанием x записывается как 155x. Представим это число в развернутой форме:71 = 155x = 1⋅x2 + 5⋅x1 + 5⋅x0 = x2 + 5⋅x + 5.Решая уравнение 71 = x2 + 5⋅x + 5 относительно неизвестного x, получаем два решения, x1 = –11 и x2 = 6. Искомое основание положительно, поэтому выбираем ответ 6.

Пример 3. Если запись числа в другой системе счисления задана не полностью, решенийможет быть несколько. Например, найдем все основания систем счисления, в которых записьчисла 24 оканчивается на 3. Здесь удобно использовать схему Горнера, из которой сразу следует24 = k⋅x + 3,где x – неизвестное основание системы счисления, а k – некоторое натуральное число или 0.Отсюда сразу получаем 21 = k⋅x, то есть все интересующие нас основания являются делителямичисла 21. Это могут быть 3, 7 и 21. Поскольку последняя цифра числа – 3, основание не может бытьравно 3 (в троичной системе нет цифры 3), поэтому условию задачи удовлетворяют толькооснования 7 и 21.

Пример 4. Найдем все десятичные числа, не превосходящие 40, запись которых в системесчисления с основанием 4 оканчивается на 11.

Используя схему Горнера, находим, что всеинтересующие нас числа имеют видN = k 4⋅ 2 + 1 4 +1 = ⋅ k 16 + 5,⋅где k – некоторое натуральное число или 0. Подставляя k = 0, 1, 2, 3, …, находим соответствующиечисла N = 5, 21, 37, 53, …. Из них только 5, 21 и 37 удовлетворяют условию (не больше 40).

Задания:

• Запишите число 1945 в римской системе счисления.

• Запишите в развернутом виде числа: 200710, 2348,

101102 .

• Чему будут равны числа 1748, 2E16, 101,1012 в

десятичной системе счисления?

• Как будет записываться число 1410 в двоичной

системе счисления? 10010 в восьмеричной?

Троичная уравновешенная системаВ истории компьютерной техники применялись и другие системы счисления. Например, в 1958 г. была создана электронная вычислительная машина (ЭВМ) «Сетунь» (главныйконструктор – Н.П. Брусенцов13), которая использовала троичную систему счисления. Всего в 1960‐ х годах было выпущено более 50 промышленных образцов ЭВМ «Сетунь».В троичной уравновешенной системе основание равно 3, используются три цифры: -1(«минус 1»), 0 и 1. Один троичный разряд называется тритом (в отличие от двоичного бита).Система называется уравновешенной, потому что с помощью любого числа разрядов можно закодировать равное число положительных им отрицательных чисел, и число ноль. Вот, например, все двухразрядные числа

В последнем столбце этой таблицы числа записаны в развернутой форме, которую можноиспользовать для перевода из троичной уравновешенной системы в десятичную.

Другие системы счисления

Заметьте, что положительные и отрицательные числа кодируются с помощью одних и тех же правил. Это большое преимущество в сравнении с двоичным кодированием, при котором для хранения отрицательных чисел пришлось изобретать специальный код.Троичная уравновешенная система счисления дает ключ к решению задачи Баше, которая была известна еще в XIII веке Леонардо Пизанскому (Фибоначчи):

59

Троичная уравновешенная система

Задача Баше:Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

60

Троичная уравновешенная система

Каждая гиря может быть в трех состояниях:1) лежать на той же чашечке весов, что и груз: в этом случае ее вес вычитается из суммы ( 1 );2) не участвовать во взвешивании (0);3) лежать на другой чашке: ее вес добавляется к сумме (1).+ 1 гиря справа 0 гиря снята– 1 гиря слева

Веса гирь:1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг

Пример:27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг

1 1 1 13ур =Поэтому веса гирь нужно выбрать равными степеням числа 3, то есть 1, 3, 9 и 27 кг.Реализация:

ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)50 промышленных образцов

40

Троичная система!!

Двоичнодесятичнаясистема счисления

Существует еще один простой способ записи десятичных чисел с помощью цифр 0 и 1. Этот способ называется двоично десятичной системой (ДДС), это нечто среднее ‐между двоичной и десятичной системами. На английском языке такое кодирование называется binary coded decimal(BCD) – десятичные числа, закодированные двоичными цифрами.В ДДС каждая цифра десятичного числа записывается двоичными знаками. Но среди цифр 0–9 есть такие, которые занимают 1, 2, 3 и 4 двоичных разряда. Чтобы запись числа была однозначной, и не надо было искать границу между цифрами, на любую цифру отводят 4 бита.Таким образом, 0 записывается как 0000, а 9 – как 1001. Например:9024,19 = 1001 0000 0010 0100, 0001 1001 ДДС

9 0 2 4 1 9При обратном переводе из ДДС в десятичную систему надо учесть, что каждая цифра занимает 4 бита, и добавить недостающие нули:101010011,01111ДДС = 0001 0101 0011, 0111 1000 ДДС = 153,78Важно помнить, что запись числа в ДДС не совпадает с его записью в двоичной системе:10101,1ДДС = 15,810101,12 = 16 + 4 + 1 + 0,5 = 21,5

Использование ДДС дает следующие преимущества:• двоично десятичный код очень легко переводить в ‐десятичный, например, для выводарезультата на экран;• просто выполняется умножение и деление на 10, а также округление;• конченые десятичные дроби записываются точно, без ошибки, поэтому вычисления в ДДС(вместо двоичной системы) дадут тот же результат, что и ручные расчеты человека «набумажке»; поэтому ДДС используется в калькуляторах.Есть, однако, и недостатки:• хранение чисел в ДДС требует больше памяти, чем стандартный двоичный код;• усложняются арифметические операции.

1. Запишите числа –15 и 15 в троичной уравновешенной системе. Сколько разрядов вам потребовалось?

(Ответ: 1110 , 11 10 )2. Закодируйте число 1234 в двоично‐

десятичной системе счисления.(Ответ: 1001000110100ДДС)3. Запишите число 10111100001101001 ДДС в десятичной системе счисления. (Ответ: 17869)

65

ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА. Арифметические операции

сложениесложение вычитаниевычитание

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1=102

1 + 1 + 1 = 112

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1=102

1 + 1 + 1 = 112

0-0=0 1-1=0

1-0=1 102-1=1

0-0=0 1-1=0

1-0=1 102-1=1

переносперенос

заемзаем

1 0 1 1 02

+ 1 1 1 0 1 12

1

00

011 02

1 0 0 0 1 0 12

– 1 1 0 1 12

02

1

0 102

1 0

0 1 1 102

010

66

Примеры:

1011012

+ 111112

1011012

+ 111112

101112

+1011102

101112

+1011102

1110112

+ 110112

1110112

+ 110112

1110112

+ 100112

1110112

+ 100112

10011002 10001012

10101102 10011102

67

Примеры:

1011012

– 111112

1011012

– 111112

110112

–1101012

110112

–1101012

1101012

– 110112

1101012

– 110112

1100112

– 101012

1100112

– 101012

11102

-110102 111102

68

Арифметические операции

умножениеумножение делениеделение

1 0 1 0 12

1 0 12

1 0 1 0 12

+ 1 0 1 0 12

1 1 0 1 0 0 12

1 0 1 0 12

– 1 1 12

1 1 12

1 12 1 1 12

– 1 1 12

0

69


сложениесложение

1 5 68

+ 6 6 28

1 5 68

+ 6 6 28

1

6 + 2 = 8 = 8 + 0

5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4

1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

1 в перенос1 в перенос


080 41 в перенос1 в перенос

При вычислениях в восьмеричной системе нужно помнить, что максимальная цифра – это 7.

Перенос при сложении возникает тогда, когда сумма в очередном разряде получается больше 7.

Заем из старшего разряда равен 108 = 8, а все «промежуточные» разряды заполняются цифрой 7 –

старшей цифрой системы счисления. Приведем примеры сложения и вычитания:

В примере на сложение запись 8 + 4 означает, что получилась сумма, большая 7, которая не помещается в один разряд. Единица идет в перенос, а четвёрка остается в этом разряде.

71

Пример

3 5 38

+ 7 3 68

3 5 38

+ 7 3 68

1 3 5 38

+ 7 7 78

1 3 5 38

+ 7 7 78

1 3 1 18 2 3 6 28

72


вычитаниевычитание

4 5 68

– 2 7 78

4 5 68

– 2 7 78

(6 + 8) – 7 = 7

(5 – 1 + 8) – 7 = 5

(4 – 1) – 2 = 1

заемзаем

781 5

заемзаем

При вычитании «– 1» означает, что из этого разряда раньше был заем (его значение уменьшилось на 1, а «+ 8» – заем из следующего разряда.

73

Примеры

1 5 68

– 6 6 28

1 5 68

– 6 6 28

1 1 5 68

– 6 6 28

1 1 5 68

– 6 6 28

2 7 48- 5 0 48

74


сложениесложение

A 5 B16

+ C 7 E16

A 5 B16

+ C 7 E16

1 6 D 916

10 5 11+ 12 7 14

10 5 11+ 12 7 14

11+14=25=16+9

5+7+1=13=D16

10+12=22=16+6



13 961При выполнении сложения нужно помнить, что в системе с основанием 16 переноспоявляется тогда, когда сумма в очередном разряде превышает 15. Удобно сначала переписать исходные числа, заменив все буквы на их численные значения:

75

Пример:

С В А16

+ A 5 916

С В А16

+ A 5 916

171 316

76


вычитаниевычитание

С 5 B16

– A 7 E16

С 5 B16

– A 7 E16

заемзаем

1 D D16

12 5 11– 10 7 14

12 5 11– 10 7 14

(11+16)–14=13=D16

(5 – 1)+16 – 7=13=D16

(12 – 1) – 10 = 1

заемзаем

131 13

При вычитании заем из старшего разряда равен 1016 = 16, а все «промежуточные» разряды заполняются цифрой F – старшей цифрой системы счисления.

77

Пример:

1 В А16

– A 5 916

1 В А16

– A 5 916

- 8 9 F16

Если нужно работать с числами, записанными в разных системах счисления, их сначала приводят к какой‐нибудь одной системе. Например, требуется сложить 538 и 5616 и записать результат в двоичной системе счисления. Здесь можно выполнять сложение в двоичной, восьмеричной, десятичной или шестнадцатеричной системах. Переход к десятичной системе, а потом перевод результата в двоичную трудоемок. Практика показывает, что больше всего ошибокделается при вычислениях в двоичной системе, поэтому лучше выбирать восьмеричную или шестнадцатеричную систему. Например, переведем число 538 в шестнадцатеричную систему через двоичную:

538 = 101 0112 = 10 10112 = 2B16.Теперь сложим:

2B16 + 5616 = 8116

и переведем результат в двоичную систему:8116 = 1000 00012.

Лучше всего пользоваться той системой, в которой должен быть представлен результат.

Задание 1. (Задание А6 демоверсии 2004 г.)Вычислите значение суммы в десятичной

системе счисления:102+108+1016 = ?10

Решение.Переведем все числа в десятичную запись:102+108+1016 = (1*21+0*20) + (1*81+0*80) +

(1*161+0*160) = 2+8+16=2610.

Ответ: 26.

Задание 2. Найдите сумму x+y, если x=11101012 , y=10110112. Ответ

представьте в восьмеричной системе.Решение.Найдем сумму: 11101012 + 10110112 :

Дописывание единицы 1 1 1 1 1 1Первое слагаемое 1 1 1 0 1 0 1Второе слагаемое 1 0 1 1 0 1 1Сумма 1 1 0 1 0 0 0 0

11101012 + 10110112 = 110100002

Переведем получившееся число из двоичной системы счисления в восьмеричную:

11 010 000 → 3208.

3 2 0Ответ: 320.

Задание 3. (Задание B1 демоверсии 2004 г.)В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается

в виде 110. Найдите это основание.Решение.Обозначим искомое основание через n. Исходя из правил записи

чисел в позиционных счислениях 110n=n2+n1+0. Составим уравнение:

n2+n=12, найдем корни: n1=-4, n2=3. Корень n1=-4 не подходит, так как

основание системы счисления, по определению, натуральное число большее единицы. Проверим, подходит ли корень n=3:

1103=1*32+1*31+0=9+3=1210

Ответ: 3.Задание 4.В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в

классе?Решение.11112=1*23+1*22+1*21+1*20→8+4+2+1=1510.

11002=1*23+1*22+0*21+0*20→8+4=1210

1510+1210=2710

Ответ: в классе 27 учеников.

Задание 5. В саду 100х фруктовых деревьев, из них 33х яблони,

22х груши, 16х слив и 5х вишен. В какой системе

счисления посчитаны деревья?Решение.100х = 33х + 22х + 16х + 5х

1*х2=3*х1+3*х0+2*х1+2*х0+ 1*х1+6*х0+5*х0

х2=3х+3+2х+2+ 1х+6+5х2-6х-16=0D=b2-4ac=36+4*16=36+64=100x1,2= 2a

Db = (6±10)/2x1= - 2 – не удовлетворяет смыслу задачи,

x2= 8 – основание искомой системы счисления.

Ответ: деревья посчитаны в восьмеричной системе счисления.

Задание 6. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем

счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.Решение.Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от

деления числа на основание системы счисления. Поскольку 17-2=15, то искомые основания систем счисления будут являться делителями 15, это: 3, 5, 15.

Проверим наш ответ, представив число 17 в соответствующих системах счисления:

17 3 17 5 17 15

-15 5 2 -15 3 2 -15 1

2 -4 2 2 2 -2 1 2

1 -2 1 1

0

1710 = 10123 1710 = 1125 1710 = 1215

Ответ: 3, 5, 15.

Задание 7. В системе счисления с некоторым основанием

число 17 записывается как 101. Укажите это основание.

Решение.1710 = 101х = 1*х2 + 0*х1+ 1 х0

17=х2+1,→ х2=16,→ x1,2=± 16 =±4

x1= - 4 – не удовлетворяет смыслу

задачи,x2= 4 – основание искомой системы

счисления.Ответ: 4.

Системы счисления

Documents