В. Я. Демиховский,

Нижегородский государственный университетим. Н.И.Лобачевского, г.Нижний Новгород

XIX Уральская школа по физике полупроводников, 2012 г.

Состояний типа «шредингеровский кот» в полупроводниках и

низкоразмерных структурах

Как реализовать суперпозицию состояний «мертвый-живой» кот?

Сложные когерентные состояния

,

)(2

1)(

!)2/exp(

4/4/

2

состоянийхкогерентны

двухиясуперпозицeet

состояниягокогерентно

функцияволоноваяnn

ii

n

n

Энергетический спектр и характерные временаэволюции

• Разложение энергетического спектра в ряд Тейлора вблизи

энергии

- период классических осцилляций - время восстановления пакета - время дробного восстановления - период Zitterbewegung

nE

0nE

200

000 2nn

EnnEEE n

nnn

0/2 nCl ET

0/4 nR ET

n

mTR

02/2 nZB ET

Электронный волновой пакет в ридберговском атоме

22

4

2 n

meEn

,...3,2,1n

Энергетический спектр:

,,, lmnlnlm YrRr

Собственные функции:

trrcrmln

nlmnlm ,,,0,,,

Локализованный волновой пакет в момент t=0:

Релятивистский спектр: состояния с положительными и отрицательными энергиями, дираковское море

Уравнение Дирака: осцилляторная динамика релятивистского электрона

• Уравнение Дирака может быть записано в следующей форме:

где

Матрицы Дирака

Здесь матрицы удовлетворяют соотношениям:

2ˆ mciH

H

ti ˆ

I

I

0

0

0

0

k

kk

0 k12 ikli 2

4

3

2

1

Начальный волновой пакет – суперпозиция состояний одной (верхней) зоны

tiE

yyfb

yyfd

yyfb

yyfdpcdp

ipxtyx n

n cnn

cnn

cnn

cnnn exp22

exp,,

1 1

1

4exp

2

)(exp

)!1(2

2221

1

BBn

Bn

Bn

qllqpql

n

lpc

n

nn

n

nn E

mcEb

E

mcEd

2,

2

22

cn yyf - собственные функции гармонического осциллятора

1

0,

0

1

Bl - магнитная длина

Осцилляции средней скорости Vx

асасaсTTB cl 230T8T1105.4 RD

7

Эволюция релятивистского волнового пакета в магнитном поле: формирование регулярных структур (коллапс и возрождение). Подобные

структуры – это чисто квантовые объекты, не имеющие классических аналогов при любом n>>1

Основные этапы эволюции: в моменты пики излучения следуют вдвое, втрое, вчетверо и т.д. чаще, чем на начальном этапе.

8/,6/,4/ RRR TTT

Эволюция спиновой плотности

Коллапс и возрождение электронных волновых пакетов в графене,

находящемся в магнитном поле

Расчет временной зависимости

электронной плотности

Энергетический спектр в монослойном графене

Энергетический спектр графена в магнитном поле. Собственные функции и собственные значения

nssEE nsn ,

B

F

l

v2 1s

cn

cnxksn yysf

yyfxikyx

x

1,,

2

exp,

cn yyf - собственные функции гармонического осциллятора в магнитном поле

...3,2,1,0n

- собственные функции гармонического осциллятора в магнитном поле

Начальный волновой пакет, составленный из состояний верхней зоны, в монослойном графене

2

20

220

2exp

2

)(exp

nnlkkl

kc BxxBxn

tiE

yysf

yyfkcdk

xiktyx sn

sn cn

cn

xnxx ,

,

1 exp2

exp,,

Осцилляции средней скорости Vx в монослойном графене

FB vlt 0сnTB c13

0 105.23151

Этапы эволюции волнового пакета, составленного из состояний верхней зоны, в монослойном графене: формирование регулярных структур (коллапс и

возрождение). Подобные структуры – это чисто квантовые объекты, не имеющие классических аналогов при любом n>>1

Эволюция гауссовского волнового пакета в однозонной

и двухзонной моделях спектра при малых временах ClTt

Вывод

Таким образом, в рассмотренной задаче состояния «живой» и «мертвый» шредингеровский кот (квантовая суперпозиция различных мезоскопических состояний) представлены векторами в гильбертовом пространстве. Пакеты, постороенные из мезоскопических квантовых состояний с квантовыми числами n>>1, периодически коллапсируют и возрождаются.

Коллапс и возрождение электронных волновых пакетов в модели Рашбы

Расчет временной зависимости

электронной плотности

мСпектр в электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием

Этапы расчета эволюции волнового пакета в электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы

• Исходный гамильтониан в калибровке

• Собственные функции и собственные значения энергии

• Форма исходного волнового пакета

zByxyxy gpAc

ep

m

Ac

ep

H ˆˆˆˆˆ2

ˆ

2

0,0,ByA

,...3,2,1,2

2/1

2

2220

n

l

nEnE

Bcn

0

1

2exp

10, 0

2

2

2 xip

l

r

lr x

BB

Матричная электронная функция Грина в модели Рашбы

0,,,, *,,

0,, rtrdktrrG s

jkns n

siknxij xx

0,

0,

,

,

21

11

2

1

rG

rGrd

tr

tr

Этапы расчета эволюции волнового пакета в электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы

Средние координаты центра пакета Х(t) и Y(t)

0

0 sinn

ntnfxtx

0

0 cosn

nc tnfxyty

cnnn 21

2

220 2

Bn

l

nE

Аппроксимация функции f (n)

2

20

001223

2

!

1

12

1

nn

epxflikHn

inf Bxn

n

Волновой пакет в начальный момент времени

Коллапс и возрождение волновых пакетов.Осцилляции среднего циклотронного радиуса R(t) при

больших временах

Эволюция циклотронного радиуса при сравнительно малых временах

Форма пакета к моменту TD

Электронная плотность вероятности распределена по всей циклотронной орбите

DTt

Восстановление пакета в моментRTt

Расчет времени затухания t=TD и t=TR

tC

nnSinnfxtX

nc

0

000

12)()(

DnDn TT00

CTR 14

0

Электромагнитное мультипольное излучение волновых пакетов

,

)3(),( 22

моментаогоквадруольнтензор

rdrxxtrD

).(

144

12...

3

nDDвекторизлучения

стьинтенсивноnDcd

dI

,

),(),(2

момент

магнитныйrdtrvrtrc

em

Механизм коллапса и восстановления

• Функции <x(t)> и <Vx(t)> состоят из набора осциллирующих слагаемых с близкими частотами. Первоначально эти слагаемые находятся в фазе и весь пакет испытывает осцилляции. Спустя время TD происходит «расстройка» и пакет расплывается.

• В момент TR фазы отдельных слагаемых совпадают, пакет восстанавливает свою форму и осцилляции возобновляются.

• В моменты t=p/qTR, где p и q взаимно простые числа, восстанавливаются фазы у отдельных групп слагаемых и при этом пакет состоит из нескольких частей. Это т.н. fractional revivals.

Об экспериментальном наблюдении эффектов коллапса и возрождения волновых пакетов в ридберговском атоме

(калий)

J.A. Yeazell et al., Observation of the Сollapse and Revival of a Ridberg Elrctronic Wave Packet, PRL 64, 2007 (1990)

M.J.J. Vrakking et al., Observation of fractional revivals of a moleqular wave packet, Phys. Rev. A,54,R37 (1990)

Об экспериментальном наблюдении эффектов коллапса и возрождения волновых пакетов в молекуле

Br2

C. Monroe, A Schrodinger Cat Superposition States of an Atom / C. Monroe, D. Meekhof, B. King, D. Wineland/ Science 272, 1131 (1996).

Об экспериментальном наблюдении эффектов коллапса и возрождения волновых пакетов

Литература

• [1] E. Schrodinger, Naturwissenschaften 23, 807812(1935), 23,8238281935) , 23, 844849 (1935).

• [2] C. Monroe, A Schrodinger Cat Superposition States of an Atom / C. Monroe, D. Meekhof, B. King, D. Wineland/ Science 272, 1131 (1996).

• [3] M. Brune et al., Observing the progressive Dechogerence of the “Meter” in a Quantum Measurement, Phys. Rev. Lett. 77, 4887 (1996).

• [4] A. Bermudes, M.A. Martin-Delgado, and R. Solano /, Mesoscopic Superposition States in

Relativistic Landau Levels, Phys. Rev..Lett. 99, 123602 (2007);

• [5] A. N. Castro Neto, The electronic properties of graphene / A. H. Castro Neto, F.Guines, N.M.R. Peres, K.S. Novoselov, and A.K. Geim /, Rev. Mod. Phys. (2008).

• [6] E. T. Jaynes, and F.W. Cummings, Proc. IEEE 51, 89 (1963).

Литература (продолжение)

• [7] Romera E. Revaivals, classical periodicity, and zitterbewegung of electron currents in monolayer grapheme / E. Romera and F. de los Santos. Phys. Rev. B 89 , 165416 (2009).

• [8] J.J. Torres and E. Romera Wave packet revivals in a graphene quantum dot in a perpendicular magnetic field, Phys. Rev. B 82, 155419 (2010).

• [9 ]Z. Dacic Gaeta and C. R. Stroud Jr. Classical and quantum-mechanical dynamics of a quasiclassical state of the hydrogen atom. Phys. Rev. A 42, 6308 (1990).

• [10] J. Parker, and C. R. Straud , Cocherence and Decay of Ridberg Wave Packets, PRL 56, 716(1986)

Литература (продолжение)

• [11] J. A. Yeazell, M. Mallalieu, and C. R. Stroud, Jr., Observation of collapse and revival of Ridbrg electronic wave pac ket. Phys. Rev. Lett. 64, 2007 (1990).

• [12] И. Ш. Авербух, Н. Ф. Перельман, Динамика волновых пакетов высоковозбужденных атомов и молекул УФН, 161, 41(1991).

• [13] M.J.J. Vrakking et al., Observation of fractional revivals of a moleqular wave packet, Phys. Rev. A,54,R37(1990).

Работы автора и сотрудников КТФ ННГУ

• [1] V. Ya. Demikhovskii, G.M Maksimova, E.V. Frolova, Wave packet dynamics in Lattinger Systems, Phys.Rev. B 81,115206(2010).

• [2] Maksimova G.M. Wave packet dymamics in monolayer grafene./ Maksimova G.M., Demikhovskii V.Ya. and Frolova E.V., Phys.Rev. B 78. 235321, (2008).

• [3] V. Ya. Demikhovskii, G.M Maksimova, A.A. Perov, E.V. Frolova, Space-time evolution of Dirac wave packets, Phys. Rev. A, 82, 052115(2010).

• [4] V. Ya. Demikhovskii, G.M Maksimova, E.V. Frolova, Wave packett dynamics in a two dimensional electron gas with spin-orbit coupling:Splitting and Zitterbewegung, Phys. Rev. B, 78, 115401(2008).

• [5] V. Ya. Demikhovskii, G.M Maksimova, A.A. Perov, A.V. Telezhnikov, The long-term cyclotron dynamics of relativistic wave packets: spontaneous collapse and revival, PRA 85,

• 022105 (2012).