初中数学九年级上册

（苏科版）

4.2.14.2.1 一元二次方程的解法一元二次方程的解法(( 直接开平方法直接开平方法 ))

4.2.14.2.1 一元二次方程的解法一元二次方程的解法(( 直接开平方法直接开平方法 ))

1. 什么叫做平方根 ? 如果一个数的平方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的平方根。

知识回顾知识回顾

用式子表示：若 x2=a ，则 x 叫做 a 的平方根。记作 x= a

如： 9的平方根是 ______

±3 5

2

25

4 的平方根是 ______

2. 平方根有哪些性质？(1) 一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； (2) 零的平方根是零； (3) 负数没有平方根。

a a即 x= 或 x=

尝试尝试如何解方程（ 1 ） x2=4 ，（ 2 ） x2-2=0 呢 ?解（ 1 ）∵x 是 4 的平方根

即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2 ， x2 = － 2 （ 2 ）移项，得 x2=2

∵ x 就是 2 的平方根∴x= 2

2 2 即此一元二次方程的根为： x1= ， x2=

∴x ＝ ±2

像解 x2=4 ， x2-2=0 这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

概括总结概括总结

说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如 x2=a （ a≥0 ）或（ x+h ） 2=k （ k≥0 ）的形式，然后再根据平方根的意义求解

什么叫直接开平方法？

试一试试一试：：

A.n=0 B.m 、 n 异号

C.n 是 m 的整数倍 D.m 、 n 同号

已知一元二次方程 mx2+n=0(m≠0), 若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则 m 、 n 必须满足的条件是（ ）B

典型例题典型例题例 1 解下列方程（ 1 ） x2-1.21=0 （ 2 ） 4x2-1=0

解（ 1 ）移项，得 x2=1.21∵x 是 1.21 的平方根∴x=±1.1

即 x1=1.1 ， x2=-1.1（ 2 ）移项，得 4x2=1

两边都除以 4 ，得∵x 是 的平方根4

1

∴x=2

1

即 x1= ， x2=2

1

2

1

4

1x2=

典型例题典型例题

2 2即 x1=-1+ ， x2=-1-

例 2 解下列方程：⑴ （ x ＋ 1 ） 2= 2 ⑵ （ x － 1 ） 2 － 4 = 0⑶ 12 （ 3 － 2x ） 2 － 3 = 0 分析：第 1 小题中只要将（ x ＋ 1 ）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；

解：（ 1 ）∵ x+1 是 2 的平方根

2∴x+1=

典型例题典型例题

分析：第 2 小题先将－ 4 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解；

例 2 解下列方程：⑵ （ x － 1 ） 2 － 4 = 0⑶ 12 （ 3 － 2x ） 2 － 3 = 0

即 x1=3 ， x2

=-1

解：（ 2 ）移项，得（ x-1 ） 2=4∵x-1 是 4 的平方根∴x-1=±2

典型例题典型例题例 2 解下列方程：⑶ 12 （ 3 － 2x ） 2 － 3 = 0 分析：第 3 小题先将－ 3 移到方程的右边，再两边都除以 12 ，再同第 1 小题一样地去解，然后两边都除以 -2 即可。

4

5

4

7∴x1= ，

x2=

解： (3) 移项，得 12 （ 3-2x ） 2=3两边都除以 12 ，得（ 3-2x ） 2=0.25

∵3-2x 是 0.25 的平方根∴3-2x=±0.5即 3-2x=0.5,3-2x=-0.5

典型例题典型例题例 3. 解方程 (2x － 1)2=(x － 2)2

即 x1=-1， x2=1

分析：如果把 2x-1 看成是（ x-2 ） 2 的平方根，同样可以用直接开平方法求解

2)2( x解： 2x-1=

即 2x-1=± （ x-2 ）∴2x-1=x-2 或 2x-1=-x+2

首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解

讨论1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么点？ 如果一个一元二次方程具有（ x ＋ h ） 2= k （ k≥0 ）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。

2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

3. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明

练一练练一练

2

4

7

4

1;x2=

(D)(2x+3)2=25,解方程，得 2x+3=±5, x1= 1;x2=-4

1 、下列解方程的过程中，正确的是（ ）

(A)x2=-2, 解方程，得 x=±

(B)(x-2)2=4, 解方程，得 x-2=2,x=4(C)4(x-1)2=9, 解方程，得 4(x-1)= ±3, x1=

D

练一练练一练

2 、解下列方程： （ 1 ） x2=16 （ 2 ） x2-0.81=0 （ 3 ） 9x2=4 （ 4 ） y2-144=0

3 、解下列方程：（ 1 ）（ x-1 ） 2 =4 （ 2 ）（ x+2 ） 2 =3（ 3 ）（ x-4 ） 2-25=0 （ 4 ）（ 2x+3 ） 2-5=0（ 5 ）（ 2x-1 ） 2 = （ 3-x ） 2

练一练练一练

4 一个球的表面积是 100cm2 ， 求这个球的半径。（球的表面积 s=4R2 ，其中 R 是球半径）

练一练练一练

归纳总结归纳总结

1 、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；2 、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？