数理統計学

西　山

問１統計学の定期試験を受験した 200 人の得点を集計したところ、平均点が 60 点、標準偏差が 15 点になった。以下の設問に回答しなさい。

①A 君の得点は 75 点だった。この得点を標準化すればいくらか。

②A 君の得点を偏差値にしたい。「偏差値」とは、平均が 50 、標準偏差が 10 である尺度をいう。 A 君の偏差値はいくらか。

③出題が難しすぎたため得点を修正することにした。元の得点を X としてから算出される Y点を小数点以下も含めて新たな得点とする。 A君の偏差値はどう変わるか。

①A 君の得点は 75 点だった。この得点を標準化すればいくらか。

標準値＝

標準化（＝基準化）

75−6015

=1.0（シグマ）

② A 君の得点を偏差値にしたい。「偏差値」とは、平均が 50 、標準偏差が 10である尺度をいう。 A 君の偏差値はいくらか。

偏差値＝

偏差値

1.0

偏差値

③ 出題が難しすぎたため得点を修正することにした。元の得点を X としてから算出される Y 点を小数点以下も含めて新たな得点とする。 A 君の偏差値はどう変わるか。

標準値はどう変わるか？

標準値＝

元の値－平均値 ＝

標準偏差 ＝

A君の標準値は変わらない。故に、偏差値も元のままである。

問２確率変数 Xは以下のように分布している。下の設問に回答しなさい。

値 確率３６

① 　期待値を求めよ。

期待値＝ Σ値 ×確率

𝐸 [ 𝑋 ]=3× 13+6×

23=5

② 　分散を求めよ。

値 二乗 確率３ ９６ ３６

𝐸 [ 𝑋 2 ]=9× 13+36×

23=27

𝑉 [𝑋 ]=27−52=2

③ 　 Xを標準化した値を Zとおく。とを求めよ。

𝑍=𝑋−5√2

𝐸 [𝑍 ]=𝐸 [ 𝑋 −5√2 ]= 1

√2𝐸 [ 𝑋−5 ]=0

𝑉 [𝑍 ]=𝑉 [ 𝑋−5√2 ]=( 1√2 )2

𝑉 [𝑋 −5 ]=12𝑉 [𝑋 ]=1

標準化すると、常に平均が０、分散・標準偏差が１

ある菓子メーカーが製造している商品の１袋の重さは、平均が 100グラム、標準偏差が 2グラムの状態に管理され、重さの分布には概ね正規分布が当てはまっている。この時、重さが 95グラム未満となる袋は全体の何パーセント程度あると思われるか。 

問３

100

2

標準値95

0 2.50

0.0062097

0.6%程度

確率変数 Xは一様分布にしたがい、 0から1までの任意の値を等しい可能性でとりうる。いま変数 Yをと定義する。変数 Yがどう分布するか図で示したうえ、と、を求めよ。

問４

Eと V、 SDはすぐに求まる

Xは０から１まで一様分布だ

12

12

1

XV

XE

授業の説明を覚えていれば・・・

𝐸 [𝑌 ]=𝐸 [2𝑋 ]=2𝐸 [𝑋 ]=1

𝑉 [𝑌 ]=𝑉 [2 𝑋 ]=22𝑉 [𝑋 ]= 412

X が一様分布ということは

0 1

1

𝑥（任意のある値）

𝐹 (𝑥 )=𝑥

𝑓 (𝑥 )=𝐹 ′ (𝑥 )=1

X

𝐸 [ 𝑋 ]=12𝑉 [ 𝑋 ]= 1

12

期待値の計算をすると（例題１７）

問題はYの分布の形がどうなるか？

確率（＝面積）に着目する

0 ２

2

2

2

)2(

)()(

y

yF

yXP

yXP

yYPyG

2

1)(')( yGyg

クイズ

確率変数 X は、一様分布に従い 0 から 1 までの任意の値を等しい可能性でとる。いま変数Y をと定義すると、はどんな分布に従い、期待値はいくらになるか？

6月 10日（火）授業までに提出（任意）。中間試験・問４の理解度判定の参考にする。