گرد آورندگان8519413حمیدرضا مهرابی

8512053امیرحسین رحمت

  نشان را تصاعد و رشد از ديگري نوع لوكاس دنباله و فيبوناچي دنباله   . مقدار يك جمع از بعدي جمله ، حسابي تصاعد در كه بيادآوريد دهند مي   از بعدي جمله هندسي، تصاعد در و آيد مي بدست كنوني جمله، به ثابت

  و آيد مي بدست كنوني جمله در ثابت مقدار يك ضرباما

    ضرب از بعدي جمله اينها، امثال و لوكاس دنباله و فيبوناچي دنباله در   ثابت عددي   1.618033988مقدار كه آيد مي بدست كنوني جمله در

   . از قبل صدهاسال انگيز شگفت عدد اين بررسي است اسرارآميزو هند در   1200ميالد   پيزا Iي شيربچه فيبوناچي، توسط ميالد از بعد سال

گرفت نام طالئي نسبت و مقدس نسبت و شد رياضيات وارد ايتاليا در

منجر دوم درجه معادله این به کهمیشود

آید می دست به بزرگتر بخش برای مقدار دو آن حل با و

گذاریم می کنار X2را باشد منفی تواند نمی بزرگتر بخش چون ولی

لوكاس  دنباله

  اول روز در كه كنيد مي تاسيس فروشگاهي كنيد دوم 1فرض روز در و 3تومان   دو فروش مجموع باندازه روز هر فروش مقدار آنپس، از ولي فروشد مي تومان

 . كند؟ مي رشد چگونه ما فروش فرضياتي چنين با است آن از قبل روز  ...1,3,4,7,11,18,29

  ستون در دنباله .LSاين   شود  مي ناميده لوكاس دنباله و شده داده نشانستون و دهد مي نشان را روز چپ سمت از ستون اولين مقابل، جدول در

LS ستون و روزها فروش و Φ ميزان قبل روز فروش به روز فروش ستون نسبتφ . است روزبعد فروش به روز فروش نسبت

  شود مي ديده   φو Φچنانكه   ثابت  مقدار و 1.618033988بسوي0.618033988 . يا طالئي نسبت يا فيبوناچي نسبت را مقدار دو اين كنند مي ميل

   اند ناميده مقدس نسبت

فيبوناچي  دنباله

  اين با است لوكاس دنباله مانند نيز فيبوناچي دنباله آوردن بدست روشبترتيب دوم و اول روز فروش مقدار كه   1و 0تفاوت  . دو الواقع في باشد مي

. نباشد صفر مجموعشان كه بشرطي باشند عددي توانندهر مي اوليه مقدار:φو Φبين   است  قرار بر رابطه اين

Φ  - φ  =  1   كوچك بخش دو به چگونه را باال خط پاره ومثال ، را چيزي هر بزرگ ( b)كل و

(a )   با  باشد برابر بزرگ بخش به كوچك بخش نسبت كه كنيد مي تقسيم   مي را مساله اين بخش؟ دو هر كل به بزرگ بخش بيان  نسبت به توانيد

: برگردانيد  رياضيبا برابر را كوچكتر با 1بخش برابر را بزرگتر بخش . xو در گيريم مي

اينصورت :

متداوم كسرهاي با فرمولي از مقدس    نسبت توابع و تودرتو راديكالهاي و   آيد مي بدست هم مثلثاتي

   توجه: هاي نشانه مقاله اين   φو Φدر   متمايزي  كامال و يكسان بنحواز بزرگتر نسبت از 1بجاي كوچكتر نسبت   1و روي از ولي نرفته بكار

مربوط كداميك به نشانه كه داد تشخيص بسهولت توان مي مقدارعددي   . هاي نشانه از گاهي و چيست مقصود كه دهيم تشخيص phi و Phiاست

است شده استفاده

طالئي مستطيل ساختنابعاد - به مربعي بسازيد 1الف

  كند - رسم روبرو زواياي از يكي به خطي اضالع از يكي وسط از ب      نمايد - مشخص را مستطيل طول كه كنيد رسم كمان يك خط اين باندازه شعاعي با ج

طالئي پر پنج ستاره و مثلثطالئي  ABCمثلث   زاويه  نيمساز رسم با و باشد الساقين متساوي هرگاه است Cطالئي. CXBمثلث    باشد متشابه اصلي مثلث با چنانكه آيد بوجود

كه پر پنچ از Pentagramستاره دارد اضالع 5نام همه و شده ساخته طالئي مثلثكنند مي تقسيم طالئي نسبت به را يكديگر

بطلميوس قضيه

به ازای هر چهار عدد مختلط به آسانی می توان تساوی زیر را تحقیق کرد

و با توجه به نابرابری مثلثی خواهیم داشت

اکنون به بررسی حالتی می پردازیم که این نابرابری به برابری بدل شود. در حالت نابرابری مثلثی،

یک عدد حقیقی مثبتتساوی، فقط و فقط هنگامی برقرار خواهد شد که

باشد.( ) به شرط

و مثبت ضامن که پردازیم می شرطی جستجوی به پسعدد بودن حقیقی

در دو طرف وتر واصل بین دو نقطه و .همدایره هستندیعنی

قرار دارند، که نتیجه آن به ترتیب الفبایی قرار گرفتن این نقاط

. )ساعتسو یا پادساعتسو ( است. پس قضیه زیر را ثابت کردیم

. 1قضیه

ر صفحه داریمد به ازای هر چهار نقطه

نقطه چهار این که می شود برقرار هنگامی فقط و هنگامی تساویپاد ) ( ) یا ساعتسو الفبایی ترتیب به و باشند همخط یا همدایره

باشند ( گرفته قرار . ساعتسو ( . حدود بطلیموس ک توسط تساوی . ( 165 – 85حالت کشف م ب

. اویلر ل توسط بعد سال هزار از متجاوز کلی حالت که صورتی در گردید،(1707 – 1783 . را( آن نتایج مختلط اعداد از استفاده با ولی شد پیدا

آورد دست به سطر یک در فقط . می توان

عبارت

گویندرا نسبت ناهمساز چهار نقطه

گویند، این نسبت نقش مهمی در بخشهای مختلف ریاضیات، به w یکی از زیباترین شاخه خصوص در هندسه تصویری، که مسلما

. های ریاضیات است ایفا می کند. 1فرع

چهار نقطه همدایره ) همخط ( اند، اگر و فقط اگر

در مطالب بعد، همخطی، حالت خاص ) تباهیده ( همدایرگی در نظر گرفته . می شود

هنگامی که چهار ضلعی محاطی به مستطیل بدل شود، قضیه بطلیموس به : صورت زیر در می آید

. 2فرع داریم، قائمه در راس فیثاغورس ( در مثلث قائم الزاویه )

. مثالپنج ضلعی منتظمی به ضلع فرض می کنیم

وسطمحاط در دایره ای به شعاع

طول یک قطر آن باشد. با استفاده از قضیه بطلیموس برای چهار ضلعیهای

: خواهیم داشت

شعاعطول ضلع ده ضلعی منتظم محاط در دایره ای به که درآن در تساویاست. از اینجا نتیجه می شود که

.صدق می کند

به طول ضلع ده ضلعی منتظم محاطی، بنابراین نسبت شعاع

: ، نسبت زرین معروف را می دهد

  فيبوناچي / دنباله و پاسكال خيام مثلث ارتباط

بدست بااليش عدد دو جمع از آن عدد هر كه بينيد مي چپ سمت در را خيام مثلثاست آمده

راست سمت تصوير در چنانكه بچينيم الزاويه قائم مثلث يك شكل به آنرا هرگاهشد خواهد ديده فيبوناچي دنباله با ارتباطش آنگاه شود، مي ديده

است شده داده نشان رنگ با زير رديف در ارتباط اين

01234...

101

1 1111

1 2 12121

1 3 3 131331

1 4 6 4 1414641

.........

  ساختيم پاسكال خيام مثلث روي از كه را الزاويه قائم مثلث ايناين و بنگريم قطري بطور كنيم، نگاه عمودي يا افقي آنكه بجاي توانيم مي

است شده داده نشان رنگ با نگرش

نويسيم مي قطر رنگ همان با چپ سمت ستون در را قطر هر جمع حاصل

  فيبوناچي دنباله اعداد همان كه بينيم مي كنيم دقت ستون اين اعداد به اگراست

پاسكال   خيام مثلث از ديگر ترتيبي

مجموع نيز آن در كه ماتريس قطر امتداد     در شد خوهد فيبوناچي دنباله در اعداد برابر ستون عر اعداد

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.........

.11.......

..121.....

...1331...

....14641.

.....1510105

......161520

.......1721

........18

.........1

11235813213455

  است ونهم هشتاد يك گوياي كسر و فيبوناچي اعداد بين عجيب ارتباطات از يكيتمام 89/1 هرگز حاصله اعشاري عدد كنيم تقسيم اگر ولي است گويا هرچند كه

 :  . اينست اعشاري عدد ازآن قسمتي شود نمي

0.011235955056179775280898876404494

مي ديده روبرو شكل در كه بنحوي را فيبوناچي دنباله اعداد اگر حال   مي ديده كنيم جمع ستون به ستون راست، سمت از و بچينيم شود

آيد مي بدست اعشاري عدد همان كه بگيريم شود نتيجه توانيم مي باال رديف دو و رديف اين مطلب از كه اضافي نكته يكباشد بخش نتيجه و پرمعنا بسيار تواند مي ترتيب كه اينست

و عيان تواند مي ديگري چيدمان در است، پنهان خاص چيدمان يك در كه آنچهشود آشكار

بشماريم تغيير قابل را موجود ترتيبات داريم حق ما اين بر بنا

  معادله- يا رابطه كه شود مي ذكر يادآوري است خطيبراي آنسوم و دوم توان يعني باشند يك درجه از متغيرهايش كه

   همچنين... و باشند نداشته غيره و راديكال و  . مثال باشند نشده ضرب يكديگر در x2-3x+1=y  يا  x.y=5متغيرها

نيستند . خطي

2    است    Fو Lعالئم- فيبوناچي عدد و لوكاس عدد نشانه بترتيب روبرو تصوير در

3(   عدد F)nهمچنين -   ) nام نشانه   و  است فيبوناچي دنباله   F)n+2در نشانه (   و آن راست سمت عدد است  F)n-2دومين آن چپ سمت عدد دومين نشانه

   براي را نخستين فرمول ترتيب اين    n=6با را  راستش و چپ سمت عدد دو و فيبوناچي دنباله از  آزمائيم مي

1 2 345678 9 

1 1 2 3 5 8 13 21 34 

زيرا است درست كه3 +8 + 21 = 4 x 8

32 = 32               

                 

لوکاس و فیبوناچی  مجموع

با تشکر از توجه شما