מתמטיקה בדידה
DESCRIPTION
מתמטיקה בדידה. תרגול 3. אינדוקציה. אקסיומת האינדוקציה: טענה: לכל n , בהינתן קבוצת סוסים בגודל n , לכולם אותו הצבע. "הוכחה": הטענה ברורה כאשר n= 1. נניח הטענה נכונה לכל קבוצה בגודל k . "נוכיח" עבור קבוצה בגודל k+ 1 . נוציא מהקבוצה סוס, וניוותר עם קבוצה בגודל k. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
מתמטיקה בדידה
3תרגול
אינדוקציהאקסיומת האינדוקציה:•
, לכולם אותו הצבע.n, בהינתן קבוצת סוסים בגודל nלכל טענה: •
)(1()()1( nPNnkPkPNkP
.n=1הטענה ברורה כאשר "הוכחה": •
. "נוכיח" עבור k נניח הטענה נכונה לכל קבוצה בגודל •. נוציא מהקבוצה סוס, וניוותר עם קבוצה k+1קבוצה בגודל
. kבגודל נניח צבע כל הסוסים הוא לבן.• נחזיר את הסוס שהוצאנו, ונוציא סוס אחר. שוב לפנינו •
.kקבוצה בגודל
הוא לבן. k+1 כלומר צבע הסוסים בקבוצה בגודל •
לכן צבע כל הסוסים שוב לבן.•
אינדוקציה (המשך)
. k=2 ל – k=1הרמאות בהוכחה הזאת היא במעבר בין •כשנוציא סוס מהקבוצה, נישאר עם קבוצה בגודל אחד.
לכל הסוסים אותו הצבע אמנם, אבל כשאנחנו חוזרים על התהליך פעמיים, הצבע של שתי קבוצות הסוסים בגודל
אחד לא בהכרח זהה., כלומר שלכל זוג k=2אם היה נתון לנו שהטענה נכונה עבור •
סוסים בעולם יש אותו הצבע, אז באמת היה נובע שבכל קבוצת סוסים בגודל כלשהי, צבע הסוסים זהה
כללי דה-מורגן למספר רב של משתנים
לכל :טענה:•
. כבר הראינו שהטענה נכונהn=2 עבור הוכחה באינדוקציה:•
2n nn AAAAAA 2121
kk AAAAAA 2121
121 kk AAAA
נניח הטענה נכונה עבור k נוכיח עבור .k+1.
121 kk AAAA
121 kk AAAA
כללי דה-מורגן ושלילת פסוק עם כמתים
קיים קשר בין כללי דה-מורגן לבין שלילת •פסוק עם כמתים.
Xנניח נתון לנו . נניח גם ש – •קבוצה סופית, כלומר: . אזי את הפסוק ניתן גם להציג כ - . על-פי כללי דה-מורגן, שלילתו של פסוק זה
, שהינו שקול היא . לפסוק
)(xPXx
nxxxX ,,, 21
)()()( 21 nxPxPxP
)()()( 21 nxPxPxP )(xPXx
קבוצות - הגדרות
. למשל , שייך• םאם" •. אין כפילות2אין חשיבות לסדר איברים •:הכלה•:הכלה ממש•
: הקבוצה שכל האיברים לא שייכים אליה. הקבוצה הריקה•זו הקבוצה שאין בה איברים.
{ , } { , , ,{ , }}1 2 3 4 5 1 2}}2,1{,5,4,3{}4,3{
BABxAxx { , } { , } { , , }3 9 9 3 3 3 9
BxAxxBA )).()(( AxBxBxAxxBA
{ , } { , , , }3 5 1 3 4 5
קבוצות - דוגמאות
קבוצה ריקה: :• xx}}{,2,1{},{,,
}{}{
}{}{
}},{,,{},{ bababa }},{,,{},{ abaa }},{,,{},{ abaa 11AA
קבוצות – הגדרות (המשך)
: לכל קבוצה•
איחוד:•
חיתוך:•
משלים:•
הפרש:•
הפרש סימטרי:•
AAAA ,
BxAxBAxx BxAxBAxx
)( AxAxx
BABA \
)\()\( ABBABA
קבוצות - תכונות
דיאגרמות ואן – טוב לאינטואיציה אבל לא להוכחה.•
אסוציאטיביות•
דיסטריבוטיביות•
קומוטטיביות.•
:דה מורגן•A B A B BABA
A B C A B A C ( ) ( ) ( )
A B C A B A C ( ) ( ) ( )
A B C A B C ( ) ( )A B C A B C ( ) ( )
ABBA ABBA
קבוצות - דוגמאות
טענה:•
הוכחה: •
)(\)( BABABA
)\()\()\()\( ABBAxABBAxBAx ))()(())()(( AxBxBxAx
))()(())^()(())^()(())^()(( AxBxBxBxAxAxBxAx TBxBxTAxAx ))()((,))()((
))()(()( AxBxBAx )(\)()()( BABAxBAxBAx
βכלל קבוצות -
לקבוצות מגדיר את אחד הסימונים βכלל • :לקבוצות
x היא איזושהי נוסחא שבה המשתנה Ψכאשר הוא חופשי. הסימון מימין מיצג את הביטוי
Ψ כאשר מחליפים בו את המופעים t. ב –xהחופשיים של
דוגמא: אם ורק אם כיוון ש •זה אמת אזי גם אמת.
xtxt /
23 xx2323 23 xx
דוגמה:• 0652 2 xxx
)1קבוצות – דוגמא (
: הוכח או הפרך: שאלה•
: דוגמא נגדית•מתקיים:
x y x y A x A y A({ , } ( ) ( ))
A x y {{ , }}, ,1 2 1 2
{ , } {{ , }} {{ , }} {{ , }}1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
)2קבוצות – דוגמא (
האם •
xyx
Nxyyx2
114
פתרון: נבדוק אם•
42
11y
xNxyy
כלומר נבדוק אם
4
2
11y
yNyy
נראה שזה שקר ע"י הוכחת השלילה שלו:
4
2
11y
yNyy
לכן שלילתו y=3זה פסוק אמת. הוכחה לא שייך לקבוצה.4היא שקר. ו
קבוצת החזקה
זו Aקבוצת כל הקבוצות החלקיות של של •A:Pקבוצת החזקה של A B B A( ) { | )
A דוגמא:• P A { , }, ( ) { ,{ },{ },{ , }}1 2 1 2 1 2
APA)(AP)( תמיד מתקיים וגם .•
}{)( P דוגמא:•
קבוצת החזקה )המשך(
)()( תרגיל: אם אז .• VPWP VW
VWPVPWPהוכחה: כמו כן )()()()(WPW
VWלכן .
של הקבוצה עוצמה עבור קבוצה סופית, ההגדרה: בה. הוא מספר האיברים
איברים, אז בקבוצת החזקה שלה יש kאם בקבוצה איברים.
k2
מכפלה קרטזית
אוסף הגדרה: מכפלה קרטזית של הקבוצות•הזוגות הסדורים
BA,
A B a b a A b B {( , )| , }
}4,2,3,2,4,1,3,1{}4,3{}2,1{ למשל:•
למשל:• { , }3 4
, אז m היא B, והעוצמה של n היא Aאם העוצמה של .nm היא AXBהעוצמה של
מכפלה קרטזית
הוכח או הפרך:
1()()()( CABACBACBA
}1{}2,1{}3,1{הטענה לא נכונה CBA
2()()()( CABACBACBA
}1{}2,1{}3,1{הטענה לא נכונה CBA
המשלים של קבוצה
, E ביחס לקבוצה Aהמשלים של קבוצה • , הוא :
.הקבוצה האוניברסלית מכונה Eהקבוצה
EA}|{ AxExA
והקבוצה אם : דוגמה •האוניברסלית היא קבוצת הממשיים, אז
0| xRxA
}0|{ xRxA
AEA תמיד מתקיים: , , AAEAA
AEA BABA
)1דוגמה (
הוכח כי:
הוכחה באינדוקציה:
n=1עבור
)(...)()()...( 2121 BABABABAAA nn
BABA 11
)()( :nנניח הטענה נכונה עבור 11 BABA inii
ni
)()( :n 1+ נראה שהטענה נכונה עבור 11
11 BABA i
nii
ni
אגף ימין:)(})]{[()][()( 11
11
11 BABABABA ni
nii
nii
ni
)2דוגמה (
הוכחת חוק דה מורגן הראשון:•
))}()((|{ BxAxxBA
))}()((|{ BxAxx
BABxAxx }|{
)3דוגמה (
Aהוכח • B C A B A C\ ( \ ) ( \ ) ( )
)\()\(\ CBACBA
)()( CBACBA
) ( ) \ ( ) ( ) (C A B A C A B A
)4דוגמה (
BABAהוכח •
)()( ABBABA
)()( ABBA
BAABBA )()(
1תרגיל בית -
ג:3שאלה •)()( 22 yxyxyx
))()(( 22 yxyxyx ))()(( 22 yxyxyx