Некоторые именные теоремы о треугольниках

Борд Лиза 10М Учитель: Муравьёва Анна Петровна

Теорема Чевы

Три чевианы AA1,BB1,CC1 треугольника проходят через одну точку тогда и только тогда, когда

Теорема Менелая

Если точки A1,B1 и C1 лежат соответственно на прямых BC,CA и AB треугольника или на их продолжениях, то они лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда

A

B C

A1

B1

C1

11

1

1

1

1

1 AB

CB

CA

BA

BC

AC

Задача №1Доказать, что отрезки,

соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 3:1, считая от вершин.

Задача №1

Для ∆A1DD2 и прямой AA2 по теореме Менелая:

Так как A2 – центроид BCD, то

Так как D2 – центроид ABC, то

Поэтому

11

2

22

21 AA

AD

OD

DO

DA

AA

2

1

2

21 DA

AA

3

2

1

2 AA

AD

1

3

2

OD

DO

Задача №1

Проведём теперь медиану CC1и отрезок CC2.

Допустим что CC2

пересекает DD2 в точке O1. Докажем что О и О1

совпадают. ∆СС1С2 и прямая

DD2=>CO:OC2=3:1

О

Задача №1Аналогично для ∆АА1А2 и

прямой DD2=>AO:OA2=3:1

Для ∆BB1B2 и прямой DD2=>BO:OB2=3:1

Замечание: Для правильного тетраэдра его центроид является центром вписанных и описанных шара и сферы.

Теорема Ван-Обеля

Пусть на сторонах АВ, ВС и АС взяты соответственно точки С1, А1 и В1. Если прямые АА1, ВВ1 и СС1

пересекаются в точке О, то имеет место равенство AB

CB

BA

CA

OC

CO

1

1

1

1

1

ДоказательствоПостроим А2В2ΙΙАВ∆OCB2~∆OC1B;

∆OCA2~∆OC1A;∆OA2B2~∆OAB =>

∆A2CA1~∆ABA1; ∆CB2B1~∆ABB1=> Следовательно,

АВ

С

А1В1

С1

А2B2

О

AB

BA

OA

OA

OB

OB

OC

CO 2222

1

AB

CB

AB

CA

AB

CBCA

AB

BA

OC

CO 222222

1

AB

CB

AB

CB

BA

CA

AB

CA

1

12

1

12 , AB

CB

BA

CA

OC

CO

1

1

1

1

1

Задача №2

В каком отношении делятся биссектрисы треугольника точкой их пересечения?

Поэтому, используя теорему Ван-Обеля находим

c

a

AB

CB

c

b

BA

CA

1

1

1

1 ,

c

ba

OC

CO

1

Теорема Стюарта

Пусть в ∆ABC AB=c, BC=a, AC=b, точка D делит сторону AB на отрезки AD=c1, BD=c2; CD=d. Тогда имеет место равенство

AB

C

Dα

abd

c1 c2

c

2122

122 ccccbcacd

Доказательство

Пусть CE – высота в ∆АВС. Тогда cosα=DE/d.

Умножим первое равенство на с2, второе на с1 и сложим

Из этого получаем

AB

C

D Eα

abd

c1 c2

c

DEcdcb 122

12 2

DEcdca 2222

2 2

212

212112

22 ccdcccccacb

2122

122 ccccbcacd

Задача №3Вычислить

биссектрису СС1 ∆АВС по его сторонам АВ=с, АС=b, ВС=а.

Биссектриса СС1

делит сторону АВ на отрезки АС1=с1 и ВС1=с2. Тогда с1+с2=с и ac1=bc2.

Подставим эти равенства в равенство теоремы Стюарта

Отсюда

cA B

C

ab

c1 c2С1

ba

acc

ba

bcс

21 , 2

2222

1ba

abcc

ba

acb

ba

bcacCC

ba

cbacbaabСС

1

Спасибо за

внимание!

Годы жизниЧева Джованни (1648-1734) – итальянский

инженер, гидравлик и геометр. Доказал теорему в 1678 году.

Менелай Александрийский(1 в.) – древнегреческий астроном и математик. Автор работ по сферической тригонометрии. Арабские авторы упоминают также о книге Менелая по гидростатике.

М. Стюарт (Stewart Matthew 1717-1785) – английский математик, опубликовавший теорему в 1746 в труде «Некоторые общие теоремы».