Модели производственно-технологического уровня

Модели Модели производственно-производственно-технологического технологического

уровняуровня

Свойства производственной Свойства производственной функциифункции

Влияние масштаба производства на Влияние масштаба производства на выпуск продукциивыпуск продукции

Свойство однородности производственной функции Свойство однородности производственной функции математически выражает отдачу производственной математически выражает отдачу производственной системы от масштабов производства.системы от масштабов производства.

В общем случае это свойство имеет вид:В общем случае это свойство имеет вид:

f(f(λλxx11,,λλxx22,…,,…,λλxxnn)=)=λλδδf(xf(x11,x,x22,…,x,…,xnn))

Математически для двух агрегированных факторов это Математически для двух агрегированных факторов это свойство имеет вид:свойство имеет вид:

F(F(λλK, K, λλL) =L) =λλδδF(K,L)F(K,L)

где: где: δδ – степень однородности функции. – степень однородности функции.

Неоклассические производственные функции являются Неоклассические производственные функции являются однородными функциями первой степени (однородными функциями первой степени (δδ=1)=1)


x,...,x,xfx

x,...,x,xfni

n

i i

n x 211

21 δ

L,KFLL

L,KFK

K

L,KFδ

Для однородных функций справедлива теорема Эйлера:Для однородных функций справедлива теорема Эйлера:

Для неоклассической производственной функции с агрегированными факторами производства K и L:

(11.1)

Из (11.1) получается выражение для δ

LL,KF

LF

KL,KF

KF

δ

Или через эластичности: δ=εк + εL


Для неоклассической производственной функции Для неоклассической производственной функции из теоремы Эйлера следует важное из теоремы Эйлера следует важное практическое свойство:практическое свойство:

MMYkYkK +MK +MYLYLL = YL = Y

Произведенный продукт Произведенный продукт YYможет быть может быть представлен в виде суммы, где первое представлен в виде суммы, где первое слагаемое показывает вклад затрат капитала, слагаемое показывает вклад затрат капитала, а второе – вклад затрат труда в а второе – вклад затрат труда в произведенный продукт.произведенный продукт.


Задача.Задача. Производственная система описывается с Производственная система описывается с помощью производственной функции со степенью помощью производственной функции со степенью однородности 1 и эластичностями однородности 1 и эластичностями εεLL =0.25 и=0.25 и εεKK=0.75.=0.75.Система за период времени Т произвела 200 ед. Система за период времени Т произвела 200 ед. продукции, затратив 50ед. Капитала и 10ед. Труда.продукции, затратив 50ед. Капитала и 10ед. Труда.

Найти:Найти: вклад труда и капитала в произведенный продукт. вклад труда и капитала в произведенный продукт.1.1. Средние продукты по факторам:Средние продукты по факторам:

AAkk = Y/K = 200/50=4; A = Y/K = 200/50=4; ALL = Y/L = 200/10 = 20 = Y/L = 200/10 = 202.2. Предельные продукты по факторам: Предельные продукты по факторам:

MMYKYK = = εεKKAAKK= 0.25*4 = 1; M= 0.25*4 = 1; MYLYL= = εεLLAALL=0.75*20 = 15=0.75*20 = 153. 3. Вклады труда и капитала:Вклады труда и капитала:

MMYKYKK = 1*50 = 50K = 1*50 = 50едед; M; MYLYLL = 15*10 = 150L = 15*10 = 150едед

Влияние масштаба производства на Влияние масштаба производства на выпуск продукции.выпуск продукции.

Задача планирования производства:Задача планирования производства:Изучение влияния масштаба производства на его эффективность.Изучение влияния масштаба производства на его эффективность.

Определение.Определение. Средний продукт масштаба производства: Средний продукт масштаба производства: AAYYλλ = Y( = Y(λλK, K, λλLL )/Y = )/Y = λλδδ-1-1Y(K,L)Y(K,L)

Определение.Определение. Предельный продукт масштаба производства: Предельный продукт масштаба производства: MMYYλλ = = dY(dY(λλK, K, λλL)/dL)/dλλ = = δλδλδδ-1-1Y(K,L)Y(K,L)

Определение.Определение. Коэффициент эластичности масштаба производства: Коэффициент эластичности масштаба производства:

εελλ = = MMYYλλ/A/AYYλλ ==δδ

Откуда следует, что для любой однородной функции Откуда следует, что для любой однородной функции имеет место тождество:имеет место тождество:

ΣεΣεii = = εελλ


Производственная система с Производственная система с εελλ>>11 имеет более высокую имеет более высокую эффективность при увеличении масштаба эффективность при увеличении масштаба производства:производства: укрупнение производства приводит к укрупнение производства приводит к повышению эффективности.повышению эффективности.

Производственная система с Производственная система с εελλ<1<1 снижает свою снижает свою эффективность по мере увеличения масштабов эффективность по мере увеличения масштабов производства.производства.

Производственные системы с Производственные системы с εελλ=1=1 инвариантны к инвариантны к изменениям масштаба производстваизменениям масштаба производства,, т.е. увелиячение т.е. увелиячение или уменьшение расхода факторов приводит к или уменьшение расхода факторов приводит к пропорциональному изменению продукта.пропорциональному изменению продукта.

Линии равного уровня выпуска Линии равного уровня выпуска продукции (Изокванты)продукции (Изокванты)

Определение.Определение. Множеством безразличия факторов Множеством безразличия факторов называют множество наборов производственных называют множество наборов производственных факторов, при использовании которых уровень факторов, при использовании которых уровень производства не изменяется.производства не изменяется.

В случае двух агрегированных факторов В случае двух агрегированных факторов множество безразличия производителя можно множество безразличия производителя можно представить в виде карты линий равного представить в виде карты линий равного выпуска продукции на координатной плоскости выпуска продукции на координатной плоскости K-LK-L, которые называют изоквантами., которые называют изоквантами.

При перемещении вдоль таких линий выпуск При перемещении вдоль таких линий выпуск продукции остается постояннымпродукции остается постоянным..


Свойства изоквант:Свойства изоквант:1.1. Изокванты не пересекаются.Изокванты не пересекаются.2.2. Изокванта делит экономическую область на две части: Изокванта делит экономическую область на две части:

DDuu ии D DLL. В области . В области DDuu более высокий уровень более высокий уровень производства, в производства, в DDLL – более низкий.– более низкий.

3.3. Изокванты не пересекаются с осями координат.Изокванты не пересекаются с осями координат.Уравнение изокванты:Уравнение изокванты:

K = q(L,Y)K = q(L,Y) Y = ConstY = Const для каждой изокванты. для каждой изокванты.Пример.Пример. Пусть Пусть Y = 10KY = 10K0.250.25LL0.750.75.. Найти уравнения изоквант.Найти уравнения изоквант.KLKL33 = (Y/10) = (Y/10)44 откуда получаем откуда получаем K=(Y/10)K=(Y/10)44/L/L33

Задавая конкретные значения Задавая конкретные значения YY, получим семейство , получим семейство изоквант на плоскости изоквант на плоскости K-LK-L. .

В данном случае изокванты представляют собой кривые В данном случае изокванты представляют собой кривые гиперболического вида.гиперболического вида.


ПримерПример. Пусть . Пусть Y = 10KY = 10K0.250.25LL0.750.75. . Найти уравнение Найти уравнение изокванты.изокванты.

K = (Y/10)4LK = (Y/10)4L-3-3

Задавая необходимые значения Задавая необходимые значения YY, получим семейство изоквант., получим семейство изоквант.Производитель, изменяя Производитель, изменяя используемые технологии, может используемые технологии, может варьировать пропорцию между варьировать пропорцию между потребляемыми потребляемыми производственными факторами.производственными факторами.Изокванты в экономической Изокванты в экономической области имеют отрицательный области имеют отрицательный наклоннаклон..

K

L

Y1

Y2

Y3

Предельная норма замещения Предельная норма замещения факторовфакторов

При перемещении вдоль изокванты происходит непрерывное При перемещении вдоль изокванты происходит непрерывное замещение одних факторов производства другими при неизменном замещение одних факторов производства другими при неизменном уровне производства.уровне производства.

Определение.Определение. Предельная норма замещения Предельная норма замещения i-i-го фактора го фактора производства производства j-j-ым фактором равна дополнительному количеству ым фактором равна дополнительному количеству j-j-го фактора, которое компенсирует уменьшение го фактора, которое компенсирует уменьшение i-i-го фактора на го фактора на единицу при постоянном уровне производства продукта и единицу при постоянном уровне производства продукта и постоянном потреблении других факторов.постоянном потреблении других факторов.

Представив приращение производственной функции в виде ряда Представив приращение производственной функции в виде ряда Тейлора, и, учитывая, что оно на изокванте равно нулю, получим:Тейлора, и, учитывая, что оно на изокванте равно нулю, получим:

dF/dxdF/dxii*dx*dxii + dF/dx + dF/dxjj*dx*dxjj = 0 (11.1) = 0 (11.1)По определению предельная норма замещения По определению предельная норма замещения i-i-го фактора го фактора j-j-ым есть:ым есть:

ΓΓijij = -dx = -dxjj/dx/dxii =(dF/dx =(dF/dxii) / dF/dx) / dF/dxjj) (11.2)) (11.2)

Замещение одного фактора другим обратимо. Предельная норма Замещение одного фактора другим обратимо. Предельная норма замещения замещения i-i-го фактора го фактора j-j-ым может быть выражена через ым может быть выражена через предельные продукты и эластичности:предельные продукты и эластичности:

ΓΓijij =M =MYjYj/M/MYiYi = ( = (εεii*x*xjj)/()/(εεjj*x*xii) (11.3)) (11.3)

Предельная норма замещения Предельная норма замещения факторовфакторов

В случае двух агрегированных факторов В случае двух агрегированных факторов K K ии L L это выражениеэто выражение (11.1)(11.1) примет вид: примет вид:

dF(K,L)/dK*dK + dF(K,L)/DL*dL = 0dF(K,L)/dK*dK + dF(K,L)/DL*dL = 0 (11.4)(11.4)

Тогда предельная норма труда капиталом есть:Тогда предельная норма труда капиталом есть: ΓΓLKLK = - (dF(K,L)/dK) / (dF(K,L)/dL) = - (dF(K,L)/dK) / (dF(K,L)/dL)

(11.5) (11.5)

Введем Введем k = K/Lk = K/L - фондовооруженность труда. - фондовооруженность труда.Тогда Тогда ΓΓLKLK = = εεLLK/K/εεKKL = (L = (εεLL//εεKK)k)k

В случае степенной зависимости производственной функции от В случае степенной зависимости производственной функции от затрат капитала и труда затрат капитала и труда F(K,L)=AKF(K,L)=AKααLLββ коэффициенты коэффициенты зластичности постоянны во всей экономической области.зластичности постоянны во всей экономической области.

Тогда:Тогда: ΓΓLKLK = (= (αα//ββ)*)*kkПредельная норма замещения труда капиталом Предельная норма замещения труда капиталом

пропорциональна фондовооруженности производства.пропорциональна фондовооруженности производства.

Эластичность замещения факторовЭластичность замещения факторов

Определение.Определение. Эластичность замещения труда Эластичность замещения труда капиталом капиталом σσ показывает на сколько процентов показывает на сколько процентов изменяется фондовооруженность изменяется фондовооруженность kk при изменении при изменении предельной нормы замещения предельной нормы замещения ΓΓLKLK на 1 процент.на 1 процент.

σσLKLK = ( = (dk/k)/(ddk/k)/(dΓΓLKLK//ΓΓLKLK) = (dk/d) = (dk/dΓΓLKLK)()(ΓΓLKLK/k)/k)

Эластичность замещения труда капиталом равна Эластичность замещения труда капиталом равна величине относительного изменения величине относительного изменения фондовооруженности фондовооруженности kk при относительном при относительном изменении предельной нормы замещения труда изменении предельной нормы замещения труда капиталом на 1 процент.капиталом на 1 процент.

Теорема.Теорема. Для однородной производственной функции Для однородной производственной функции эластичность замещения труда капиталом эластичность замещения труда капиталом σσLKLK зависит только от фондовооруженности и остается зависит только от фондовооруженности и остается постоянной вдоль лучей выходящих из начала постоянной вдоль лучей выходящих из начала координат.координат.

Модели производственно-Модели производственно-технологического уровнятехнологического уровня

5. Производственные функции с постоянной 5. Производственные функции с постоянной эластичностью замещения факторов (эластичностью замещения факторов (CES).CES).

Впервые производственные функции класса (Впервые производственные функции класса (CES)CES) были введены американскими экономистами Эрроу и были введены американскими экономистами Эрроу и Солоу в 1961 году.Солоу в 1961 году.

В случае двух факторов В случае двух факторов K K и и LL однородная однородная производственная функция степени производственная функция степени δδ класса класса (C(CЕЕS)S) имеет вид:имеет вид:

F(K,L) = (cF(K,L) = (c11KK--ρρ + c + c22LL--ρρ))--δδ//ρρ (11.6) (11.6)

где: сгде: с11 и с и с22 константы; константы;

ρρ = (1- = (1- σσLKLK))/ / σσLKLK

Уравнение (11.6) имеет смысл в случаях Уравнение (11.6) имеет смысл в случаях σσLKLK≠1 и ≠1 и σσLKLK≠0.≠0.



Свойство функций класса (Свойство функций класса (CES)CES): асимптоты, : асимптоты, проведенные к изоквантам такой функции проведенные к изоквантам такой функции параллельны осям координат, но их не касаются.параллельны осям координат, но их не касаются.

Экономически это означает, для таких Экономически это означает, для таких производственных систем невозможно полностью производственных систем невозможно полностью заменить труд капиталом.заменить труд капиталом.

Существуют критические значения затрат факторов, Существуют критические значения затрат факторов, ниже которых производство не возможно.ниже которых производство не возможно.



Частные случаи функций класса Частные случаи функций класса CESCES..1. Функция Кобба-Дугласа.1. Функция Кобба-Дугласа.

lim(F(K,L)) = cKlim(F(K,L)) = cKααLLδδ--αα = = cKcKααLL1-1-αα

2.2. Производственная функция Леонтьева Производственная функция Леонтьева lim(F(K,L)) =lim(F(K,L)) = min(Kmin(Kδδ/a, L/a, Lδδ/b)/b)

3.3. Линейная производственная функция Линейная производственная функция

lim(F(K,L)) =lim(F(K,L)) = cc11K + cK + c22LL

σ=>1

σ=>0

σ=>∞

Производственная функцияПроизводственная функция Кобба-Дугласа Кобба-Дугласа

Y=F(K,L) =CKY=F(K,L) =CKααLL(1-(1-αα))

где: С и где: С и αα имперические константы. имперические константы.Функция предложена в 1928 году.Функция предложена в 1928 году.

Функция Кобба-Дугласа удовлетворяет всем условиям Функция Кобба-Дугласа удовлетворяет всем условиям неоклассической производственной функции.неоклассической производственной функции.

При использовании данной функции предполагается При использовании данной функции предполагается выполнение следующих условий:выполнение следующих условий:- допускается замещение одним фактором другого;- допускается замещение одним фактором другого;- постоянство эффективности использования факторов - постоянство эффективности использования факторов производства (отсутствие НТП); производства (отсутствие НТП);- неизменность эффективности единиц труда и капитала;- неизменность эффективности единиц труда и капитала;- линейная зависимость объемов производства от - линейная зависимость объемов производства от изменения труда и капитала.изменения труда и капитала.


kС

L

KC

KLKC

K

L,KF

K

Y

kСL

KC

KLKC

K

L,KF

K

Y

M

A

YK

YK

1α

1αα1α

1α

1αα1α

αα

6.1. Средняя и предельная фондоотдача производства:6.1. Средняя и предельная фондоотдача производства:

6.2. Средняя и предельная производительность труда:6.2. Средняя и предельная производительность труда:

kM

A

CL

KC

LLKC

L

L,KF

L

Y

kCL

KC

LLKC

L

L,KF

L

Y

YL

YL

ααα1α

α

αα1α

α1α1


6.3. Коэффициенты эластичности по труду и капиталу:

α1α1

αα

α

α

1α

1α

ε

ε

kCkC

L

L,KF

L,KF

L

kCkC

K

L,KF

L,KF

K

AMAM

YL

YLL

Yk

YkK

Для функции Кобба-Дугласа случай высокой эластичности по фондам соответствует низкой эластичности по труду и наоборот


L,KFL,KFL,KF

L,KFL,KFL,KF

M

A

Y

Y

λ

λ

λ

λλλ

λ

λ

λλ

λ

λ

6.4. Средний и предельный продукты масштаба производства

6.5. Коэффициент эластичности масштаба производства

1λ

λ

λε A

M

Y

Y

Эффективность производственной системы с ПФ Кобба-Дугласа не зависит от масштаба производства


6.6. Уравнения изоквант:6.6. Уравнения изоквант:K=(Y/C)K=(Y/C)1/1/ααLL1-1-αα

Асимптотами изоквант являются оси координат. Асимптотами изоквант являются оси координат. Это показывает возможность полной замены Это показывает возможность полной замены одного фактора другим.одного фактора другим.

Предельная норма замещения труда капиталом:Предельная норма замещения труда капиталом:ΓΓLKLK==εεLLK/K/εεKKL=(1-L=(1-αα)/)/αα*k*k

Эластичность замены труда капиталом 1.Эластичность замены труда капиталом 1.

Наиболее адекватно ПФ Кобба-Дугласа Наиболее адекватно ПФ Кобба-Дугласа описывает среднемасштабные производстваописывает среднемасштабные производства..


7. Производственная функция Леонтьева.7. Производственная функция Леонтьева.

ПФ Леонтьева является функцией с постоянными ПФ Леонтьева является функцией с постоянными пропорциями потребления факторов и пропорциями потребления факторов и описывает жесткие производственные описывает жесткие производственные процессы. Это означает, что в жестком процессы. Это означает, что в жестком технологическом процессе невозможна замена технологическом процессе невозможна замена одного фактора другими и недостаток одного одного фактора другими и недостаток одного фактора нельзя компенсировать избытком фактора нельзя компенсировать избытком другого.другого.

Функция Леонтьева для Функция Леонтьева для δδ=1=1 имеет вид:имеет вид: F(K,L) = min(K/a, L/b)F(K,L) = min(K/a, L/b)


7. Производственная функция Леонтьева7. Производственная функция Леонтьева

L*=K*a/b L

Y

L

AYL

Y пропорционально растет до достижения затрат труда L*=Ka/b

Дальнейшее увеличение L не приводит к увеличению выпуска продукции.

AYL= MYL при L≤ Ka/b, затем AYL монотонно убывает, а MYL=0

L

K

K=aL/b

Изокванта состоит из прямых параллельных осям координат


8. Линейная производственная функция.8. Линейная производственная функция.Линейная ПФ применяется для гибких производственных систем, Линейная ПФ применяется для гибких производственных систем,

которая характеризуется возможностями компенсации одних которая характеризуется возможностями компенсации одних факторов другими и полного замещения факторовфакторов другими и полного замещения факторов и и крупномасштабных производств.крупномасштабных производств.

Линейная ПФ не обладает рядом свойств неоклассической Линейная ПФ не обладает рядом свойств неоклассической производственной функции:производственной функции:

F(0,L)F(0,L)≠F(K,0)≠0; d≠F(K,0)≠0; d22F/dkF/dk22=d=d22F/dLF/dL22=0;=0;

Предельные продукты факторов равны коэффициентам ПФ.Предельные продукты факторов равны коэффициентам ПФ.

L

K

Изокванты линейной ПФ пересекают оси координат.

Предельная норма замещения труда капиталом ΓLK=b/a

K=Y/a-bL/a

Модели производственно-технологического уровня

Documents