1

Коллективные решения: современное состояние и

перспективы

Ф.Т.Алескеров

НИУ ВШЭ

alesk@hse.ruСеминар факультета БИ, Москва 10.06.2010

2

План доклада

• История• Модели агрегирования• Задача индивидуального выбора• Аксиоматический синтез процедур• а) локальные процедуры• б) нелокальные процедуры• Модели выбора на мажоритарном графе• Механизмы• Оценки влияния участников и формирование коалиций• Эксперименты• Приложения

3

История (Плутарх «Жизнеописания»)

• "Кто подавал голос за избрание, просто бросал хлебный шарик, но кто желал сказать "нет", предварительно сильно сдавливал его в руке. Если таких находили хоть один, просившему о своем избрании отказывали в его просьбе..."

• “Выборы происходили следующим образом. Когда народ успевал собраться, выборные запирались в одной комнате соседнего дома, где не могли никого видеть, так же, как никому нельзя было видеть их. До них могли доноситься только крики собравшегося народа: как в этом случае, так и в других он решал избрание криком. Избираемые выходили не все сразу, но поодиночке, по жребию и шли молча через все собрание. У тех, кто сидел запершись в комнате, были в руках дощечки для письма, на которых они отмечали только силу крика, не зная, к кому он относится. Они должны были записать лишь, как сильно кричали тому, кого выводили первым, вторым, третьим и т. п. Того, кому кричали чаще и сильнее объявляли избранным.”

4

Модели агрегирования

A – множество альтернатив, A = {x1, …, xm}, m >=3N = {1, …, n} – множество участников, n >= 3

{мнения участников об альтернативах из A}1n

коллективное решение

• Три модели• {Pi }1

n –> P Функции группового выбора• {Ci(.)} –> C(.) Функциональные правила• {Pi} –> C(.) Соответствия группового выбора

Другие приложения: {ui(.)} –> u(.)

{ui(.)} –> C(.)

5

Задача индивидуального выбора

• Pi - линейные порядки

• P – линейный порядок

частичный порядок

ациклическое отношение

произвольное

Пример частичного порядка

Транзитивность

acyclic

transitive

Запрещено

6

Функции выбораC: 2A -> 2A with

предъявление,допустимое множество

Рациональный выбор

AX 2 XXC )(

xPyXxXyXCX .ч.т)( )()(т.ч.)( yuxuXxXyXC

P C(*)

п

B C

П

7

Аксиоматический синтез процедур

8

Ограничения на правила

9

Функции группового выбора{Pi } -> P

• ЛокальностьxPy = F (x Pi y) IIA

IIA – Arrow (1951)

x

y

x

x

y

y x

y

z

w

x

y

x

xy

y x

y

z

w

Нормативные условия1. Ненавязанность NI

т.ч. xPy т.ч.

2. Монотонность M

3. Нейтральность NeИмена альтернатив не имеют значения

4. Анонимность AnИмена участников не имеют значения

5. Принцип Парето P

yx, iP iP yPx

x

y

x

x

xx

y

y

y

yy

x

yx

x

y

xx

yy

x

y

11

Правила, удовлетворяющие Ni, M, Ne, P Qr=Bс

*

1

1

4321

i

wii

w wii

wii

wii

wii

wii

PP

w

PP

PP

PPPPP

- федерация

- олигархия

- диктатор

Анонимность - k-большинство

W2

w1

P1

P2

w4

W3

12

Ограничения рациональности• Qr – линейные порядки LO

• Qr – частичные порядки PO

• Qr – ациклические отн. AC

• ТеоремаAC PO LO

collegium olygarchy dictator

+ ananimity

C

SC

Brown (1975)Gibbard (1969)

Arrow (1951)

13

Нелокальные процедуры (пример)

качество восприятия телевизионной программы = качество изображения + качество звука

Изображение

Звук Качество восприятия

5 5 10

3 7 10

1 9 10

Верно ли это?

14

Аксиоматический синтез процедур

• N критериев, m альтернатив

• Каждая альтернатива оценивается, используя трехградационную шкалу (хороший, средний, плохой – 3,2,1), т.е. x=(x1,x2,…,xn)

• Мы строим результирующее ранжирование альтернатив

15

Аксиомы• Парето оптимальность

• Парная взаимозаменяемость

• Некомпенсируемость

• Снижение размерности

где - сужение на подпространство

0 00, 1,..., : и : ( ) ( )i i i ix y A i n x y i x y x y

, , 1,... : и , ( ) ( )i i j j k kx y A i j n x y x y k i j x y x y

00 ((c,...,c))> (x), где {2,..., }, : {1,..., } ix A c m x i n x c

' '1 1 1 1 1 1, ( ) ( ) ( ... , ... ) ( ... , ... )i i i x n i x nx y A i x y x y x x x x y y y y

' ( 1)n

16

Теорема о представлении

• Единственной процедурой, которая удовлетворяет этим аксиомам, является пороговое (lexmin) правило

т.е. вектор с большим числом единиц, хуже (располагается в ранжировании ниже), чем вектор с меньшим числом единиц, иначе сравниваем количество двоек и т.д.

17

Выбор на мажоритарном графе

1-й изб. 2-й изб. 3-й изб.

А С В

В А A

С В C

А

В

С

:

18

Парадокс Кондорсе

1-й изб. 2-й изб. 3-й изб.

А С В

В А C

С В A

А

В

С

:

19

Различные концепции решений

• Ядро (von Neumann – Morgenstern)Множество недоминируемых элементов в

• Непокрытое множество (Miller)

• Доминирующее множество (Miller, Fishburn, Schwartz)

y B

B

Различные концепции решений

• Слабоустойчивое множество (Aleskerov&Kurbanov)

• k-устойчивое множество (Aleskerov&Subochev)

x z

y

x z

y3z 2z

1z

21

Манипулирование при голосовании

• Предпочтения участников

• Если в качестве правила голосования используется правило относительного большинства голосов, то кандидат И получит 3 голоса и будет избран, поскольку кандидаты П и С получат только по два голоса. При манипулировании будет избран C 4-мя голосами.

• Исследование степени манипулируемости процедур агрегирования

Группа 1 (3 чел.)

Группа 2 (2 чел.)

Группа 3 (2 чел.)

И С П с

П И С п

С П И и

22

Механизмы

• Какой должна быть процедура, чтобы участникам было невыгодно искажать свои мнения? (Маскин)

• Ответ: Федерации q-Паретовских правил

23

Механизмы

)0,(

),(

),(

),(1

iF

qiF

qIF

qIF

i

I

I

s

t I

I

t

q - федерация

q - олигархия

q - диктатор

диктатор

24

Механизмы

• Экономическая наука, в большей своей части, объясняет и описывает существующие институты и предсказывает, к чему приводят эти институты.

• Конструирование экономических механизмов, наоборот, имея в виду некоторую цель, пытается построить необходимые институты.

Пример: продажа радиочастот- компании хотят купить лицензию

- правительство хочет продать и выручить побольше

25

Английский аукцион

• Аукцион с правилом высшей цены (английский аукцион) работать не будет

участники Готовы заплатить

Объявлен. цена

Объявлен. цена’

1 10 5 6

2 8 4 6

3 7 3 5

4 5 2 4

5 4 1 3

26

Аукцион второй цены (Vikri)

• Участники объявляют свои цены, выигрывает предложивший максимальную цену, но платит он следующую по величине цену

• Выгодно ли занизить цену?

участник готов заплатить

1 10

2 8

3 7

4 5

5 4

27

Влияние в выборных органах

• Парламент с 99 местами. Правило принятия решений – простое большинство, т.е. 50 голосов.3 партии: A – 33 места, B – 33 места, C – 33 места. Выигрывающие коалиции А+В, А+С, В+С, А+В+С.

• Распределение мест изменилось: A и B имеют по 48 голосов, C - 3 голоса. Однако, выигрывающие коалиции те же, т.е. каждая партия равным образом влияет на решение.

28

Индекс Банцафа

- число коалиций, в которых партия i ключевая, тогда индекс Банцафаib

jj

i

bb

i)(

29

Пример

В парламенте 100 мест, 3 партии A, B, С имеют 50, 49 и 1 место. Правило принятия решений – простое большинство. Тогда выигрывающие коалиции A+В, A+С, A+B+С. Партия А является ключевой во всех трех коалициях. Тогда

Партии B и C являются ключевыми в одной коалиции каждая, т.е.

5

3

113

3)(

A

5

1

113

1)()(

CB

30

Power distribution of some parties in Russian parliament (1994-2003)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

jan.

94

apr.9

4

jul.9

4

oct.9

4

jan.

95

apr.9

5

jul.9

5

oct.9

5

jan.

96

apr.9

6

jul.9

6

oct.9

6

jan.

97

apr.9

7

jul.9

7

oct.9

7

jan.

98

apr.9

8

jul.9

8

oct.9

8

jan.

99

apr.9

9

jul.9

9

oct.9

9

jan.

-feb

.00

may

.00

sep.

00

dec.

00

may

.01

sep.

01

dec.

01

mar

.02

jun.

02

nov.

02

feb.

03

may

.03

oct.0

3

Ban

zhaf

ind

ex

Communists Liberal-Democrats Russia Regions Yabloko Agrarians

31

А что если не все коалиции возможны?

В предыдущем примере с тремя партиями А (50 мест), В (49 мест) и С (1 место) предположим, что партии А и В в коалицию не вступают. Тогда

или даже

3

2

12

2)(

A

0)( B

3

1

12

1)(

C

.

2

1

11

1)(

A

0)( B

2

1

11

1)(

C

32

Интенсивность вхождения в коалицию

-желание -того участника войти в коалицию с -тым

Интенсивность предпочтения -того участника войти в коалицию

Интенсивность предпочтения -тых по вхождению -ого в

ijp i j

ij jip p

j i

( , )1

ij

j

pf i

( , )1

ji

j

pf i

i

33

Интенсивность

Индекс влияния (аналог индекса Банцафа)

.( , )i f i

( ) i

i

i

34

Индекс согласованности

2211

2121 1,,1,max

1,qqqq

qqqqc

C =1, если позиции групп совпадают ( = ), и =0, если позиции противоположны (e.g., =0 и =1).

1q2q

1q 2q

35

, если ,

, в противном случае

Далее рассчитываем , , , и .

1

0ijp

1 2( , ) 0.4c q q

f ( , )f i ( )i( , )f i ( , )i

Распределение влияния крупных объединений (КПРФ, Единство, «Народный Депутат»), сценарий

0.4

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

ин

де

кс Б

ан

ца

фа

КПРФ Единст НарДеп КПРФ_д Единство_д Нардеп_д

37

Приложения

• Многокритериальные модели (принятие решений – много задач)

• Механизмы в прикладных задачах (аукционы, конкурсы, распределение студентов по ВУЗам, …)

• Распределение влияния (I – IV Думы РФ, царские Думы, МВФ, Рейхстаг 1919-1933, эффективность банков,…)

• Мультиагентные системы (управление транспортом)

• Эксперименты

38

Благодарю за внимание