第五节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 ...
DESCRIPTION
第五节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件. 第五模块 二 重积分与曲线积分. 一、 格林 ( Green ) 公式. 二、 平面上曲线积分与路径 无关的条件. 一、 格林 ( Green ) 公式. 定理 ( 格林定理 ) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域 , 函数 P ( x , y ) 及 Q ( x , y ) 在 D 上具有一阶连续的偏导数 , 则. ①. 其中曲线积分是按沿 L 的正向计算的 , 公式 ① 称为 格林公式. y. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林 (Green) 公式一、格林 (Green) 公式
第五节 格林公式 平面上曲线积分与路径无
关的条件
第五模块 二重积分与曲线积分第五模块 二重积分与曲线积分
定理 ( 格林定理 ) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域,函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数,则
,ddd
LD
yQxPy
P
x
Q ①
一、格林 (Green) 公式一、格林 (Green) 公式
其中曲线积分是按沿L的正向计算的,公式 ①称为格林公式 .
y
x a b O
A
B
C
D
L
E
y = 2(x)
y =1(x)
证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 . 例如区域 D 为图所示,于是根据二重积分的计算法,有
xyy
P
y
P b
a
x
xD
ddd)(
)(
2
1
.d)]}(,[)](,[{ 12 xxxPxxPb
a
另一方面 . 由曲线积分计算,有
xxxPxxxPa
b
b
ad)](,[d)](,[ 21
.)]}d(,[)](,[{ 21 xxxPxxPb
a
BCAAEBL
xyxPxyxPxP d),(d),(d
所以.dd
D L
xPy
P
同理可证
D L
yQx
Q.dd
两式相加,即得
D L
yQxPy
P
x
Q.ddd
取 P(x, y) = - y , Q(x, y) = x ,由格林公式得
.dddd2 D L
yxxyyx
上式左端是区域 D 的面积 A 的两倍,因此有
.dd2
1 L
xyyxA
例 1 求椭圆 x = acos t, y = bsin t 所围成的面积 A .
解 L
xyyxA dd2
1
2
0)cos(dsin)sin(dcos
2
1tatbtbta
.d)sin(cos2
1 2
0
22
abtttab
例 2 计算 , L
xyxyxy dd 22 其中 L 为正
向圆周 x2 + y2 = R2.
解 因为 P(x, y) = - x2y , Q(x, y) = xy2 ,
,, 22 yx
Qx
y
P
所以,由格林公式有
d)(dd 2222 D
Lyxxyxyxy
.2
πdd 4π2
0 0
3 RrrR
例 3 计算曲线积分
AnO
xx ymyxmyy .d)cose(d)sine(
其中 AnO 为由点 A(a, 0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 + y2 = ax(a > 0).
解 如果添加有向线段 OA ,则 AnO + OA =
L 是一条正向的封闭曲线 . 我们设由它围成的区域为 D.
因为 P(x, y) = exsin y – my,
Q(x, y) = excos y - m ,
所以
,cosecose mmyyy
P
x
Q xx
y
xO
D
n
A(a, 0)
则由格林公式得
L
xx ymyxmyy d)cose(d)sine(
.8
π
22
πd 2
2
ama
mmD
而
ymyxmyy x
AnO
x d)cose(d)sine(
L
xx ymyxmyy d)cose(d)sine(
OA
xx ymyxmyy d)cose(d)sine(
.8
π0d0
8
π 2
0
2 am
xam a
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
设 D 是一个开区域, 如果对 D 内任意指定的两点 A 与 B , 以及 D 内从点 A 到点 B
的任意两条不相同的分段光滑曲线 L1 、 L2 ,等式
21
ddddLL
yQxPyQxP
yQxPL dd
.dd B
AyQxP
恒成立,则称曲线积分 在 D 内与路径无关 . 这时,我们可将曲线积分记为
y
x O
L1
L2
DB
A
它也不是单连通域 .
如果区域 D 内的任意一条简单闭曲线所围成的区域完全属于 D ,则 D 称为单连通域 . 直观地说,单连通域就是没有空洞的区域 . (a) 图中的区域是单连通域,(b) 图中的两个区域都不是单连通域 .
(b) 图中右边的区域,仅在区域中挖去一个点,
(a) (b)
定理 1 在区域 D 中,曲线积分
与路径无关的充要条件是:对 D 内任意一条闭曲
线 C ,有
L
yQxP dd
C
yQxP .0dd
证 先证必要性 .
设 AnBmA 是 D 内任意一条闭曲线 . 因为曲线积分 在 D 内与路径无关,所以
LyQxP dd
AnB
yQxP dd ,dd AmB
yQxP
因此
AnBmAyQxP dd
BmAAnB
yQxPyQxP dddd
AmBAnB
yQxPyQxP dddd
.0
y
x O
BD
m
nA
再证充分性 .
设 A 、 B 是 D 内的任意两点,
AnB 与 AmB
是 D 内的任意两条路径 . 因为对 D 内任意一条闭曲线 C , 所以由题设有恒有 ,0dd
L
yQxP
,0dd AnBmA
yQxP
因此
AnB
yQxP dd .dd AmB
yQxP
y
x O
BD
m
nA
这就说明了曲线积分 与路径无关 . L
yQxP dd
定理 2 设函数 P(x, y) 、 Q (x, y) 在单连
通域 D 内有一阶连续偏导数,则曲线积分
与路径无关的充要条件是
L
yQxP dd
y
P
x
Q
Dyx ),(
证 先证充分性 .
(x, y) D ,所以对 D 内任
意一条正向封闭曲线 L1 及其围成的区域 D1 ,
因为 D1 D ,所以 D1 是单连域,由格林公式有
因为 ,y
P
x
Q
1
ddL
yQxP .0d1
D y
P
x
Q
于是由定理 1 知,曲线积分 在 D 内与路径无关 .
L
yQxP dd
必要性证明从略 .
例 4 计算 ,dsin3
1d)e3( 32 yyyxxxyxI
L
x
其中 L 是摆线 x = t – sin t, y = 1- cos t ,从点 A(2,
0) 到点 O(0, 0) 的一段弧 .
解 显然,用这段路径来计算是很复杂且困难 .
能否换一条路径呢? .,x
Q
y
P
为此计算 其中 P(x, y) =
x2y + 3xex, 得yyxyxQ sin3
1),( 3
.2
x
Qx
y
P
再选一条路径 L1 :由 A(2, 0) 沿 x 轴到原点 .
审查一下: 由 L 与 L1 所围的平面域是否单连通域 .P(x, y) 与 Q(x, y) 偏导数是否连续, 现在是连续的 .
所围的域是单连通域, 这样可以换为在 L1
上求曲线积分,即
x
y
O L1
L
A
yyyxxxyxL
x d)sin3
1(d)e3( 32
,d)sin3
1(d)e3(
1
32 yyyxxxyxL
x
因为 L1 上 dy = 0 , y = 0 所以上式为
yyyxxxyxL
x d)sin3
1(d)e3(
1
32
,3)π21(e3de3 π20
π2 xx x
即 yyyxxxyxL
x dsin3
1d)e3( 32
.3)π21(e3 π2
例 5 计算
解 如果不换路径,计算非常困难,为了换路径,先要计算 P 、 Q 的偏导数 .
,dd22
L yx
xyyx 其中 L 由点 A(- -
) 经曲线 y = cos x 到点 B(- ) ( 如图 ).
,),(22 yx
yyxP
22),(
yx
xyxQ
则 .)( 222
22
x
Q
yx
xy
y
P
y
x
L
O
A
xy cosπ
B
再考虑换一条路径 .
以 为半径的圆周,由 A 经大半圆到 B 为 L1 ,
π2
如果换成由 A 经直线到 B 为 L1 ,则 L 与 L1 所围的平面域内函数 P(x,
y) 与 Q(x, y) 在原点处偏导数不存在 . 这就是说它们所围的域不是单连通域 . 所以不满足将 L 换为 L1 的条件, 作一个以原点为圆心, 则此时, L 与 L1
所围的平面域内函数 P(x, y) , Q(x, y) 的偏导就连续了 . 即 L 与 L1 所围的平面域为单连通域 .
这就可以将 L 换为 L1. L1 的参数方程为
代入,得
L yx
xyyx22
dd
1
22
dd
L yx
xyyx
π.2
3d4
π
π4
5
t
,inπ2
,cosπ2:1
tsy
txL
从例 4 ,例 5 中我们可以归纳一下换积分路径的步骤:
则可进行下一步,否则就是积分与路径有关 .
1. 计算 是否相等 . 如果x
Q
y
P
.x
Q
y
P
2. 选一条路径 ( 与原路径同起、终点 )L1 , 使与原路径 L 所围平面域上函数 P(x, y) 与 Q(x, y) 偏导数连续,即所围的区域为单连通域, 则可将路径 L
换为 L1.