1

Урок математики. 11 класс. 6 октября 2010 г.

Преподаватель ГОУ № 671 Манасевич Н.А.

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

2

ЦЕЛЬ:

Обобщение знаний по решению тригонометрических уравнений.

Выделение основных проблем при решении этих уравнений:

• Потеря корней. • Посторонние корни.• Отбор корней.

3

ПЛАН УРОКА.

1. Вводная часть, повторение теоретического материала. (Фронтальная работа)

2. Решение тригонометрических уравнений.(Групповая работа)

3. Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

4

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Разложение на множители.

Введение новой переменной.

Функционально – графический метод.

5

Некоторые типы тригонометрических уравнений

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно cosх = t, sinх = t.

A sin2 x + B cosx + C = 0A cos2 x + В sinx + C = 0

Решаются методом введения новой переменной.2.Однородные уравнения первой и второй степени. I ст. A sinx + B cosx = 0 : cosx A tg x + B = 0II ст. A sin2 x + B sinx cosx + A cos2 x = 0 : cos2x A tg2 x + B tgx + C = 0

Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

3. Уравнение вида:А sinx + B cosx = C. А, В, С 0

Применимы все методы.

6

4. Понижение степени.

А cos2x + В = C.A cos2x + B = C.

Решаются методом разложения на множители.

A sin2x + B = C.A sin2x + B = C.

Сводятся к однородным уравнениям С = С( ). Сводятся к уравнению А sin2x + B cos2x = C.

5. Уравнение вида:

A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

Сводятся к квадратным относительно t = sinx + cosx.

1tsin2x 2

x22 cosxsin

xsin 2

xsin 2

x2cos

x2cos

7

;

2tg1

2

x2tg

sinx2 x

;

2tg1

2

xtg-1

cosx2

2

x

;

2tg1

2

x2tg

tgx2 x

Формулы

;a 22 bС

;С

а ;b

С

a cosx +b sinx заменим на C sin(x+), где

sin = cos = - вспомогательный аргумент.

Универсальная подстановка.

х + 2n; Проверка

обязательна!

Понижение степени. = (1 + cos2x ) : 2

= (1 – cos2x) : 2

x2cos

x2sin

Метод вспомогательного аргумента.

8

Правила

Увидел квадрат – понижай степень.

Увидел произведение – делай сумму.

Увидел сумму – делай произведение.

9

1.Потеря корней: делим на g(х).опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни: возводим в четную степень.умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Потеря корней, лишние корни.

10

Примеры тригонометрических уравнений.

Пример 2. sinx – cosx = 1

2π|| |

У

Хπ-π-2π

| ||| |0

_

2

1

-1

_

_

y = sin x

y = cos x + 1

Пример 3. 8 cosx + 15 sinx = 17.

Пример 1. 3sin 2x + cos2x + 1 = 0.

Уравнения вида Asinx + Bcosx = C

2

11

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений

1.Потеря корней.

Делим на g(х).Применяем опасные формулы.

Найдите ошибку.

2

хПример. cos x = sin x * sin

2. Посторонние корни.

Освобождаемся от знаменателя.Возводим в четную степень.

12

x2cos22xsin 1

Пример 1.

3(sin 4x – sin 2x + cos 3x + 2sin x – 1) : (2sin 2x - ) = 0

Пример 2.

\

У

t

/

π 2π

6

56

\

π

У

Х

/

/

\

2π

6

3

5

3

6

5

13

. 0 х

0 х

6

6

112

36

76

52

4

4

34

5

4

7

Отбор корней.

Пример.

tg x + tg 2x = tg 3x