ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
DESCRIPTION
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Основные определения. Векторы. Определение . Вектором назовём направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, ограниченный двумя точками, одна из которых называется начальной, а другая конечной. Изображение и обозначения. Компланарные векторы. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/1.jpg)
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Основные определенияОсновные определения
![Page 2: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/2.jpg)
Векторы
Определение. Вектором назовём направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, ограниченный двумя точками, одна из которых называется начальной, а другая конечной.
![Page 3: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/3.jpg)
Изображение и обозначения
![Page 4: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/6.jpg)
Компланарные векторы
Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно, называют свободным.
![Page 7: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/7.jpg)
Линейные операции над векторами
К линейным операциям относятся операции умножения вектора на
число, сложения и вычитания векторов.
![Page 8: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/13.jpg)
Свойства линейных операций над векторами
![Page 14: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/15.jpg)
Линейная зависимость векторов. Аффинный базис
![Page 16: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/19.jpg)
Базис на плоскости
![Page 20: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/20.jpg)
Базис в трехмерном пространстве
![Page 21: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/21.jpg)
Проекция вектора на ось
![Page 22: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/22.jpg)
Теоремы о проекциях
![Page 23: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/23.jpg)
Прямоугольный декартов базис
![Page 24: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/25.jpg)
Длина вектора
![Page 26: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/26.jpg)
Длина вектора, заданного концами – расстояние между точками
![Page 27: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/27.jpg)
Направляющие косинусы вектора
Направление вектора в пространстве определяется углами α, β и γ между вектором и положительным направлением соответствующих осей координат ОХ, ОУ, ОZ; cos α, cos β и cos γ называются направляющими косинусами вектора.
![Page 28: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/29.jpg)
Деление отрезка в данном отношении
![Page 30: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/31.jpg)
Скалярное произведение
![Page 32: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/32.jpg)
Свойства скалярного произведения
![Page 33: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/34.jpg)
Вычисление проекции вектора на вектор
![Page 35: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/35.jpg)
Скалярное произведение в декартовой системе координат
![Page 36: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/36.jpg)
Скалярное произведение орт
1 0 0
0 1 0
0 0 1
i j k
i
j
k
![Page 37: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/37.jpg)
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных проекций
![Page 38: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/38.jpg)
Итоговые формулы
![Page 39: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/39.jpg)
Векторное произведение
![Page 40: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/40.jpg)
Модуль векторного произведения
![Page 41: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/41.jpg)
Основные свойства векторного произведения
![Page 42: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/42.jpg)
![Page 43: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/43.jpg)
Векторное произведение в декартовой системе координат
![Page 44: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/44.jpg)
Векторное произведение орт
0
0
0
i j k
i k j
j k i
k j i
![Page 45: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/46.jpg)
С помощью определения векторного произведения можно решать задачу о вычислении площади треугольника, построенного на векторах как на сторонах (рис 2.26).
![Page 47: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/48.jpg)
Смешанное произведение трёх векторов
![Page 49: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/49.jpg)
Смешанное произведение в декартовой системе координат
Вычислим предварительно векторное произведение
![Page 50: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/50.jpg)
![Page 51: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/51.jpg)
Геометрический смысл смешанного произведения
Построим на векторах как на рёбрах параллелепипед
![Page 52: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/52.jpg)
![Page 53: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/53.jpg)
Вывод: модуль смешанного произведения трёх векторов равен объёму параллелепипеда,
построенного на этих векторах как на рёбрах.
![Page 54: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/54.jpg)
Свойства смешанного произведения
Все свойства смешанного произведения доказываются с помощью свойств определителя!
![Page 55: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102819/56813ef2550346895da96f44/html5/thumbnails/55.jpg)
Условие компланарности трех векторов