優質教育基金計劃推廣活動

處理初中數學學習差異— 從錯誤中學習

盧偉業老師

計劃簡介 處理初中生數學學習差異 收集初中同學於功課、小測和考試中常犯錯誤 分類、編輯成摘錄 針對學生常犯錯誤設計相關教學物資和內容 評核成效 ( 改善舊問題 + 發現新問題 ) 調整教學內容

本校初中學生常犯的運算錯誤 正負數運算 分數運算 括號的使用 解方程及公式主項

模仿學習

正負數運算

“ 負負得正”“12 + 10 = 22”

“ 負正得負”“2.9 + 4.5 = 7.4”

** 數字運算和正負符號分開處理(P.5) (P.6)

分數運算

10

12

10

21

10

9

10

3

10

12

770

** 帶分數的整數部份和分數部份分開處理

(P.7)

分數運算

4

6

432

523

152

x

x

** 繁分數處理** 加乘的先後處理

括號的使用 – 因式分解

** 能分辨最大公因數 未能了解抽走 最大公因數後的變化

** 混淆因式分解和化簡 的處理手法

括號的使用 – 展開

** 「拆」括號 「擦」括號

括號的使用 – 展開

** a(b – c) = ab – c

括號的使用 – 展開

Expand (2x – 7)2.

**(a)(b)(+c) =ab+ac

**(ab)2 = ab2

**(a – b)2 = a2 – b2

解方程

** 解方程 化簡

解方程

** 「移項」 ?? ** 移項概念不清 ( 兩邊同時乘或除 )

公式主項

** 主項在分母的處理

公式主項

** 主項要放在等 式的左邊

** A = B B = A** 移項

估計致錯原因 正負數運算

未能掌握正數和負數之關聯和異同 未能掌握正負數的交換律 (Commutative Property, -a+b=+b-a)

分數運算 未能掌握繁分數的四則運算 負值帶分數的運算壓力

括號的使用 未能掌握如何使用和使用括號的好處 未能掌握運算的先後次序 名詞的分別：因式分解 (factorize) 、化簡 (simplify) 指數的理解

解方程及公式主項 未能掌握方程式兩邊同時運作 ( 移項、對消 ) 和單邊獨立運作的分

別 兩邊同時乘、除數字後方程式的變化

嘗試措施 –正負數運算觀察規律例如：觀察以下例題，然後在空白地方填上正確答案。1. 已知 5 – 2 = 3 ，可得 2 – 5 = -3

2. 已知 10 – 6 = 4 ，可得 6 – 10 = -4

3. 已知 8 – 1 = 7 ，可得 1 – 8 = ( )

讓學生自行找出一般性的解答方法。

嘗試措施 –正負數運算改變看法

例 : 計算 10 – 33 + 9.

小學看法 : 10 – 33 + 9

中學看法 : +10 – 33 + 9

嘗試措施 – 分數改變看法

帶分數運算 假分數運算

中一生可能覺得不自然小學：分數用作描述具體數量，帶分數較自然。中學：分數可理解為比值。 ( 可引入假分數 )

可理解為除法。 ( 可引入繁分數 )

嘗試措施 – 括號為何要使用1. 運算的先後次序例 1 ：請於下列算式加上括號使得等式成立。

3 + 4 x 10 – 8 = 62

學生應該了解括號的使用對運算的影響

3 + 4 x 10 – 8 = 11

3 + 4 x 10 – 8 = 14

3 + 4 x 10 – 8 = 35

嘗試措施 – 括號*** 括號在分數的使用

學生應該了解括號的使用對運算的影響

1 + 2

1 + 41 – = 1 – (1 + 2)÷(1 + 4) ( ! )

(

(

)

)

嘗試措施 – 括號為何要使用2. “ 打包”例如：計算 10 – 3 + 10 – 3 + 10 + 10 – 3 – 3.

10 + 10 + 10 + 10 – 3 – 3 – 3 – 3

10 + 10 + 10 + 10 – (3 + 3 + 3 + 3)(10 + 10 + 10 + 10) – (3 + 3 + 3 + 3)(10 – 3) + (10 – 3) + (10 – 3) + (10 – 3)

與學生討論使用括號的需要和好處。4 x (10 – 3)

4 x 10 – 4 x 3

嘗試措施 – 括號為何要使用3. 可視為乘法

3 x 5 = (3)(5)

3 x 5 = 3(5)

3 x 5 = (3)5?

學生要了解如何加上括號才是正確。

3 x -5 = 3 x (-5)

3 x -5 = (3)(-5)

3 x -5 = 3(-5)

3 x -5 = (3)-5?

嘗試措施 – 括號

-2(-3)2 = ?

-2(-32) = ?

(-2)(-32) = ?

(-2)-32 = ?

嘗試措施 – 展開

橫式和直式

12 x 34 1 x

6

23 4= ( 10 + 2 ) ( 30 + 4 )

3 84

04 8

= 60 +

= 408

300 + 8 + 40

嘗試措施 – 展開

橫式和直式

12 x 34 1 x

6

23 4

= ( 10 + 2) (30 +4 )3

84

04 8

= 60 +

= 408

300 + 8 + 40

嘗試措施 – 展開

圖像理解

(a+b)2

(a-b)2

(a+c)x(b+d)

嘗試措施 – 因式分解

如何引入8 + 12 = 4 x 2 + 4 x 3 = 4 x (2 + 3)

問題 1 ：似乎有點笨…

問題 2 ： 8 + 12 = 2 x 4 + 2 x 10 = 2 x (4 + 10) 8 + 12 = 1 x (8 + 12)

8 + 12 = 0.5 x (16 + 24)

*** 計算 10 – 3 + 10 – 3 + 10 + 10 – 3 – 3

那麼 a – b + a – b + a + a – b – b 呢 ?

嘗試措施 – 因式分解

拼圖

引導學生有效率地找出矩形的底和高

嘗試措施 – 因式分解

拼圖

嘗試措施 – 因式分解

拼圖

嘗試措施 – 因式分解

儘管拼法不同，底和高都分別為 2x+1 和 x+2

( 因式分解的唯一性 )

嘗試措施 – 解方程

天秤法則

優點：1. 知道方程式兩邊的等價關係2. 能了解在解方程式的過程中，出現的每一個方程 式之間存在等價關係缺點：1. 加減乘除與其逆運算之間的關係不明顯

嘗試措施 – 解方程移項 –逆運算

嘗試措施 – 解方程

總結 沒有最好方法 沒有固定方法 只有最合適方法 多題一解 一題多解

謝謝

參考資料 教育局 中學杖本課程發展組

二零一二年十月 中學校本課程通訊 數學教學 林保平 臺北市立師範學院 數資系

正負數的概念及其加減運算 李祐宗 澎湖縣立湖西國民中學 國中補救教學示例 --從拼圖學因式分解 林壽福 臺北市國中數學輔導團 /興雅國中

解一元一次方程式楊淑真 彰化縣國中數學輔導團 /彰泰國中 解一元一次方程式