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第一章 流体力学基础——第一章习题

西安建筑科技大学

粉体工程研究所

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习题1.1 一块面积为 240 45cm ，高为1cm的木块，质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面等速向

下运动。已知 1 / , 1u m s mm ，求润滑油的动力粘性系数。

解： 根据牛顿粘性定律： duF A

dy

20.4 0.45 0.18A m

3

0 11000 1/

1 10 0

dus

dy

5sin 5 9.8 18.84

13F mg N

18.840.10 /

0.18 ( 1000)

FPa s

duAdy

3

习题1.2 在封闭端完全真空的情况下，水银柱差 2 50Z mm ，求盛水容器液面绝对压强 1p 和液

柱高度 1Z 。

解：由流体静压强分布规律：

0p p gh

和等压面的关系得：

2 2 2 1 1 1p gZ p gZ

而左端为真空，即 2 =0p

所以： 31 2 2 13.6 10 9.8 0.05 6664Pap gZ

32 2

11

13.6 10 9.8 0.050.68m

1000 9.8

gZZ

g

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习题1.3 水管上安装一复式水银测压计，如图 1.3所示。问 1 2 3 4, , ,p p p p 哪个最大？哪个最小？

那些相等？为什么？

解： 题中， 1p 最小， 2p 和 3p 相等，而 4p 最大。

由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ：

0p p gh

2 1 1( )p p gz 水 水银

2 3p p

4 3 3( )p p gz 水 水银

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习题1.4 封闭水箱各测压管的液面高程为： 1 2 4100 , 20 , 60cm cm cm ，问 3 为多少？

解： 题中， 1p 最小， 2p 和 3p 相等，而 4p 最大。

由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ：

0p p gh

3 1 1 3( )p p g 水

3 2 2 3( )p p g 水银

2 1p p

得： 2 3 1 3( ) ( )g g 水银 水

3 32 1

3 3 3

13.6 10 9.8 0.2 1 10 9.8 10.14

13.6 10 9.8 1 10 9.8

g gm

g g

水银 水

水银 水

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习题1.5 管路由不同直径的两管前后相连接所组成，小管直径 0.2Ad m ，大管直径 0.4Bd m 。水在管中流动时，A点压强 270 /AP kN m ，B点压强 240 /BP kN m ，B点流速 1 /Bu m s 。试判断水在管中流动方向。并计算水流经两断面间的水头损失。

解：假设水由 A 流向 B ，且为紊流，根据伯努利方程，有：

2 21 2

2 2A A B B

A B 1A B

p u p uZ Z h

g g g g

1 2 1 流态为紊流：由连续性方程有： A A B Bu A u A

由题： 270 /AP kN m ， 240 /BP kN m ， 1 /Bu m s ，取 A点所在面为基准面，

有 1BZ m将上述各值分别代入伯努利方程和连续性方程：

2

2

1 0.44 /

0.2B B

AA

u Au m s

A

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习题2 2

( )2

A B A B1A B A B

p p u uh Z Z

g g

3 3 2 270 10 40 10 4 1(0 1) 2.83 0

1000 9.8 2 9.8m

56

4 0.13.05 10 2000

1.31 10A A

A

u DRe

56

1 0.21.53 10 2000

1.31 10B B

B

u DRe

为紊流，与假设相符

为紊流，也与假设相符

所以假设成立，水在管中是从 A 点流向 B 点，且两断面间的水头损失为 2.83m 。

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习题1.6 水由图中喷嘴流出，管嘴出口 75d mm ，补考虑损失，其它数据见图，计算 H值（以

m计），p值（以 2/kN m 计）。

解：由伯努利方程，忽略阻力损失 :

对 0-0 面与 3-3 面，取 3-3 面中心线为基准面有：

2 20 0 3 3

0 32 2

P v P vH H

g g g g

其中： 0H H ， 3 0H , 0 3 0P P ， 0 0v ，得： 23

2

vH

g

对 1-1 面与 2-2 面，取 2-2 面中心线为基准面有： 2 2

1 1 2 21 22 2

P v P vH H

g g g g

1 2 1H H Z 2 21 1 2 2 1( )

2gZ P P v v

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习题对 p-p 面与 3-3 面，取 3-3 面中

心线为基准面有： 2 2

3 332 2

p pp

P v P vH H

g g g g

式中： 3 0pH H , pP P ， 3 0P ， 2pv v ，得： 2 23 2

2

v vP

由连续性方程有： 1 1 2 2 3 3v A v A v A

2 2 21 1 2 2 3 3

1 1 1

4 4 4d v d v d v 带入数据得： 1 20.64v v 3 216 / 9v v

由静力学定律可得： 1 1 2 2 2g( 0.175) g 0.175 gP Z Z P Z 水银

即： 1 1 2g 0.175 g g0.175Z P P 水银

2 8.64 /v m s22 2

3 3 1611.79

2 2 9

v vH m

g g

2 2 22 2 2 2

43 2

16( )

9 8.06 102 2

v vv vP Pa

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习题1.7 油沿管线流动，A 断面流速为 2 /m s，不计损失，求开口 C 管中的液面高度（其它数

据见图）。

解：由题，根据连续性方程： A A B Bu A u A

2

2

2 0.154.5 /

0.1A A

BB

u Au m s

A

取 B 点为基准点，由题，满足伯努利方程，忽略阻力损失，有： 2 2

1 2

2 2A A B B

A B

p u p uZ Z

g g g g

取题 1 所得油的粘性系数： 2 0.15

3 20000.1

A AA

u DRe

4.5 0.156.75 2000

0.1B B

B

u DRe

所以均为层流： 2A B

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习题式中： 1.2 , 0A BZ m Z m 1000 9.8 1.5 14700A Ap gh Pa

1000 9.8 BB Bp gh Pah 4.5 /Bu m s2 /Au m s

代入上式得 ：2 214700 2 2 2 4.5

1.2 01000 9.8 2 9.8 2 9.8

Bhg

g

1.5 1.2 0.20 1.03 1.04Bh m

所以，液面高度为 1.04m 。

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习题1.8 如果管道的长度不变，通过的流量不变，欲使沿程水头损失减少一半，直径需增大百

分之几？试分别讨论下列三种情况：

（1）管内流动为层流 64

Re ；

（2）管内流动为光滑区0.25

0.3164

Re ；

（3）管内流动为粗糙区 0.250.11( )K

d ；

解：由题，要保持流量不变，即： ( )uA C 常数

对于改变的前后两种情况，由连续性方程有： 2

1 1 12 2

2 2

u A u du

A d ＝

要使水头损失减半，即： 1 22l lh h

对问（ 1 ）将：

（ a ）64

Re

21 1 1

2 22 2

u A u du

A d ＝ 和 代入式 a 有：

2 421 1

1 41 1 2 2 2

64 64 12

Re 2 Re 2

u dl lu

d g d g d

2 421 1

1 41 1 2 21 2 2

64 64 12

2 2

u dl lu

u d u dd g d g d

即：

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习题4

2 1 12 1.189d d d

管径增大百分率为： 1 1

1

1.189100% 18.9%

d d

d

对问（ 2 ）将： 0.25

0.3164

Re

21 1 1

2 22 2

u A u du

A d ＝ 和 代入式 a 有：

2 421 1

10.25 0.25 41 1 2 2 2

0.3164 0.3164 12

Re 2 Re 2

u dl lu

d g d g d

0.25 52 1

51 2

Re2

Re

d

d

0.25

2 2515

1 1 2

2

u dd

u d d

即：

0.25 51 1

52 2

2d d

d d

19

2 1 116 1.157d d d

1 1

1

1.157100% 15.7%

d d

d

管径增大百分率为：

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习题

对问（ 3 ）将： 2

1 1 12 2

2 2

u A u du

A d ＝ 和

0.25

0.11K

d

0.25 0.252 2 41 1 1

41 1 2 2 2

0.11 2 0.112 2

u u dK l K l

d d g d d g d

即： 0.25 5

2 15

1 2

2d d

d d

21

2 1 116 1.141d d d

1 1

1

1.141100% 14.1%

d d

d

管径增大百分率为：

15

习题1.9 试确定下列各流场是否满足不可压流体的连续性条件：

（1） , , 0;x y zu kx u ky u （2） , , ;x y zu y z u z x u x y

（3） 2 2 2 2( ), ( ), 0;x y zu k x xy y u k x y u （4） sin , sin , 0;x y zu k xy u k xy u

解：不可压流体连续性方程的判据为： 0yx zuu u

x y z

, , 0yx zuu u

k kx y z

（ 1 ） 由题有

( ) 0 0yx zuu u

k kx y z

所以该流场满足不可压连续性方程

（ 2 ） 由题有

0, 0, 0yx zuu u

x y z

0 0 0 0yx z

uu u

x y z

所以该流场满足不可压连续性方程

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（ 3 ） 由题有

习题

(2 ), 2 , 0yx zuu u

k x y kyx y z

(2 ) 2 0 (2 3 ) 0yx zuu u

k x y ky k x yx y z

该流场不满足不可压连续性方程 （ 4 ） 由题有

cos , cos , 0yx zuu u

ky xy kx xyx y z

cos ( cos ) 0 ( )cos 0yx zuu u

ky xy kx xy k y x xyx y z

该流场不满足不可压连续性方程

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习题1.10 设两平板之间的距离为 2h，平板长宽皆为无限大，忽略质量力，如图所示。试用 N S方程推导不可压恒定流体的流速分布。

解：由 N－ S 方程：

2 1( )

3b

duF p u u

d

由连续性方程： ( ) 0div u

因为为恒定流， 且因为不可压， 粘性不变 ，

且平板长宽皆为无限大， 0, 0x yu u 忽略质量力

根据以上条件， N－ S 方程与连续性方程可化为：

0 ( )zu az

2

20 ( )zup

bz x

0 ( )p

dx

0 ( )

pc

y

0zu

z

常数

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习题

由 (c)， (d) 两式可知， ( )p p z 由 (b) 式，有： 2

2zup

z x

由于式（ e ）左方只是 Z 的函数，右方只是 X 的函数，双方要相等必须同时为常数，于是：

c

pp

z

即 p 只随 z 线性变化，如果 Z 方向， l 长度上的压降为 P ，即： dp p

dz l

式（ b ）可改写为：2

2zup

l x

积分得： 21 22z

pu x C x C

l

代入边界条件： , 0zx h u 21 20,

pC C h

l

得

所以 2 21( )2z

pu x h

l

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习题

1.11 已知流体的拉格朗日描述为 x a b c

y a b c

2

2 求流体的欧拉描述。

解：由题可得运动的描述为：

x

y

xu a b

yu a b

2

2

x

y

xa a

ya a

2

2

2

2

2

2

再由已知求得：x x y

a

x yb

2 22

2

代入上式得：

x

y

x yu

y xu

3232

x

y

x ya

y xa

2

2