Δομές Δεδομένων

Δομές Δεδομένων Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ 1

Δομές Δεδομένων

- DFS σε κατευθυνόμενο γράφο- Ελάχιστα Μονοπάτια- Τοπολογική Ταξινόμηση- Eλάχιστα Ζευγνύοντα Δένδρα


Depth First Search

Μέθοδος που χρησιμοποιείται ευρύτατα από πολλούς αλγορίθμους γραφημάτων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για:

• Να απαντήσει αν ο γράφος είναι συνεκτικός ή όχι,• Να προσδιοριστούν οι συνεκτικές συνιστώσες του

γράφου,• Να προσδιορίσουμε τα σημεία άρθρωσης, • …


Αλγόριθμος DFSDFS(G)

{

for each vertex u G->V {

u->color = EMPTY;

}

time = 0;

for each vertex u G->V {

if (u->color == EMPTY)

DFS_Visit(u);

}

}

DFS_Visit(u)

{

u->color = YELLOW;

time = time+1;

u->d = time;

for each v u->Adj[] {

if (v->color == EMPTY)

DFS_Visit(v);

}

u->color = WHITE;

time = time+1;

u->f = time;

}


Παράδειγμα DFSΠηγή


1 | | |

| | |

| |

d f

ΠηγήΠαράδειγμα DFS


1 | | |

| | |

2 | |

d f



1 | | |

| | 3 |

2 | |

d f



1 | | |

| | 3 | 4

2 | |

d f



1 | | |

| 5 | 3 | 4

2 | |

d f



1 | | |

| 5 | 63 | 4

2 | |

d f



1 | 8 | |

| 5 | 63 | 4

2 | 7 |

d f



1 | 8 | |

| 5 | 63 | 4

2 | 7 9 |

d f



1 | 8 | |

| 5 | 63 | 4

2 | 7 9 |10

d f



1 | 8 |11 |

| 5 | 63 | 4

2 | 7 9 |10

d f



1 |12 8 |11 |

| 5 | 63 | 4

2 | 7 9 |10

d f



1 |12 8 |11 13|

| 5 | 63 | 4

2 | 7 9 |10

d f



1 |12 8 |11 13|

14| 5 | 63 | 4

2 | 7 9 |10

d f



1 |12 8 |11 13|

14|155 | 63 | 4

2 | 7 9 |10

d f



1 |12 8 |11 13|16

14|155 | 63 | 4

2 | 7 9 |10

d f



DAGDAG = Directed Acyclic GraphΚατευθυνόμενος γράφος χωρίς κύκλους


Βασικό Θεώρημα

Ένας γράφος G(V,E) είναι DAG εάν και μόνο εάν το δένδρο DFS που προκύπτει δεν έχει πίσω βέλη.


Τοπολογική ΤαξινόμησηUnderwear Socks

ShoesPants

Belt

Shirt

Watch

Tie

Jacket

Socks Underwear Pants Shoes Watch Shirt Belt Tie Jacket


Μέθοδος

Topological-Sort(){

Εκτέλεση DFSΌταν ολοκληρώσουμε την επίσκεψη σε μία κορυφή, τη δίνουμε στην έξοδο.

Οι κορυφές δίδονται στην έξοδο με αντίστροφη σειρά.

}

• Κόστος: O(V+E)


Ελάχιστα Μονοπάτια

Πρόβλημα:

Σε ένα γράφο G(V,E) με βάρη, δίνονται οι κορυφές Α και Β και ζητείται να προσδιορίσουμε ένα μονοπάτι που έχει το ελάχιστο κόστος μετάβασης από την Α στη Β.


Tokyo Subway Map


Ελάχιστα Ζευγνύοντα Δένδρα

Αλλιώς: Minimum Spanning Trees (MST)

Είναι το δένδρο που προκύπτει από έναν γράφο G(V,E) αν κρατήσουμε τις ακμές που δίνουν αθροιστικά το ελάχιστο κόστος και ο γράφος που απομένει είναι συνδεδεμένος.


Minimum Spanning TreeΠοιες ακμές πρέπει να κρατήσουμε στο

παρακάτω γράφημα για να έχουμε MST?

H B C

G E D

F

A

1410

3

6 4

5

2

9

15

8


Minimum Spanning Tree

H B C

G E D

F

A

1410

3

6 4

5

2

9

15

8


Prim’s Algorithm

MST-Prim(G, w, r) Q = V[G]; for each u Q key[u] = ; key[r] = 0; p[r] = NULL; while (Q not empty) u = ExtractMin(Q); for each v Adj[u] if (v Q and w(u,v) < key[v]) p[v] = u; key[v] = w(u,v);


Prim’s Algorithm


1410

3

6 45

2

9

15

8

Run on example graph


Prim’s Algorithm


0

1410

3

6 45

2

9

15

8

Pick a start vertex r

r


Prim’s Algorithm


0

1410

3

6 45

2

9

15

8

u


Prim’s Algorithm


0

3

1410

3

6 45

2

9

15

8

u


Prim’s Algorithm


14

0

3

1410

3

6 45

2

9

15

8

u


Prim’s Algorithm


14

0

3

1410

3

6 45

2

9

15

8u


Prim’s Algorithm


14

0 8

3

1410

3

6 45

2

9

15

8u


Prim’s Algorithm


10

0 8

3

1410

3

6 45

2

9

15

8u


Prim’s Algorithm


10 2

0 8

3

1410

3

6 45

2

9

15

8u


Prim’s Algorithm


10 2

0 8 15

3

1410

3

6 45

2

9

15

8u


Prim’s Algorithm


10 2

0 8 15

3

1410

3

6 45

2

9

15

8

u


Prim’s Algorithm


10 2 9

0 8 15

3

1410

3

6 45

2

9

15

8

u


Prim’s Algorithm


10 2 9

0 8 15

3

4

1410

3

6 45

2

9

15

8

u


Prim’s Algorithm


5 2 9

0 8 15

3

4

1410

3

6 45

2

9

15

8

u

Δομές Δεδομένων

Documents