дифференциальные уравнения второго порядка
DESCRIPTION
дифференциальные уравнения второго порядка. { задача Коши - геометрическая интерпретация дифференциального уравнения второго порядка - приемы интегрирования дифференциальных уравнений 2-го порядка - уравнение погони – примеры }. Задача Коши. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
{ задача Коши - геометрическая интерпретация дифференциального уравнения второго порядка - приемы интегрирования дифференциальных уравнений 2-го порядка - уравнение погони – примеры }
Теорема
Дифференциальное уравнение второго порядка может иметь вид F(x,y,y’,y’’) = 0 или y’’ = f(x,y,y’). Общим решением уравнения является функция y = (x, C1,
C2), существенно зависящая от двух произвольных постоянных и обращающая данноеуравнение в тождество при любых значениях этих постоянных. Частное решение получается при закреплении постоянных С1, С2 . ),,(
dxdy
yxfdx
yd2
2
Задача отыскания решения дифференциального уравнения удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x0 ) = y0, y’(x0) = y’0 называется задачей Коши.
Если функция f - правая часть дифференциального уравнения d2y/dx2 = f(x,y,dy/dx) непрерывна в некоторой замкнутой трехмерной области D: oxyy’ и имеет в этой области ограниченные частные производную дf/дy, дf/дy’, то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Геометрически это означает, что через каждую точку M0 (x0,y0, y’0 )области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой
существования и единственности решения дифференциального уравнения
P0 (x0,y0)
D
x
y
o
),,(dxdy
yxfdx
yd2
2
00 yxy )(
)( xy 00 yx )(
),,( 21 CCxy
))(
),(,()(
dxxd
xxfdx
xd2
2
Y’M0 (x0,y0, y’0 )
00 dxdy
xdxdy
00 yx )(
@@ Решить дифференциальное уравнение второго порядка, при заданных начальных условиях
dxdy
x1
dx
yd2
2
11y )(
vx1
dxdv
vdxdy
Решение
xdx
vdv
2
2
11 C2x
CyxCdxdy
1C21
C11y 21 )( M(1,1)
x
y
o
11xdx
dy
xCv 1
1C11y 1 )(
21
C
1C
2
1
21x
y2
f ’y = 0
0xD :f ’y’ = 1/x
C2 = tg = 1
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y’,y’’)=0..Этим уравнением для каждой точки M(x,y) определяется связь между координатами точки, через которую проходит интегральная кривая, производной функции dy/dx - угловым коэффициент касательной к интегральной кривой, и, через вторую производную, кривизной кривой k.
y = (x)y’ = d/dx
k1
R
2
2
32 2
d ydx
k
dy1
dx
k1
R
Метод понижения порядка
)x(fdx
yd2
2
Тип I 1Cdx)x(fdxdy
21 CxCdx)dx)x(f(y
)y(fdx
yd2
2
Тип II )y(fdxdy
2dxdxdy
d2
1
2
Cdy)y(f2dxdy
1Cdy)y(f2dxdy
2
1
CxCdy)y(f2
dy
Метод понижения порядка
),(
)(
yxfy
yfyТип III
dxdu
y uy ,
),(
)(
uxfdxdu
ufdxdu
м.ф. xy
0xy
yyfy
)(
,)(
),(
Тип IV u
dydu
dxdy
dydu
dxdu
y uy ,
),(/),(~),,(~ uy uuydydu
uyudydu
@@ Решить дифференциальное уравнение
y2
2
e2dx
yd
Решение
2)0(y,0)0(y
dxdy
e4dx
yddxdy
2 y2
2
dye4)dxdy
(d y2 1y2 Ce4)
dxdy
(
ye2dxdy
0C1
dx2e
dyy 2
2y
Cx2e2
2C2
x1e 2y
2x1
1lny
Если точка A движется вдоль заданной кривой, а точка P преследует её, причем вектор направления движения точки P всегда направлен на точку A , и скорости движения точек постоянны, то траектория точки P называется кривой погони. Такая задача впервые была решена французским математиком Pierre Bouguer в 1732 году, впоследствии задачи такого класса исследовались английским математиком Boole.
Определить траекторию преследования цели ракетой, если цель движется вдоль прямой, а скорости цели и ракеты равны между собой.
P
A
Уравнение кривой погони выводится при условии, что вектор касательной к траектории в точке P всегда параллелен линии, соединяющей A и P
Пусть точка A движется вдоль оси y, тогда уравнение её движения:
Уравнение движения точки P в параметрической форме :
PP 1t
t
'
'
P
P
PA
PA1t 'P
AA
1t
PA
PPA '
ty
0xt )(A
)(),( tyx PP
1dtdy
dtdx
22
1
dtdydtdx
yt
x0
ytx
122
)(
Последнее уравнение может быть переписано в следующем виде
222
ytxdtdx
xdtdy
yt )()(
01dtdy
ytdtdy
dtdx
tyx21dtdx
x2
22
2
)()(
0dtdy
ytdtdy
dtdx
ytx2dtdx
x2
22
2
)()(
0ytdxdy
xdtdx
dtdy
dxdy
/
0dtdx
ytdtdy
x0dtdx
ytdtdy
x2
)()(
0dxdy
1dx
ydx 0dxy1y
dxdy
x2
2
22
ttvdxy1 2
Последнее уравнение допускает понижение порядка
dxdy
u 0u1dxdu
x 2 2u1dxdu
x
x
dx
u1
du
2
x
dx
u1
du
2 2
222
22
22 uxuC8xC16u1 xC4 u1u
xC8
1xC2
xC81xC16
u2
22
222
dx
xC81
xC2dy2
2
2
221 C8
xxCCy
ln
2
221 C8
xxCCy
ln
Начальные условия: в момент времени t = 0 точка P находится в точке плоскости M0 и имеет скорость V = 1
После подстановки этих величин в общее решение получаем частное решение
0
0
0
00
xy
xdxdy
xxy
)(
000000 ry3ryry41
y ln220
2
000
yxr xx
,
P
A