西元前六世紀，大約是孔子的時代，

　畢達哥拉斯 生於愛琴海上的

薩摩斯島

畢達哥拉斯 (Pythagoras)約公元前 572 －公元前 492古希臘哲學家，數學家，天文學家。

他的一生

充滿了傳奇與神祕

　畢達哥拉斯 歷經 20年的海外旅遊 曾到過 印度、埃及、巴比倫 接受古代流傳下來的 天文 、 數學知識

畢達哥拉斯 回到薩摩斯島後， 建立一所學校 叫畢達哥拉斯半圓 致力於哲學研究 及數學的應用

一日，在一個貴族的盛大宴會裡， 這位 樂於辯論 喜歡沉思 善於觀察 的畢達哥拉斯 被地板上奇妙的圖案 吸引住了 ...

看著一個個相同的直角三角形花磚， 黑與白交替的排列著， 形成美麗的方格地面。 在這美麗的方格中， 似乎有一種模糊不清的規則 時隱時現的 出現在他的面前…

是的！　一定有一種奇妙的東西

藏在這方格子裡面！

畢達哥拉斯暗想著…

畢達哥拉斯彎下腰去， 用手指頭在磚上畫起圖來。

真巧！大正方形面積 =兩個小正方形面積之和！

＋ ＝

於是，畢達哥拉斯提出： 直角三角形中垂直的兩邊稱之為股而另一邊為斜邊， 那麼兩股的平方和這就是數學史上有名的－ 畢達哥拉斯定理

股

股

斜邊

斜邊的平方＝

222 cba

再看一次故事

定理的名稱定理的證明

關於畢達哥拉斯

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歷史上商高定理的名稱特別多，在不同時代、不同地區

都有不同名稱。讓我們來看看有哪些說法…

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商高定理商高定理

畢式定理畢式定理

勾股定理勾股定理

陳子定理陳子定理

百牛定理百牛定理

驢橋定理驢橋定理

木匠定理木匠定理

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想了解名稱的由來－請按各名稱前的

商高定理《周髀算經》書中有一段商高（西周時大夫，約西元前 1100 年）答周公問中有「勾廣三 ,股修四 ,經隅五」的話，意即直角三角形的兩條直角邊是 3及 4、斜邊是 5。商高提到的勾三

、股四、弦五是我國最早有關「商高定理」的記載，由於畢達哥拉斯比商高晚出生五百多年故有些人認為此定理應稱為「商高定理」。

＜回到定理名稱＞＜回到定理名稱＞

畢氏定理西方國家普遍相信「畢氏定理」是由畢達哥拉斯發現的，或者至少是由他證明的。近代數學史家對這個推論表示存疑。雖然有許多證據顯示畢達哥拉斯並非此定理的創始者，然而因為早期許多哲學家、數學史家等推斷畢達哥拉斯發現了這個定理，故冠以「畢達哥拉斯定理」之名。

＜回到定理名稱＞＜回到定理名稱＞

勾股定理

勾股弦勾股弦即表示直角三角形的三個邊長 即表示直角三角形的三個邊長 三角形的三角形的短邊短邊稱之為「勾」稱之為「勾」三角形的三角形的長邊長邊稱之為「股」稱之為「股」長邊和短邊的連線即長邊和短邊的連線即斜邊斜邊稱之為「弦」稱之為「弦」

有些人認為不知是由誰最先發現定理，有些人認為不知是由誰最先發現定理，故故避開人名避開人名，以「勾股弦定理」稱之，，以「勾股弦定理」稱之，有勾股必有弦，故亦稱為「有勾股必有弦，故亦稱為「勾股定理勾股定理」。」。此名稱，可追溯自此名稱，可追溯自 << 周髀算經周髀算經 >> 的的趙君卿趙君卿注注

勾三

股四

弦五

勾股弦圖

Kou-ku-shian

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木匠定理

由於木匠在決定垂直、直角及邊長時， 發現邊長為 3, 4, 5 的三角形關係， 並且為直角三角形。　這是木匠經常使用來求直角的方式，　即為木匠法則，所以又稱木匠定理

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陳子定理《周髀算經》記載陳子的敘述：「昔者榮方問於陳子，曰今者竊聞夫子之道，如日之高大，光之所照，一日所行，遠近之數，人所望見，四極之窮，列星之宿，若求邪至日者，以日下為句，高為股，句股各自乘，并而開方除之，得邪至日，從畢所旁至日所十萬里。」這段敘述除了指出三角測量的方法外，並提到「句股各自乘，并而開方除之」。所以有人認為此定理應稱為「陳子定理」。

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百牛定理

相傳畢達哥拉斯發現畢氏定理後欣喜若狂，於是宰了 100 頭牛來祭拜掌管文藝、科學的繆斯女神 (Muses)，以酬謝神的啟示並大肆慶賀了許多天，因此畢氏定理也叫做百牛定理

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驢橋定理這個定理原是指歐幾里得《幾何原本》第一卷的第五命題：『等腰三角形兩底角相等』。記載中，歐洲中世紀時，有些學生學到這個命題時，就學不下去了。所以這一命題被謔稱為「驢橋」，意謂笨蛋的難關 或『驢橋定理』即「驢橋在此，愚者莫過」之意。不知怎的，法國人卻喜歡把這個名字加諸在 Pythagoras 定理的頭上 !

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畢達哥拉斯的生平畢達哥拉斯的生平畢達哥拉斯學派畢達哥拉斯學派

畢達哥拉斯的貢獻畢達哥拉斯的貢獻畢達哥拉斯的傳說畢達哥拉斯的傳說

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畢達哥拉斯的生平畢達哥拉斯 (Pythagoras,約西元前 572~300 )

是希臘哲學家、數學家、天文學家。生於希臘東部薩摩斯島 (Samos)卒於他林敦 (即現在意大利南部的塔蘭托 ) 。年輕時離家求學，拜泰爾斯 (Thales of Miletus)為師，學習幾何與哲學。後遊學巴比倫和埃及，接受古代留傳下來的天文學和數學知識

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畢達哥拉斯約西元前 530 年移居到西西里島，後定居在義大利半島南端的克羅托內 (Crotone)並建立畢達哥拉斯學派，收受門徒並限制僅300 名。學派聲勢日漸壯大，開始掌有政權，但遭到一位因入會被拒的人民領袖西隆 (Cylon)煽惑當地人民發生暴動，學派的聚會場所在暴動中被燒毀，大部份信徒被燒死，而畢氏雖逃到梅塔龐塔姆，但卻在又一次的襲擊中（約西元前 500 年）被殺死。

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畢達哥拉斯學派畢達哥拉斯定居克羅托內時，創立一個宗教、政治、學術合一的秘密團体，後人稱之為畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯學派的組織非常嚴密，帶有濃厚的宗教色彩，且學派中任何會員的發現都會歸於畢達哥拉斯的名下，且秘而不宣，因此後人不知這些成就具體是由何人何時發明的。學派把五邊形之對角線組成一個五角星，把它當作會員的識別符號。

＜回到畢達哥拉斯＞

畢達哥拉斯的貢獻畢達哥拉斯的主要貢獻在數學。他的主要成就有： 1. 將學問分為四類：　 數的絶對理論：算術 數的應用：音樂 靜止的量：幾何 運動的量：天文 上述四項合起來叫四道 (quadrivium)

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畢達哥拉斯的貢獻畢達哥拉斯的主要貢獻在數學。他的主要成就有： 2. 根據簡單整數比原理創造音樂理論： 畢達哥拉斯學派非常著迷數與音樂的 研究，將數字觀念應用在音樂上，對 希臘和後來的歐洲音樂理論產生極為 深遠的影響，使得他贏得希臘音樂理 論的開山鼻祖。

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畢達哥拉斯的貢獻畢達哥拉斯的主要貢獻在數學。他的主要成就有： 3. 將自然數進行分類：　　　 如奇數、偶數 完全數、親和數 三角數、五角數、六角數 平方數……等等；

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畢達哥拉斯的貢獻畢達哥拉斯的主要貢獻在數學。他的主要成就有： 4. 畢達哥拉斯定理與畢達哥拉斯數：　　　 畢氏定理 兩股的平方和等於斜邊的平方 畢氏數 能滿足畢氏定理的三個正整數 如： (3,4,5)(5,12,13)(7,24,25) 下一頁

畢達哥拉斯的貢獻畢達哥拉斯的主要貢獻在數學。他的主要成就有： 5. 圖形的填滿及正多面體的研究： 證明了三角形，正方形及正六邊形 可填滿平面。 發現四面體、六面體及八面體 (歐幾里德證明僅存五種正多面體 , 另二種為十二面體及二十面體 )

＜回到畢達哥拉斯＞

畢達哥拉斯的傳說有趣的傳說： 畢達哥拉斯是一位非常優秀的教師，他認為每個人都該懂些幾何。有一次他看到一個勤勉的窮人，他想教他學習幾何，因此對此人建議：如果這人能學懂一個定理，那麼他就給他一塊錢幣。這個人看在錢的份上就和他學幾何了，可是過了一個時期期，這學生對幾何卻產生了非常大的興趣，反而要求畢達哥拉斯教快一些，並且建議：如果老師多教一個定理，他就給一個錢幣。不需要多少時間，畢達哥拉斯把他以前給那學生的錢全部收回了。

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畢達哥拉斯的傳說神秘的傳說： 畢達哥拉斯有一次從被鞭打的狗旁邊經過，懇求鞭打的人不要再打了，因為他看見這隻狗的靈魂就是他的朋友；而他本人也有多次靈魂轉世的記載；亞里斯多德也記載許多他的奇蹟，譬如：在同一天同一時候，許多人不僅在梅塔龐塔姆，而且在克羅托內看見他，在渡河時，許多人都聽見河水發出「畢達哥拉斯」的歡呼聲。

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畢達哥拉斯的傳說特別的傳說： 在所有『數』中，畢達哥拉斯特別討厭 17這個數。因為它正好在 16和 18之間。而 16和 18是僅有的自然數：正好同時等於一個矩形的面積或周長。例如：邊長是4的正方形，它的面積是 16而四邊長度的和也是 16。邊長是 3與 6的矩形，面積是 18而四邊長度的和也是 18。　　除了 16和 18外，其它沒有任何自然數可以滿足這樣的性質。

＜回到畢達哥拉斯＞

讓我們以欣賞的眼光來看

這是

達文西的證明

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隨時動動腦，人才不會老隨時動動腦，人才不會老

想想下面的問題想想下面的問題

並和同學老師一起討論喔…並和同學老師一起討論喔…

問題一 問題二 問題三<或回去選星星>

問題一

為何我們要稱畢氏定理 為商高定理呢？

　　

可以看看理由喔…

理由是…主要是定理起源的問題，目前所知在我國古代以及古巴比倫時代均有相類似的定理證明，而且時間均比畢達哥拉斯來的早，因此我們於 80 年代將之改為 ---商高定理。這可是中國人相當偉大的成就喔！

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問題二

什麼是 三角數、五角數、六角數 完全數、親和數、平方數

( 別忘了逛逛圖書館或上網查詢 )　　

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問題三

目前所記載的商高定理的證明有幾種呢？你能不能也想出一種證明方法

( 別忘了逛逛圖書館或上網查詢 )　　

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