第一篇电阻电路

“十一五”规划教材—电路基础

第一篇电阻电路


第一章基本概念和基本规律1.1 电路和电路模型• 电路（ electric circuit ）是由电气器件互连而成的电的通路。

• 模型（ model ）是任何客观事物的理想化表示，是对客观事物的主要性能和变化规律的一种抽象。

• 电路理论（ circuit theory ）为了定量研究电路的电气性能，将组成实际电路的电气器件在一定条件下按其主要电磁性质加以理想化，从而得到一系列理想化元件，如电阻元件、电容元件和电感元件等。


• 由于没有任何一种实际器件只呈现一种电磁性质，而能把其它电磁性质排除在外，所以器件建模是有条件的，一种近似表示只有在一定的条件下适用，条件变了，电路模型的形式也要作相应的改变。

• 电路分析（ circuit analysis ），就是对由理想元件组成的电路模型的分析。虽然分析结果仅是实际电路的近似值，但它是判断实际电路电气性能和指导电路设计的重要依据。

如：不同工作频率下的电阻模型

R R

C

L


• 当实际电路的尺寸远小于其使用时的最高工作频率所对应的波长时，可以无须考虑电磁量的空间分布，相应的电路元件称为集中参数元件。由集中参数元件组成的电路，称为实际电路的集中参数电路模型或简称为集中参数电路。描述电路的方程一般是代数方程或常微分方程。

• 如果电路中的电磁量是时间和空间的函数，使得描述电路的方程是以时间和空间为自变量的代数方程或偏微分方程，则这样的电路模型称为分布参数电路。

电路集中化条件：实际电路的各向尺寸 d远小于电路工作频率所对应的电磁波波长 λ ，即 d


例 1.1.1 我国电力用电的频率是 50Hz ，则该频率对应的波长 8/ (3 10 / 50)km 6000kmc f

可见，对以此为工作频率的实验室设备来说，其尺寸远小于这一波长，因此它能满足集中化条件。而对于数量级为 103km 的远距离输电线来说，则不满足集中化条件，不能按集中参数电路处理。

例 1.1.3 对无线电接收机的天线来说，如果所接收到信号频率为 400MHz ，则对应的波长为

8 6/ [3 10 /(400 10 ]m 0.75m)c f

因此，即使天线的长度只有 0.1m ，也不能把天线视为集中参数元件。


1.2 电路变量• 分析电路需要对电路进行数学描述，这种描述是由电路的一些物理量，如电压、电流、电荷、磁通、功率和能量等来表示的。这些物理量统称为电路变量或网络变量。其中电压和电流是描述电路特性的两个基本变量

• 电流：单位时间内通过导体横截面的电量，用 i表示。电流的方向规定为正电荷运动的方向。如果电流的大小和方向不随时间变化，则称为恒定电流或直流电流，否则称为时变电流。若时变电流的大小和方向都随时间周期性变化，则称为交变电流。


• 分析复杂电路时往往难以事先判断某支路电流的实际方向，因此分析电流时先假定一个方向，称为参考方向，通常用带有箭标的线段表示，也可以采用双下标字母表示，如 Iab表示电流的参考方向由 a端指向 b端。当电流实际方向与参考方向一致时，电流的数值就为正值；反之，当电流的实际方向与参考方向相反时，则电流的数值为负值。

电流的实际方向与参考方向的关系：

i i i ia ab b

（ a ）实际方向与参考方向一致（ b ）实际方向与参考方向相反


• 电压：库仑电场力将单位正电荷由电场中的 a点移动到 b点所作的功称为 a 、 b 两点间的电压，用 u表示。如果正电荷由 a移动到 b获得能量，则 a点为低电位，即负极， b点为高电位，即正极。电压的方向为正极指向负极。为便于分析计算，电压也引入参考方向。参考方向可以任意假定，通常采用“＋”、“－”极性符号表示，也可以采用双下标字母表示，并规定由前一个字母（高电位端）指向后一个字母（低电位端）。

电压参考极性的表示： a b

u


• 分析电路时，既要为流经元件的电流假设参考方向，也要为元件两端的电压假设参考方向，它们彼此可以独立无关。但为了方便起见，常常采用一致参考方向，即电流参考方向与电压 “＋”极到“－”极的参考方向一致，于是在电路图上只需标出电流参考方向或电压参考方向即可。一致参考方向也称为关联参考方向。

一致参考方向：

ui

ui

aaa

bbb

“十一五”规划教材—电路基础• 功率是指某一段电路吸收或提供能量的速率。功

率用符号 p表示。

功率的参考方向：一段电路在电压、电流取一致参考方向的情况下，功率的参考方向指定为进入该电路。

a

b

u

i

p

w

当任意一个二端电路元件的电压和电流取一致参考方向时，其吸收（即外界输入）的功率为

p ui


• 一段电路在电压电流取一致参考方向下，从 t0到 t

的时间内该部分电路吸收的能量为

0 00( , ) ( ) ( ) ( )

t t

t tw t t p d u i d

1.3 电路基本规律 1.3.1 图论的基础知识与基本结论 • 图是一组节点和一组支路的集合，且每条支路的两端必须终止在两个节点上。

电路及其图：

1

2

3

4

5

②① ③

④

5

② ③

④

1

2

3

4①

“十一五”规划教材—电路基础• 全部节点都为支路所连通的图称为连通图，否则

称为非连通图。

M321 4 5 6

⑤①

②

③

④ ⑥ ④

①

②

③ ⑤

12

34 5 6

⑥

1

2

3

4

5

②① ③

④

5

② ③

④

1

2

3

4①1i

2i

3i4i

5i

• 各支路都标有参考方向（用箭标表示）的图称为有向图，否则称为无向图。


• 对于一个多端元件的两个端钮，如果在任一时间 t，从一个端钮流入的电流等于从另一个端钮流出的电流，则称这两个端钮为一个端口。若多端元件的端钮能两两组成端口，则称为多端口元件。

n端元件及其有向图：选端钮 n作为参考点 1i

2i

ni

21 1i

2i

ni

21 1

2

1n n n

n

二端口元件及其有向图： 1i 2i

1u 2u1 'i

M1 2 1

1' 2 '

2

1' 2 '2 'i


• 给定图 G 和 Gi，如果 Gi的每个节点都是图 G 中的节点，每条支路都是图 G 中的支路，则称图 Gi

是图 G 的子图。图 G 的子图

②

④

1

2

3

①

5

② ③

④

1

2

3

4① ② ③

④

2

3

4①③

• 给定图 G 的一个子图 Gi，如果 Gi是连通的，且其每一个节点仅与两条支路相关联，则称这个子图 Gi为回路。


• 给定图 G 的一个子图 Gi，如果 Gi是包含图 G 中的所有节点而不形成回路的连通图，则称子图 Gi

为连通图 G 的一个树。图 G 中构成树的支路称为树支，而把图 G 中除去树支以外的支路称为连支

②

④

1

2

3

①

5

② ③

④

1

2

3

4① ② ③

④

2

3

4①③

• 设一图 G ，如果将其画在平面上，且不出现两条支路交叉于一个非节点处，那么称图 G 为平面图。否则称为非平面图。


• 对于平面图 G 的一回路，如果在回路所限定的区域内不包含支路，则称该回路为网孔。网孔是一种特殊的回路，它包括内网孔和外网孔。

平面图与非平面图：

• 对于连通图 G 的任一支路集，如果移去该集的所有支路，能使图 G 分成两个分离部分，然而只要少移去其中的任一支路，图仍然是连通的，则此支路集称为图 G 的一个割集。


• 对于任意一个连通图 G ，选定一个树后，由一条连支和若干条树支构成的回路称为基本回路 ( 或单连支回路 ) 。基本回路的参考方向一般取与连支的参考方向一致。

图 G 的部分割集：

5

② ③

④

1

2

3

4①

对于一个连通图，确定其割集的一个比较方便的方法是先作一个高斯面（闭合曲面），然后看高斯面切割到的一组支路是否满足割集的定义。


• 对于任意一个连通图 G ，选定一个树，每条树支总能和若干条连支构成一个割集，这种仅包含一条树支的割集称为基本割集（或单树支割集）。基本割集的参考方向一般取与树支的参考方向一致。

图 G 的基本割集：选定树支集为 {2,3,5}

5

② ③

④

1

2

3

4①


• 对于一个具有 n个节点、 b条支路的连通图 G ，其树支数必为 n1 ，其连支数必为 b(n1) 。其基本割集数 nt必为 n1 ，基本回路数，即独立回路数 l等于连支数。即支路数与节点数和基本回路数的关系为 1b n l

1.3.2 基尔霍夫电流定律 • 基尔霍夫电流定律（简记为 KCL ）可表述为：对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。基尔霍夫电流定律又称基尔霍夫第一定律，其物理背景是电荷守恒公理。


1

2

3

4

5

②① ③

④

1i2i

3i4i

5i

对图示电路应用 KCL ，取流出节点的电流为正

例：

节点① i1i20

节点② i2i3i40

节点③ i4i50

节点④ i1i3i50

节点应用 KCL 建立电路方程时，根据各支路电流的参考方向，既可规定流出节点的电流为正，也可规定流入节点的电流为正，两种取法任选一种。


1

2

3

4

5

②① ③

④

1i2i

3i4i

5i

例：节点① i1i20

节点② i2i3i40

节点③ i4i50

节点④ i1i3i50

KCL 适用于任何集中参数电路，与元件的性质无关。由 KCL 所得到的电路方程是线性齐次代数方程。把上面的四个方程相加，可以发现所得方程为 0≡0 。所以对任一具有 n个节点， b条支路的，电路列写 KCL 方程，所得方程组中的独立方程只有 n1 个。所以一般先选定参考节点，然后对除去参考节点外的其它 n1 个独立节点列写 KCL 方程。


• KCL 通常适用于集中参数电路的节点，但对电路中任一割集（或闭合面）也是成立的，即：对于任一集中参数电路中的任一割集（或闭合面），在任一时刻，流出（或流入）该割集（或闭合面）的所有支路电流的代数和等于零。

KCL 应用于闭合面：

1

2

3

4

5

②① ③

④

1i2i

3i4i

5i

6i6

1 2 4 5 6 0i i i i i


1.3.3 基尔霍夫电压定律• 基尔霍夫电压定律 ( 简记为 KVL) 可表述为：对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一时刻，沿该回路所有支路电压的代数和等于零

基尔霍夫电压定律又称基尔霍夫第二定律，其物理背景是能量守恒公理。

例： 3u

① ② ③

④

3l

1u

2u

4u

5u

6u1l 2l

回路 l1 u1u2u40

回路 l2 u4u5u60

回路 l3 u2u3u50


KVL 适用于任何集中参数电路，它与元件性质无关。由 KVL 所得到的电路方程是线性齐次代数方程，它表明了构成回路的各支路电压所受的线性约束。对任一具有 n个节点， b条支路的电路列写 KVL 方程，其独立方程数等于独立回路数。独立的 KVL 方程数为 b (n1) 。

1.3.4 关联矩阵和基尔霍夫定律的矩阵形式 • 具有 n个节点、 b条支路的有向图的关联矩阵 Aa的第 (i， k) 个元素

1 ,

1 ,

0ik

k

a k

k

支路与节点相关联且其方向离开节点

支路与节点相关联且其方向指向节点

支路与节点无关联

ⓘ ⓘ

ⓘ ⓘ

ⓘ

“十一五”规划教材—电路基础例 1.3.3 试求图 (a) 所示有向连通图的关联矩阵 Aa

5

② ③

④

1

2

3

4①

( )a ( )b

1 2 3 4 5

1 1 0 0 0

0 1 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

aA

①

②

③

④

解：图 (a) 所示有向连通图具有 4 个节点和 5 条支路，首先对其节点和支路进行编号，如图 (b) 所示。将支路编号按序写在对应的列上，节点编号按序写在对应的行上。根据定义写出关联矩阵如下


• Aa中的任意一行都可由其它的 n1 行来确定。因此，可以把 Aa中的任意一行删去，便得到一个具有 n1行和 b列的矩阵，其秩为 n1 ，称之为降阶关联矩阵

例： 1 2 3 4 5

1 1 0 0 0

0 1 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

aA

①

②

③

④

1 2 3 4 5

1 1 0 0 0

0 1 1 1 0

0 0 0 1 1

A

①

②

③

只要给定一个有向图，就能求得关联矩阵 Aa 或降阶关联矩阵 A；反之，对任意一个给定的关联矩阵 Aa 或降阶关联矩阵 A，也能画出对应的有向图。

“十一五”规划教材—电路基础例 1.3.4 已知关联矩阵 Aa ，试画出其对应的有向

图

解：画有向图时，可以先画出全部节点，然后根据关联矩阵的表达式画出节点间的相关支路。

1 1 1 1 0

0 0 0 1 0

1 1 0 0 1

0 0 1 0

2 4

1

1 3 5

a

①

②

③

④

A

5

② ③ ④1

2

3

4①


例 1.3.5 求图示有向连通图的网孔矩阵Mm 。

• 具有 n个节点、 b条支路的有向图的网孔矩阵Mm

的第 (i， k) 个元素1 ,

1 ,

0ik

i i

i i

i

k

m k

k

支路与网孔相关联且其方向与网孔一致

支路与网孔相关联且其方向与网孔相反

支路与网孔无关联

512

3

46m1

m2 m3

m4

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

0 1 0 1 0 1

1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 0

1 0 0 0 1 1

m

m

m

m

m

M

把Mm 中的任意一行删去，便得到降阶网孔矩阵M


• KCL 和 KVL 的矩阵形式

KCL 方程的矩阵形式： Aib = 0

ib 为支路电流向量 ib=[i1, i2, ..., ib]T

KVL 方程的矩阵形式： ub = ATun

ib = MTim

Mub = 0

im 为网孔电流向量 im=[im1, im2, ..., im(b-n+1)]T


1.3.5 特勒根定理• 对于具有 n个节点和 b条支路的两个集中参数电路 N和，它们可以由不同的元件构成，但却有相同的有向图。若二者的支路电压向量和支路电流向量分别用 ub = [u1, u2,...,ub]T、 ib=[i1, i2, ..., i

b]T及

N̂

T1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ[ , , , ]bu u u buT

1 2ˆ ˆ ˆ ˆ[ , , , ]bi i i bi、

电流取一致参考方向，则有表示，支路电压、

T1 2

ˆ( ) ( )t t 0b bu i

T3 4

ˆ ( ) ( )t t 0b bu i


例 1.3.6

1̂i2̂i

3̂i

4̂i5̂i

6̂i1i2i

3i

4i5i

6i

VkuAki

ˆ Vkuˆ Aki

支路u ， i

1 2 3 4 5 6

5

1

2

1

3

2

4

1

4

37

2

2

222

1

4

3

1

1

1

53

上两个电路在不同时刻的支路电流和支路电压值如下表

验证它们分别满足 KCL 和 KVL 。


6

1

5 1 3 2 4 3 2 2 1 4 1 1 0k kk

u i

6

1

ˆ 2 1 4 2 7 3 2 2 3 4 5 1 0k kk

u i

6

1

ˆ 5 1 3 1 4 2 2 2 1 1 1 3 0k kk

u i

6

1

ˆˆ 2 1 4 1 7 2 2 2 3 1 5 3 0k kk

u i

从而验证了特勒根功率定理和特勒根似功率定理。

解：通过下列计算，可以得出


1.4 电阻电路元件1.4.1 电阻元件• 一个二端元件，如果在任一时间 t，其端钮间的电压（简称端电压） u和通过其中的电流 i之间的关系是由 ui平面（或 iu平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电阻元件，简称电阻。ui平面（或 iu平面）上的这条曲线称为电阻在时间 t的伏安特性曲线。

• 电阻按照它的电压电流关系是线性还是非线性的，可以分为线性电阻和非线性电阻；根据它的电压电流关系与时间的关系，还可以分为时变电阻和非时变电阻。


• 线性非时变电阻

i

uR

u

iO

uR

i

• 线性时变电阻

i

u( )R t

u

i

1t

2t

O


• 电阻元件的功率和能量

线性非时变电阻吸收的瞬时功率 2 2p Ri Gu

对任一时刻 t0 ，线性非时变电阻从时刻 t0 到时刻t所吸收的（电）能量为

0 0

2 20( , ) ( ) ( )

t t

t tw t t R i d G u d

如果电路元件在所有的时刻 t，只吸收能量而不提供能量，则称该电路元件为无源元件。一个电路元件为无源元件的充要条件是：

( ) 0w t ，


1.4.2 独立电源• 独立电源是实际电源的理想化电路元件模型，包括（独立）电压源和（独立）电流源。

电压源是理想电路元件，其电压电流关系为

Su u 对任意的 i

O i

u

SU

i

u

1( )Su t

O

,S Su Uu

i

2( )Su t

3( )Su t

电压源符号及其伏安特性曲线


电流源是理想电路元件，其电压电流关系为

Si i 对任意的 u

电流源符号及其伏安特性曲线

Ou

,S Si I

u

iSI1( )Si t2( )Si t

u

i3( )Si t

O

对于独立电源来说，其端口电压和端口电流的参考方向可以任意选取。端口电压和端口电流取非一致参考方向，则乘积 ui等于电源所发出的功率；如果 u、 i取一致参考方向，则乘积 ui等于电源所吸收的功率


例 1.4.1 试计算图示电路中每个电阻消耗的功率，并通过计算电压源和电流源所提供的功率，确定电阻消耗功率的来源。

uRu2VSu

i Ri

3

1ASi

解：在图示电路中，电阻消耗的功率为 22 22 4

W W3 3

SRR R R

uuP u i

R R

电流源输出的功率为2 1W 2W

Si S S SP ui u i


电压源输出的功率为 4 2

( ) ( 2)W W3 3S Su S S R S R R S R iP u i u i i u i ui P P

负号表示电压源不输出功率而是吸收功率，即电流源对电压源充电。可见，电阻消耗的功率全是由电流源提供的

“十一五”规划教材—电路基础• 几种基本波形

(1) 直流波形

(2) 正弦波形

O

mA

( )f t

2 t

( ) cos( )mf t A t

( )f t K

(3) 单位阶跃波形

0 0( )

1 0

tt

t

当

当

O

( )t

t

1

“十一五”规划教材—电路基础单位阶跃函数具有信号起始作用，可以用来规定任

意波形的起始点。任何一个函数 f(t)乘以单位阶跃函数后，其乘积在单位阶跃跳变之前为零，而在单位阶跃跳变之后则为 f (t) 。

单位阶跃函数的开关功能

S ( )i tSi

S0t

N N

O

( )f t

t

mA

2 4

“十一五”规划教材—电路基础(4) 单位脉冲波形

0 0

1( ) 0

0

t

p t t

t

单位脉冲波形可以由阶跃波形和延迟阶跃波形组合而成

1( )t

1

1

( )p t

1( )t

1

t t

tt

O

OO

“十一五”规划教材—电路基础(5) 单位冲激波形

( ) 0 0

( ) 1

t t

t dt

t

( )t

1

O

(tt0) 表示在 tt0 处的单位冲激函数，称为延迟单位冲激函数

0t t

1

0( )t t

O

1 ）筛分性质

0 0( ) ( ) ( )f t t t dt f t


2 ）冲激函数可以用来表示一个任意波形

0( ) ( ) ( )

tf t f t d

3 ）冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激函数的积分。

( ) ( )t

d t

( ) ( )d

t tdt

此外，对单位阶跃函数积分可得单位斜坡函数

( ) ( )t

r t d

( )

( )dr t

tdt

对单位冲激函数求导，则可得单位对偶冲激函数 ( )

'( )d t

tdt

( ) '( ') 't

t t dt

“十一五”规划教材—电路基础1.4.3 受控电源

可分为四类：电压控制型电流源（ VCCS ）、电流控制型电流源（ CCCS ）、电压控制型电压源（ VCVS) 和电流控制型电压源（ CCVS ）

1gu2u

1i 2i

1u 2u

1i 2i

1u

1i

2u

1i 2i

1u 1u 2u

1i 2i

1u 1ri

1

2 1

0i

i gu

1

2 1

0u

i i

1

2 1

0i

u u

1

2 1

0u

u ri


受控电源吸收的功率为

1 1 2 2p u i u i 2 2u i

例：计算受控电源吸收的功率

2u

1i 2i

1u 1u LRSu

22

2 2L

up u i

R

受控电源吸收的功率为负值，即受控电源是向负载 RL提供功率。因此受控电源是一种有源元件。


受控电源是一种常用的电路元件，在电路中常被用来模拟电子器件中所发生的物理现象。如晶体三极管用受控电源表示的模型

bR1u

1ie 发射极（）

b 基极（）

(c 集电极） cb

e

1i

2i 2i

2u1u

2u

1i

1.4.4 运算放大器

一种有广泛用途的电子器件。由于可以模拟加法、减法、积分等运算而得名。虽然运算放大器有多种型号，内部结构也不相同，但从电路分析的角度出发，人们感兴趣的是该器件的外部特性

“十一五”规划教材—电路基础运算放大器的符号及其输入–输出特性曲线

iu+u

uou

U

U

Aiu

+u

ouA

iu

SE

SE

ou

SE

A

斜率

O

正饱和区负饱和区线性区

u

在电路分析中常用理想运算放大器 Ri→∞ Ro0 A→∞

理想运算放大器两个重要特性 1) 虚短： u+ u–

2) 虚断：输入电流等于零

“十一五”规划教材—电路基础例 1.4.3 图示为反相放大器，试求其输出电压 uo

与输入电压 uS之间的关系

iu

1i2i

SR

fR

ou

Su

解：根据图示电路，由“虚断” 可知， i1i2；由“虚地” 可知，反相输入端电压为零。因此，有

0S o

S f

u u

R R

即 fo

S S

Ru

u R


1.4.5 理想变压器

理想变压器是实际变压器的理想化模型。它是一种二端口元件

1i 2i

1u 2u

:1n

1 2

1 2

1

u nu

i in

理想变压器也可用受控电源组成的模型来表示

1 /u n 2u

1i 2i

2 /i n 1nu2u

1i 2i

1u2nu1u

“十一五”规划教材—电路基础理想变压器的电压与电流采用一致参考方向，因此

其吸收的功率

1 1 2 2 2 2 2 2

1( )( ) 0p u i u i nu i u i

n

接有负载 RL 的理想变压器

1i 2i

1u 2u

:1n

LR

21 2 L 2 L 1 L 1( ) ( )u nu nR i nR ni n R i

理想变压器具有变换电阻大小的性质，且与同名端的位置无关。


1.4.6 负转换器负转换器是一种二端口元件，包括电流反向负转换器（ INC ）和电压反向负转换器（ VNC ）两种模型

电流反向负转换器

1 2

1 2

i i

u u

电压反向负转换器

1 2

1 2

i i

u u

INC VNC

1i1i 2i2i

1u1u 2u2u

负转换器具有转换元件性质的功能


VNC

1i 2i

1u 2u LR

例：求图示电路的输入电阻

解： u2 Ri2

1 2

1 2

i i

u u

1 2

1 2

u uR

i i 又有

一个具有正电阻的电阻元件可以通过负转换器转换成一个具有负电阻的电阻元件。由于具有正电阻值的电阻元件为无源元件，而具有负电阻值的电阻元件为有源元件，因此负转换器是一种能把无源元件转换成有源元件的电路元件。


1.4.7 理想回转器理想回转器是实际回转器的理想化模型，简称回转器。回转器是一种二端口电路元件。

r 2i1i

1u 2u1 2

2 1

u ri

u ri

或 1 2

2 1

i gu

i gu

回转器吸收的功率为 1 1 2 2 2 1 1 2 0p u i u i ri i ri i

如果在回转器输出端口接上一个线性非时变电阻 R，此时从输入端口看去相当于一个电导，且其电导值是原电阻电导的 r2倍。

222 1

1 2 1 1( ) ( )u ri r

u ri r r i r GiR R R

“十一五”规划教材—电路基础1.5 支路分析法

以支路电流或支路电压为变量列写电路方程来求解电路的方法分别称为支路电流法或支路电压法。支路电流法和支路电压法统称为支路分析法。

例 1.5.1 图示电路中，已知： RlR21Ω ， R32

Ω ， uS48V ， uS57V ，试用支路电流法求各支路中的电流和电压。

2i

5i3i1u 2u

3u

1R 2R

4Su 5Su3R

1i4i

①

④

③②

2l1l

“十一五”规划教材—电路基础RlR21Ω ， R32Ω ， uS48V ， uS57V

2i

5i3i1u 2u

3u

1R 2R

4Su 5Su3R

1i4i

①

④

③②

2l1l

解：图示电路共有 4 个节点，取节点④为参考节点根据 KCL ，对独立节点①、②和③写出节点方程

1 2 3

1 4

2 5

0

0

0

i i i

i i

i i

写出图示两个独立回路 l1 和 l2

KVL 方程1 3 4

2 5 3

0

0S

S

u u u

u u u


写出诸元件的电压电流关系 2i

5i3i1u 2u

3u

1R 2R

4Su 5Su3R

1i4i

①

④

③②

2l1l

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4

5

2

8V

7VS

S

u R i i

u R i i

u R i i

u

u

将这些电压电流关系代入式KVL 方程中，得

1 3

2 3

2 8

2 7

i i

i i

联立 KCL 方程和 KVL方程，得到 5 个只含支路电流的独立方程，

1 2 3

1 4

2 5

1 3

2 3

0

0

0

2 8

2 7

i i i

i i

i i

i i

i i

“十一五”规划教材—电路基础运用求解代数方程的方法如消元法、克莱姆法则法

或矩阵求逆法等可以得到上述方程组的解 1 4

2 5

3

2A

1A

3A

i i

i i

i

将 i1 、 i2 和 i3 分别代入电压电流关系方程中可得

1

2

3

2V

1V

6V

u

u

u

在所得解中支路电流中 i2 和支路电压中 u2 为负值，说明其真实方向与所设参考方向相反。


1.6 应用实例：人体电路模型与安全用电

人体简化电路模型

1R2R2R

3R

4R 4R

①

i 350

200V1i 2i

2l

50

50

200

100 100

200

1l

1R

Su

2R2R

3R

4R 4R

1PR

2PR2PR

当手臂和双脚接触电气设备电源的两端，电阻值和电压值如图，讨论流过人体的电流是否足够危险？


1

1 2

200 (50 350 50) (200 100) 0

(200 100) (200 100) 0

i i

i i

应用 KVL ，对回路 l1 、 l2 ，有

1 2 0i i i

1 2333mA, 167mAi i i

应用 KCL ，对节点①，有

联立求解上述三个方程，即可得到

可见，流经人体的电流远远超过安全电流值，如果触电将导致电击伤害事故

第一篇 电 阻 电 路

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第一篇电阻电路