Ειδική Σχετικότητα και Εφαρμογές
DESCRIPTION
Σπύρος Τζαμαρίας Εργαστήριο Φυσικής Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο. Ειδική Σχετικότητα και Εφαρμογές. Τι δεν είναι Σχετικό στην Σχετικότητα. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Ειδική Σχετικότητα και Ειδική Σχετικότητα και ΕφαρμογέςΕφαρμογές
Τι δεν είναι Σχετικό Τι δεν είναι Σχετικό στην Σχετικότητα στην Σχετικότητα
Σπύρος Τζαμαρίας Εργαστήριο Φυσικής
Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας Ελληνικό Ανοικτό
Πανεπιστήμιο
1010 Θερινό Σχολείο Φυσικής στην Εκπαίδευση
Special principle of relativity: If a system of coordinates K is chosen so that, in relation to it, physical laws hold good in their simplest form, the same laws hold good in relation to any other system of coordinates K' moving in uniform translation relatively to K.
– Albert Einstein: The Foundation of the General Theory of Relativity, Part A, §1
Η Νόμοι της Φύσης εκφράζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο σχετικά με κάθε παρατηρητή οποιουδήποτε αδρανειακού συστήματος αναφοράς
Οι κλασικοί μετασχηματισμοί συμφωνούν απολύτως με την καθημερινή μας εμπειρίαΣυνέπεια: η ταχύτητα του φωτός θα πρέπει να εξαρτάται από την κίνηση του
συστήματος (αδρανειακού) αναφοράς του παρατηρητή
Η αρχή της ειδικής σχετικότητας ισχύει απόλυτα στη Νευτώνεια Φυσική
Γαλελιανοί Μετασχηματισμοί Γαλελιανοί Μετασχηματισμοί
Γαλελιανοί Μετασχηματισμοί
F
v
B
v
B
v
Ο Ηλεκτρομαγνητισμός δεν μένει αναλλοίωτος από τους Γαλελιανούς Μετασχηματισμούς
The insight fundamental for the special theory of relativity is this: The assumptions relativity and light speed invariance are compatible if relations of a new type ("Lorentz transformation") are postulated for the conversion of coordinates and times of events... The universal principle of the special theory of relativity is contained in the postulate: The laws of physics are invariant with respect to Lorentz transformations (for the transition from one inertial system to any other arbitrarily chosen inertial system). This is a restricting principle for natural laws..
Einstein, Autobiographical Notes, 1949.
Μετασχηματισμοί Lorentz
Θεμελιώδεις Αρχές της Ειδικής Σχετικότητας
• Αδρανειακό Σύστημα: Εάν σε ένα φυσικό σύστημα δεν ασκούνται δυνάμεις τότε ευρίσκεται σε ηρεμία ή κινείται με σταθερή ταχύτητα
• Η Νόμοι της Φύσης είναι παγκόσμιοι και εκφράζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο σε κάθε αδρανειακό σύστημα αναφοράς
• Η ταχύτητα του φωτός στο κενό έχει την ίδια τιμή, c=2.99793x108m/s , σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς
K’
K
, , , , ,x ct x y z ct r ct r
Τετραδιάνυσμα: Γενίκευση του διανύσματος σε τετραδιάστατο χώρο
Το τετραδιάνυσμα ενός γεγονότος εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς
' ', ', ', ' ', ' ', 'x ct x y z ct r ct rt
r
'
't
r
2 22 2 2 2 2 2' ' ' 'ct x y z ct x y z
Αιτιακές Σχέσεις στο Χωρόχρονο
Κώνος φωτός: 0222 rcts
Σημεία (γεγονότα όπως το Β) μέσα στον κώνο φωτός έχουν Δs2>0 και μπορούν να συνδέονται με αιτιακή σχέση καθώς η απόσταση που τα χωρίζει (Δr) είναι μικρότερη από την απόσταση που διανύει το φως σε χρόνο Δt (cΔt>Δr)
Σημεία (γεγονότα όπως το C) έξω από τον κώνο φωτός έχουν Δs2<0 και δεν είναι δυνατόν να συνδέονται με αιτιακή σχέση καθώς η απόσταση που τα χωρίζει (Δr) είναι μεγαλύτερη από την απόσταση που διανύει το φως σε χρόνο Δt (cΔt<Δr)
Ευρίσκεστε στο Α
2 2 22
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
r x y z x y z y
z
2 2 2 22 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
c t
x
s c t x y z c t x y z y
z
Μετασχηματισμοί Lorentz
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
ct x y z ct x y z
ct x y z ct x y z
c t x y z c t x y z
2 2 2 221 1 1 1 1
2 2 2 222 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
2 2
2 2 2 22
' ' ' '
' ' ' '
' ' '
ct xs ct x y z y z
ct x y zs ct x y z
c t xs y z yc t x z
στο Α.Σ.Α. Κ΄΄ τα γεγονότα συμβαίνουν στην ίδια θέση
1 1 1 1
2 2 2 2
'' '' '' ''
'' '' '' ''
0 0 0
ct x y z
ct x y z
c
2 2 22 2 22
1
222 ' ' 'c ts c t x x yz zy c δτ
ιδιόχρονος
Συστολή του Μήκους
Κ
Κ’
2 1
2 1
x x x
t t t
2 1
2 1
' ' '
' ' ' 0
x x x
t t t
Στο σύστημα Κ’, παρατηρούμε συγχρόνως τις
άκρες τις ράβου και προσδιορίζουμε τις
συντεταγμένες χ’1 και χ’2
ο «συγχρονισμός» εξαρτάται από
το σύστημα αναφοράς
Διαστολή του Χρόνου
Δύο σήματα φεύγουν από τη θέση χ1=χ2 του συστήματος Κ τις χρονικές στιγμές t1 και t2, δηλαδή με χρονική διαφορά T=t2-t1 . Παρατηρητής στο Κ’ βλέπει τα σήματα να έχουν
εκπεμφθεί από τις θέσεις χ’1 και χ΄2, τις χρονικές στιγμές t’1 και t’2.
ΚΚ’
Σχετικιστική Κινηματική (Ι)Η Ενέργεια και η Ορμή ενός φυσικού συστήματος μετασχηματίζονται από ένα σε άλλο αδρανειακό σύστημα αναφοράς με τον ίδιο τρόπο όπως και οι χρονικές και χωρικές
συντεταγμένες τετραδιανύσματος.
Τετραδιάνυσμα Ενέργειας-Ορμής: / , , ,x y zp E c p p p
Αναλλοίωτη Ποσότητα: 22 2 2 2/x zys E c p p p
Στο σύστημα ηρεμίας του σωματίου:
2 2 2 2 2 2 2
0
/x zys E c p p p E s c
2 2 4E m c
2 2 2s m c
2
22 2 2
2 4 2 2
2 2 2 2 4 2 2/x zy
p
E m c p c
m c E c p p p E m c p c
VK*
pT
P||Κ
T T
**
*
E/cE /c γ -γβ= P P
PP -γβ γ
Σχετικιστική Κινηματική (ΙΙ)
VK*
pT
P||Κ
P
έστω ότι Κ είναι το σύστημα κέντρου μάζας: 0 2P Ε =mc
2
2
*
2
2
2
*
*
0
1
1
T TP P
P vc
m
vc
mE c
vc
και ότι Κ* είναι το σύστημα εργαστηρίου όπου φαίνεται από το Κ (σωμάτιο) να κινείται με ταχύτητα -v: v
c
T T
**
*
E/cE /c γ -γβ= P P
PP -γβ γ
2
21
mP v
vc
φωτόνιο στο κενό
2
2 20E E
c Pc
Pmc
2
0
21lim
mv c
M
m EP c
cvc
2
EM =M E =
c
φωτόνιο σε μέσο δείκτη διάθλασης n
2 22 2
2
11 0
ph
eff
M V
cP m c P
n n 2 2
e f 2 2
2
f
E E E=
c c c
E 1m = 1-
c n
phM V
cP
n
2
E
c
Σχετικιστική Κινηματική (ΙΙ)
Αναλλοίωτη μάζα:
221
2
21212
2
21212121
2112 ),,,(
ppc
Ps
ppppppc
PPP zzyyxx
Αναλλοίωτο «εσωτερικό» γινόμενο
1 21 2 1 2 1 2 1 22
( , , , )x x y y z zP P p p p p p pc
C=1, μάζες ΜeV, ορμή MeV/c
VK*
pT
P||Κ
P
T T
**
*
E/cE /c γ -γβ= P P
PP -γβ γ
χ
y
F
v
θφ
Δύναμη – Επιτάχυνση-2ος Νόμος του Νεύτωνα
2
2
2
2
2 2
1
1
P v mvm
vc
m
vc
E c mc
dP
F =dt
a
ˆ ˆ ˆ ˆcos sin cos sin
ˆ ˆ ˆ ˆcos sin cos sin sin cosd dd d d d
dt dt dt dt dt dt
v v x v y v x y
v vva v x y v x v y
aa
2v
a a a
v a v a
d
dt
va v v
3
22
2
1
1
d d dvmv m v m v m
dt dt c dtv
c
d vv
dt
3
2m m
cm
dP
F = a v v adt
a
3
2 32
2
2 2
1T Tm v
vm
cm m
c
dP
F = a a a a adt
2 2 2
2 2 2 2
11 1
v v v
c c c
3Tm m
dPF = a a
dt
Μετασχηματισμοί Ταχύτητας
Κ
Κ’ u’
VK*
uT
u||
u
Φαινόμενο Doppler
παρατηρητής
x
Tx
~cos x y zE t k r t k r t k x k y k z
, , , , , ,x y zX ct x y z K k k kc
Vobs
, , , ,T TX ct x x K k kc
''' '
' 'T T T T
ctctx x k kcc
xx kk
2
2
2
' '1
/' '1
Vkk
c ck V ck k k
c
'' '
'T T T Tx x k kc c
k k
'' ' ' ' ' ' '
T T
T T
t kx k x
t k x k x
Φαινόμενο Doppler
παρατηρητής
θ’
Tx
x
~cos x y zE t k r t k r t k x k y k z
Vobs
''' '
' 'T T T T
ct A Bctx x k kcc
xx kk
'
'
kc c
k kc
'' ' ' ' ' ' '
T T
T T
t kx k x
t k x k x
'
'
ct ct x
x ct x
Απαίτηση:'
'cckk
Φαινόμενο Doppler
~cos x y zE t k r t k r t k x k y k z
2 2
2 2/
E Ef
hp
kh P
T T
ωω' γ - βγ= k' =kcc
- βγ γ kk'
E hf
hP
''1 1
'
T T
EEP P
ccPP
''
'T T
EEP Pcc
PP
Φαινόμενο Doppler
παρατηρητής
θob
s
2/
sour obs obs obssource
sour obs obs obssource
V k
k k V c
obsk
2 2cos cos cos cos
obs obsobs obs obs obs obs obs
obs
fk k
c c
obssourceV
2
1,
1
obssourobssource
sour obs
Vcc
ck k
1 cos
obsobs obssourceV
c
0
0
018
180
0 180
11
1
1
11
obs obs
obs
obs obssour source source
obssou
obssour sourc
rce
sour
obssourc
eobss ee ourc
Vc
Vc
obsx
obsTx
Edwin Hubble.
το Σύμπαν διαστέλλεται επιταχυνόμενο
2
1
11
1obssource
obssource
obssource
obssource
Vc
VVczcV
c
0
0180
180
1
1
1 12 2
1 1
1 11
1 1
obs
obs
obs
obs
obs
obssource
sourobssource
obs obssource source
sourobs obssoursource source
obs obssource source
sour
obssourobssourcesource
Vc
Vc
V Vc c
V Vc c
V Vc cz
V Vc c
21
0
0
cz H l
V H l
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )c
iii i c
l t R t X R tl t l t
R tl t R t X
( ) ( )
( ) ( ) ( )) (
))
((ii
d R t Rl t
R tt
V t l t l tdt R t
0 0
0 0 0
( ) ( )( ) ( ) 100 / /
( ) ( )t t t t
R t R tV t l t H h km s Mpc
R t R t
2 32110
2g g
esc escg g
GM m GMmv v c
r r
0
0
0 0
6
0
( )( ) ( )
( )
( )100 / /
( )
10
t t
t
o
t
g
R tV t l t
R t
R tH h km s Mp
v
c
H r
R t
c
3
4
100 10002 10
200
2 10
esc
g cg g cg
cg g
cgo cg
M M Mv c
r r
v H r c
Γενική Σχετικότητα: Γενική Σχετικότητα: Καμπύλωση του
Χωρόχρονου“ο χωρόχρονος καθορίζει στην ύλη πως θα κινηθεί και η ύλη καθορίζει στο χωρόχρονο πως θα καμπυλωθεί”, John. A. Wheeler
Arthur Eddington και Frank Dyson
2
2
E mc MmF G
rE hf
v
v’
z
2 21 1'
2 2
Mm Mmmv G G mv
R R z
c
f’
c
f
2 2
2
2
''
11'
11
M hf M hfhf G G hf
R c R z cM
Gf R cMf G
R z c
2
Schwarzschild2
2
: ' 0
11 1
01 21
lim
lim
z
z
ί f
MG MR c R G R
M cGR z c
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )c
iii i c
l t R t X R tl t l t
R tl t R t X
( ) ( )
( ) ( ) ( )) (
))
((ii
d R t Rl t
R tt
V t l t l tdt R t
2 2 2 2 22( ) c c cc c t R t x y z
Einstein’s Αρχή της Αντιστοιχίας: Ένας παρατηρητής (σημειακός) που πέφτει ελεύθερα σε βαρυτικό πεδίο δεν έχει την δυνατότητα να εκτελέσει κανένα πείραμα (ακόμα και πείραμα που εμπλέκει βαρυτικές δυνάμεις) που να έχει διαφορετικά αποτελέσματα από εκείνα που θα είχε σε ιδανικό αδρανειακό σύστημα αναφοράς.
2 2 2 2 2c c t x y z
τοπικά ισχύει η αρχή της ειδικής σχετικότητας και το αναλλοίωτο της ταχύτητας του φωτός (Lorentz μετασχηματισμοί)
για ολόκληρο το Σύμπαν ? 2 2 2( , ) 2 ( , ) ( , ) ...cc f r t c t h r t t x g r t x
η απαίτηση για ισοτροπία και ομογένεια επιφέρει περιορισμούς, π.χ. t x
Robertson & Walker 2
2 2 2 2 2 2 2 22( ) 1 4 c c c c c cds cdt R t k x y z dx dy dz
Robertson & Walker
2
2 2 2 2 2 2 2 22( ) 1 4 c c c c c cds cdt R t k x y z dx dy dz
2
22 22 2 2 2 2
2
sin cos sin sin cos1
14
sin1
r x y zk
drds cdt R t r d d
kr
0 G
commoving r
κοσμική γραμμή παρατηρητή
κοσμική γραμμή γαλαξία
κοσ
μικ
ός χ
ρόνος
gt
g gt t
0t
0 0 t t
ακτινική διάδοση dθ=dφ=0
22
22 2
2
2
2 2
0
01
1 1
ds cd
drcdt R t
kr
dr drcdt R t R t
kr kr
00 0
2
0 0
22 1
1
1g g g t gg
t t t
t r t r
cdt dr
R
cdt dr
R t kr
cdt dr
R krt tkr
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0
g
g tg
g
g
tg
g g
t
t
t t tg
tt t t
t t t
t t g
cdt cdt cdt
R t R t R t
cdt
R t
t tcdt cdt
R t R t R tR t
0
0
g
g
t t
R tR t
00
00 0
1
gg g
g g
t T R tc zR t
t Tc
το μήκος κύματος ακολουθεί την κλίμακα διαστολής του σύμπαντος : CMB
πως μεταβάλλεται η απόσταση παρατηρητή γαλαξία ; (σύγχρονες μετρήσεις των άκρων του διαστήματος)
02 2
22 2 2 2 22
2
00
22
sin1
)1
(gC r
ή
g
ά
c l t R tdr dr
ds R t r d d ds R tk
t fr
dkr
r
(
( )
( ))
H
g
dR t dR t R tdl t
dt dt dt
dl t
f
R tv t
rR t
tdtl t
R
η μετρική Robertson-Walker περιγράφει πλήρως την παρατηρούμενη μετατόπιση στο ερυθρό και την εξάρτηση της ταχύτητας διαστολής από την απόσταση.
Πως περιγράφεται η εξάρτηση του παράγοντα κλίμακας R(t) από τον χρόνο; Ποιες φυσικοί παράμετροι καθορίζουν την εξάρτηση;
θεωρήστε το Σύμπαν ως ομογενές ιστότροπο αέριο, πίεσης p και πυκνότητας ρ (π.χ. ΄τα σμήνη γαλαξιών αντιστοιχούν σε μόρια του αερίου)
οι πεδιακές εξισώσεις του Einstein καταλήγουν:
2
2 228 1
3 3
dR tG R t kc R t
dt
εξίσωση Friedmann
2
3 0R td p
dt R t c
εξίσωση ρευστού
και απαιτείται η καταστατική εξίσωση p=f(ρ)
2
2 2
4 3 1
3 3άά
d R t pGR t R t
dt c
22 2 2
3
1 1 1 4
2 2 2 3
4
3
U
drT m mr E mr G r
dt
m mU G M G r
r r
0
c
c
r R t r
dr
dt
2 2
2
2 2
22
2 2
2
1 4( ) ( )
2 3
2
0 .
8
3
c
c
cE m R t r G r R t
dR tG R t c
dt
E r
dEmr c
dt
κ k
32 22
3
0
4 3 0( )3
4( )
3
c
ήή ώό
έc
dSdE pdV TdSR td p
E Mc R t r cdt R t c
V R t r
2
2 228 1
3 3
dR tG R t kc R t
dt
2
2 28
.8
3
0
dR tG R t kc
dt
G
2
20
22
3 0
0 0
R td p
dt R t cp dV c dV
pp c
c
η κοσμολογική σταθερά δαπανά ΑΡΝΗΤΙΚΟ έργο καθώς το σύμπαν διαστέλλεται
το Σύμπαν διαστέλλεται επιταχυνόμενο
2
2 228 1
3 3
dR tG R t kc R t
dt
2
2 28
.8
3
0
dR tG R t kc
dt
G
2 2 2 2 22 22
2 2 2
28 83
3
38
R t G R t kc H R t
R t H
G R t k
G
R
kc
c
R tH
R t
t
R t
2
2
2
31
8
1
3
8
31
8
0
Hk
G
Hk
Hk
G
G
Φαινόμενες ταχύτητες μεγαλύτερες από c
θ
VA B
Γ
.
cos cos1
sin
sin sincos 1 cos1
A B
t
A V t Vt t t t
c c c
S V t
S V t VV
Vt
c
2cv4/5β max
Φαινόμενες ταχύτητες μεγαλύτερες από c Παράδειγμα
Φαινόμενη ταχύτητα περίπου 4c
Μετασχηματισμοί Ταχύτητας
Κ
Κ’ u’
VK*
uT
u||
u
Παρέκκλιση Κατευθυντικότητα (Ι)
VK*
uT
u||
u
θ
Έστω κινούμενο αντικείμενο που ακτινοβολεί σε γωνία θ’ ως προς την διεύθυνση κίνησής του. Η γωνία εκπομπής που θα παρατηρήσει ακίνητος παρατηρητής δίνεται δίνεται για u’=c :
Για θ’=π/2
θ~1/γ
c
Παρέκκλιση (ΙΙ)
Ταξίδι στον Ορίωνα